Scarica Riassunto "i limiti dell'infinito" e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Filosofia della Scienza solo su Docsity! I LIMITI DELL'INFINITO CAPITOLO 1 Le intuizioni di DISCRETO e CONTINUO sono alla base di ogni esperienza umana della realtà: viviamo in un mondo fatto di oggetti DISCRETI (separati) e attraverso il fluire del tempo percepiamo un movimento CONTINUO. Per alcuni studiosi l'attività del contare ha avuto un'origine religiosa,durante degli antichi rituali, come spiega il fatto che popolazioni sia africane che asiatiche o americane usino tutte sistemi di numerazioni di base di due (→ probabilmente questi sistemi sono una cristallizzazione degli antichi rituali della creazione) → dottrina pitagorica: il numero poteva essere scomposto in dieci coppie di contrari. Vi è anche la traccia di un “aritmosofia astrale”: sapienza rituale secondo cui gli dei antichi fossero in origine i pianeti, che aveva portato alla scoperta della precessione degli equinozi. Anche la geometria sarebbe nata da rituali religiosi di tipo sacrificale in cui i partecipanti si disponevano a formare un cerchio. La comune origine di aritmetica e geometria fa pensare che esse per lungo tempo siano state considerate legate: il continuo dello spazio poteva essere compreso attraverso il discreto del numero. In particolare con la ricerca dei presocratici, questo presupposto divenne oggetto di analisi razionale che giunse al culmine con la concezione pitagorica del numero come misura di tutte le cose → l'idea che l'ordine e l'armonia del cosmo potessero venire intese attraverso numeri naturali divenne presso i pitagorici un principio esplicativo universale: i pitagorici crearono un sistema di simboli che permetteva di riunire i concetti di NUMERO e FIGURA GEOMETRICA → NUMERI TRIANGOLARI (1 +2+3+..), rappresentabili attraverso triangoli di punti: il triangolo composto da 10 punti è la “sacra tetractys”, il simbolo su cui i pitagorici giuravano. I numeri quadrati e rettangolari erano usati per rappresentare lo GNOMONE (ogni grandezza lineare e piana che potesse aggiungersi o togliersi a determinate figure geometriche mantenendone inalterata la forma) → ricondurre ogni aspetto della realtà al concetto di numero finito → programma destinato a fallire a causa di due scoperte rivoluzionarie: -ESISTENZA DELLE GRANDEZZE INCOMMENSURABILI (es:√2) -PARADOSSI DI ZENONE → seconda grande rivoluzione epistemologica della matematica dopo l'invenzione di sistemi di numerazione scritti → l'infinito iniziò ad essere inteso come divisione che non ha termine. Paradossi e incommensurabili Una delle questioni filosofiche più profonde: come può, la mente umana, arrivare a comprendere con chiarezza l'idea di infinito? È probabile che i pitagorici si siano imbattuti nelle grandezze incommensurabili cercando di calcolare il rapporto tra la diagonale e il lato di un poligono,in particolare di quadrato e pentagono. La dimostrazione originale dell' esistenza di grandezze incommensurabili fa perno su una costruzione geometrica: supponendo di avere un quadrato di lato “l” e di calcolare il rapporto d/l, e supponendo che l =1, applicando il teorema di pitagora si PAGE \* MERGEFORMAT 11 ha che: d = (radice quadrata di 1 alla seconda + 1 alla seconda = radice quadrata di 1 +1 = √2 → grandezza incommensurabile). La prima dimostrazione dei pitagorici era basata su una costruzione geometrica: supponiamo di avere un quadrato ABCD e iscritto in esso un quadrato più piccolo EFGH, la cui diagonale d corrisponde al lato del quadrato maggiore: se supponiamo che r2 sia l'espressione di due grandezze commensurabili, si ha che d alla seconda = 2 alla seconda perchè il quadrato ABCD è il doppio del quadrato EFGH → d alla seconda è un numero pari e quindi anche d lo è , quindi anche la metà AF del lato AB è un numero naturale : a questo punto si può costruire un quadrato AFKE grande la metà del quadrato di partenza → IL PROCESSO Può CONTINUARE ALL'INFINITO. I paradossi di Zenone Zenone fu discepolo di Parmenide la cui tesi fondamentale era il contrasto fra VERITA' e OPINIONE e il suo correlativo ontologico tra ESSERE e NON ESSERE e riferire all'essere caratteristiche di eternità, unicità e unità. Zenone mostra con i suoi paradossi come la negazione di caratteristiche di unità e immutabilità dell'essere portino a contraddizione. Paradossi = quattro argomenti volti a dimostrare la non esistenza del movimento attraverso la riduzione all'assurdo. Si tratta di variazioni sullo stesso tema. Il problema è quello di stabilire se il valore di una somma con un numero infinito di addendi sia un numero finito o infinito: si può isolare la seguente argomentazione → se il continuo è suddiviso in parti non nulle