Scaletta Marx per capire meglio cosa e come studiare, Formule e Formulari di Fisica. Roiti
gregorio-guerzoni
gregorio-guerzoni9 dicembre 2017

Scaletta Marx per capire meglio cosa e come studiare, Formule e Formulari di Fisica. Roiti

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Scaletta Marx per capire meglio cosa e come studiare
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CONTINUITA’ CONTINUITA’ 1) SOMMA IN UN PUNTO IN UN INTERVALLO 2) DIFFERENZA

3) PRODOTTO I^ SPECIE III^ SPECIE 1) INTERVALLI IN 4) QUOZIENTE INTERVALLI

5) COMPOSIZIONE 2) ESISTENZA DI ZERI 6) INVERSA II^ SPECIE 3) WEIERSTRASS

….DI FUNZIONI CONTINUE 4) VALORI INTERMEDI

DEFINIZIONE Una funzione y=f(x) è continua in un punto F 0 C EI con I intervallo se vi è definita ed il suo limite, per x che tende ad , coincide con il valore della funzione nel punto :

F 0 D F

Esempi: • Funzione costante f(x)=k • Funzione potenza f(x)=x F 0 6 1

• Funzione esponenziale f(x)=ax • Funzione logaritmica f(x)=logax • Funzioni goniometriche y=senx

e y= cosx

NOTE: per la continuità della funzione nel punto , devono valere le seguenti proprietà: 1. appartiene al dominio della

funzione ed esiste f() 2. esiste il limite finito l per x che

tende ad

3. tale limite coincide con il valore della funzione nel punto , cioè:

f() = l Può capitare che pur potendo calcolare f() non sia possibile calcolare il limite per x che ma che si possa valutare tale limite solo in un intorno sinistro/destro di . Se F 0 D E f si dice continua a sinistra del punto . Se F 0 D E f si dice continua a destra del punto .

Esempi:

1) è continua a sinistra di 4. 2) è continua a destra di 1.

DEFINIZIONE Una funzione si dice continua in un intervallo (o in tutto il suo insieme di definizione) se è continua in ogni suo punto.

Esempio :

y=|x| in [-1,+1]

TEOREMI Se y=f(x) ed y=g(x) sono due funzioni continue in , allora: 1. la funzione somma f+g è continua nel punto

2. la funzione differenza f-g è continua nel punto

3. la funzione prodotto fg è continua nel punto

4. la funzione quoziente f/g (se è definita) è continua

nel punto

5. le funzioni reciproche 1/f ed 1/g (se definite) sono

continue nel punto

Esempi: • la funzione polinomiale

• le funzioni razionali fratte, nel

loro insieme di definizione

• la funzione tangente nel proprio

insieme di definizione

• la funzione cotangente nel

proprio insieme di definizione

• ……

NOTE: la dimostrazione di tali teoremi discende immediatamente dalle analoghe proprietà dei limiti di funzione.

TEOREMA (continuità

delle funzioni composte)

Siano f e g due funzioni tali che: • f continua in • g continua in y0=f()

allora la funzione composta g(f(x) è continua in .

Conseguenze: se f(x) è una funzione continua allora lo sono anche le funzioni:

TEOREMA (continuità

della funzione inversa)

Se f(x) è una funzione continua ed invertibile in [a,b], allora anche la sua funzione inversa è continua in [f(a),f (b)].

Esempio: La funzione y=senx è continua e invertibile in [- F 0 7 0/2, F 0 7 0/2]; la funzione inversa y=arcsenx è continua in [-1,1].

DEFINIZIONE Si dice che la funzione y=f(x) presenta nel punto una discontinuità di prima specie se esistono finiti i limiti destro e sinistro per x che tende ad ma tali limiti sono diversi fra loro:

Esempi: • funzione parte intera y=[x] • la funzione segno • le funzioni definite per casi •

La differenza di tali limiti, in valore assoluto, è detto salto della funzione in .

s=|-3-3|=6

DEFINIZIONE Si dice che la funzione y=f(x) presenta nel punto una discontinuità di seconda specie se si verifica una delle seguenti eventualità: • almeno uno dei due limiti destro o sinistro è infinito:

non esiste almeno uno dei due limiti destro o sinistro della funzione, al tendere di x ad

Esempi: • la funzione nel punto =1

• la funzione nel punto =0

DEFINIZIONE Si dice che la funzione y=f(x) presenta nel punto una discontinuità di terza specie (o eliminabile) se esiste finito il limite per x che tende ad

ma: • la funzione non è definita nel punto • oppure esiste f() F 0 B 9 l

…………………………………………………………….. Questa discontinuità viene detta eliminabile perché può diventare punto di continuità, ponendo:

Esempi: • la funzione goniometrica nel punto =0

• la funzione nel punto = 1

TEOREMA Teorema “ Intervalli in intervalli “:

Sia y=f(x) una funzione continua definita su un intervallo I. Allora f(I) è un intervallo.

Esempio: 1. F 0 D E f(I)=[0,4] 2. y=2x I=]-1,8] F 0 D E f(I)=]-2,16]

Controesempio: y=[x] in I=[-1,3]

In questo caso f(I)= F 0 E D-1,0,1,2 F 0 F D non è un intervallo

TEOREMA Teorema di esistenza di zeri:

Se y=f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] e se f(a) ed f(b) hanno segno discorde, allora esiste almeno un punto F 0 C E]a,b[ tale che f() = 0

NOTE: 1. Un punto tale che f()=0 è detto zero della funzione. 2. il teorema non esclude che all’interno dell’intervallo [a,b] vi sia più di

uno zero 3. una applicazione di tale teorema consiste nella determinazione a

priori dell’esistenza di soluzioni di equazioni del tipo f(x)=0 in un dato intervallo

TEOREMA Teorema di Weierstrass:

Se una funzione y=f(x) è continua su un intervallo limitato e chiuso [a,b] allora è ivi dotata di minimo m e massimo M.

NOTE: 1. tutte le ipotesi del teorema sono essenziali. Infatti:

2. il teorema non è costruttivo: esso garantisce che una funzione continua definita in un intervallo limitato e chiuso ha un minimo ed un massimo, ma non fornisce alcun criterio per determinarli (per trovarli si usano le derivate)

3. il teorema non è invertibile: si possono fare esempi di funzioni dotate di massimo e minimo in [a,b] ma non continue:

es: in questo caso m=-1 ed M=2, ma la funzione è discontinua per x=0.

TEOREMA Teorema dei valori intermedi:

Se una funzione y=f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora essa assume ogni valore compreso fra il minimo m ed il massimo M.

NOTE: 1. tale proprietà è stata dimostrata da Bolzano 2. tutte le ipotesi del teorema sono essenziali.

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