allora la divisione di una parte limitata di spazio o di tempo sarà infinita. IL CORRIDORE: un corridore che corre in uno stadio dovrà prima raggiungere la metà di esso, ma prima ancora la metà della metà e così via, e quindi percorrere uno spazio pari a una somma che corrisponde ad una somma infinita → il corridore non può giungere al traguardo perché per farlo dovrebbe percorrere uno spazio infinito. ACHILLE E LA TARTARUGA: ci sono due serie da considerare: la somma degli spostamenti di Achille e quella degli spostamenti della tartaruga. Achille non può mai raggiungere la tartaruga se le lascia un certo anticipo perché entrambi procedono e quindi l'intervallo di spazio tra i due rimarrà sempre uguale / si ridurrà all’infinito, senza mai arrivare a 0. LA FRECCIA: la freccia scoccata dall'arciere prima di raggiungere un bersaglio dovrà percorrere un numero infinito di intervalli non nulli, quindi una distanza infinita. Contiene anche la conclusione contraddittoria che la freccia quando scoccata sta ferma, ottenuta se si considera il tempo secondo istanti. DUE CORPI CHE SI MUOVONO UNO VERSO L'ALTRO: essi non si raggiungeranno mai perché prima di arrivare al punto di incontro devono percorrere una distanza infinita. I paradossi di Zenone e la scoperta dell'incommensurabilità della diagonale provocarono una profonda crisi e nel secolo successivo i filosofi cercarono tutti di porre rimedio alle conseguenze di tali scoperte: • Democrito: atomista → la realtà è composta da atomi che vagano in uno spazio vuoto infinito e che costituiscono il limite ultimo del processo di divisibilità PAGE \* MERGEFORMAT 11 Gli indivisibili di Cavalieri Cavalieri vuole stabilire un apparato di definizioni e assiomi in cui a fianco delle figure geometriche appaiono dei nuovi enti: tutte le linee delle figure in esame. Linea = data una figura in un piano, e una retta del piano, si prenda una qualsiasi retta parallela alla retta data che sia secante della figura. Il segmento della secante compreso nella figura viene chiamato linea e l'insieme di tutti i segmenti secanti viene detto “tutte le linee”. Due principi: tutte le linee di transito retto sono grandezze in rapporto tra loro; se due figure piane sono collocate sulla medesima altezze se tutte le linee sono grandezze proporzionali le figure staranno tra di loro come uno degli antecedenti sta al suo conseguente ad esse corrispondenti nell'altra figura. PROBLEMA: - bisogna confrontare tra di loro un numero indefinito di segmenti; - Il continuo è uguale ai suoi infiniti indivisibili? La grande innovazione sta nell'ammettere la possibilità di compiere un numero infinito di somme o divisioni solo però su grandezze finite; la sola cosa importante è che per ogni linea se ne possa trovare un'altra di un'altra figura con cui confrontarla. Cartesio Primo tentativo di fondazione filosofica del metodo scientifico galileiano. Uno dei problemi su cui si applica è di capire come la mente umana possa essere in grado di comprendere ragionamenti sull'infinito e sul continuo: la soluzione sta nella distinzione tra mente e corpo. L'intuizione del finito si basa su una facoltà che dipende dal corpo (l'immaginazione) i ragionamenti sull'infinito sono basati su una facoltà che dipende dalla mente, l'intelletto. Il problema dell'infinito è trattato in due passi: 1) Intuizione di un pezzo di cera che cambia forma: come è possibile che esso possa essere identificato come unico pezzo di cera se, sciogliendosi, assume, attraverso un movimento continuo, un'infinità di forme geometriche diverse? 2) Com’è possibile fare un ragionamento su figure geometriche con molti lati se non riusciamo a visualizzarne la forma? → i ragionamenti su questi argomenti sono possibili grazie all'uso dell'intelletto. Alle origini del calcolo infinitesimale l'impulso allo studio dell'infinito matematico viene dato dalla ricerca di un sistema assiomatico con cui aritmetizzare le riflessioni sul'analisi del continuo → Wallis: dimostra dal punto di vista aritmetico alcuni risultati dimostrati da Cavalieri con gli indivisibili: il calcolo dell'integrale della curva, attraverso il ricorso a somme infinite (1+a/n → tende alla quantità a al crescere di n). Leibniz e Newton • Newton → scopriva il metodo dello sviluppo in serie e il calcolo delle tangenti attraverso gli infinitesimi. PAGE \* MERGEFORMAT 11 • Il metodo dello sviluppo in serie consiste nel calcolo di funzioni attraverso quello di una somma infinita di termini → calcolo di una figura curvilinea, ottenuto attraverso la somma di un numero infinito di rettangoli con basi di larghezza infinitesimale o evanescente. • È analogo il metodo per calcolare le tangenti. • Leibniz → anche lui si applica allo studio dell'infinito in matematica ottenendo risultati nel campo dello sviluppo in • serie di funzioni • analisi infinitesimale. Una delle prime scoperte è un contributo alla stima di π. Ma il contributo più importante è la creazione di un metodo generale per la trattazione dell'infinito. Attraverso la loro opera l'infinitesimo diventa uno dei principali concetti della matematica del XVIII secolo ; Newton considera l'infinitesimo come il concetto matematico corrispondente alla flussione (velocità di variazione del moto di una particella); mentre il differenziale di Leibniz trova una correlazione con la sua teoria delle monadi → Infinitesimo come concetto metafisico. Oltre l'infinitesimo La vaghezza che caratterizzava la nozione di infinitesimo iniziò subito a suscitare controversie. → Dalla seconda metà del 700 i matematici cercheranno definizioni di derivata e di integrale, evitando il ricorso agli infinitesimi e giungendo al concetto di LIMITE. • Il primo fu d'Alembert: una quantità viene definita limite di una seconda quantità variabile se questa seconda si avvicina alla prima tanto che la differenza tra le due diventa minore di qualsiasi grandezza data (infinitesimo = differenza di variabile con una grandezza fissata). • Cauchy: prima moderna definizione di limite → “ quando i valori attribuiti ad una variabile si avvicinano ad un valore fissato così che finiscono per differire da questo per una differenza piccola quanto si vuole, quest'ultimo viene detto limite di tutti gli altri” (infinitesimo = variabile dipendente). Attraverso la definizione di limite Cauchy definisce matematicamente anche i concetti di funzione continua, derivata di una funzione e serie convergente. CRITERIO DI CONVERGENZA DI CAUCHY → perché la serie Un+Un1+Un2.. sia convergente è necessario che il termine generale Un decresca quando n aumenta e che per i valori crescenti di n le somme ottengano dei valori assoluti inferiori ad ogni grandezza assegnabile. Il punto debole di questa costruzione è l'assenza di una definizione di numero reale. PAGE \* MERGEFORMAT 11 CAPITOLO 2 Weierstrass si rese conto che per rendere rigorosa l'analisi del continuo di Cauchy mancava una definizione operativa di numero. Assumendo come definito l'insieme dei numeri naturali N = (0,1,2,3,4) è possibile definire l'insieme dei numeri interi Z = (-3,-2,-1,0,1..) . Per quanto riguarda i numeri razionali Q (numeri interi con denominatore diverso da zero) si può osservare che i numeri interi sono un loro sottoinsieme perché gli interi sono quei numeri razionali con denominatore uguale a 1. W. sapeva che ogni numero razionale Q può essere visto come numero decimale che abbia una successione infinita di serie dopo la virgola che si ripetono con regolarità. → IDENTIFICARE OGNI NUMERO RAZIONALE CON UNA SERIE INFINITA. Questo non è però il caso dei numeri irrazionali come √2 → esistono infiniti punti della retta che non corrispondono a nessun numero razionale. Una prima approssimazione al problema venne osservando che alcuni numeri reali possono essere rappresentati come soluzione di equazioni algebriche → NUMERI ALGEBRICI. Ci fu la scoperta di numeri irrazionali che non possono essere espressi come soluzione di equazioni polinomiali: NUMERI TRASCENDENTI → scoperta della trascendenza del π . Cantor, Dedekind e l'ipotesi del continuo • Dedekind → fornire un modello matematico della retta continua. Per farlo assume come punto di partenza l'insieme Q dei numeri razionali e definisce l'insieme dei numeri reali R in termini di SEZIONI della retta (sezione dell'insieme ordinato dei numeri razionali). Dedekind stabilisce poi le proprietà che costituiscono quella che chiama l'essenza della continuità: se tutti i punti della retta vengono decomposti in due classi tali che ogni punto della prima sia alla sinistra di ogni punto della seconda , allora esiste uno e un solo punto che produce questa partizione. I numeri reali vengono definiti come quelli generati dalle sezioni: NUMERO REALE = COPPIA DI INSIEMI INFINITI DI PUNTI SULLA RETTA. • Cantor → i suoi primi studi riguardavano lo sviluppo in serie delle funzioni, in particolare il problema dell'unicità della rappresentazione di funzioni in termine di serie trigonometriche. Anche per Cantor risulta importante definire il numero reale (che egli chiama grandezza numerica). Anche egli parte dall'insieme Q e dal concetto numerico di serie utilizzando il criterio di convergenza di Cauchy, del quale fa la definizione stessa di numero reale → GRANDEZZA NUMERICA = SUCCESSIONE FONDAMENTALE (sequenza infinita di numeri razionali che si approssima indefinitamente ad un limite). Il numero reale è quindi inteso come insieme infinito di numeri razionali . PAGE \* MERGEFORMAT 11