Sintesi di logica degli enunciati, Appunti di Logica. Università degli Studi di Milano
marta.usai16
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esame logica e argomentazione
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Logica e argomentazione a.a. 2014-2015

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Logica degli enunciati

1) Traduzione

2) Significato degli operatori

3) Regole

4) Prove

1) Traduzione

Piove = p

Dio esiste = q

Il gatto è sul divano = r

e = 

non = 

o = 

se … allora … = 

se e solo se = 

dunque = ├

piove e Dio esiste = p  q

se piove il gatto è sul divano = p  r

Dio non esiste oppure piove = q  p

se Dio esiste e il gatto è sul divano, allora piove = (q  r)  p

piove e Dio esiste se e solo se il gatto è sul divano = (p  q)  r

Non si dà il caso che piova e Dio non esista = (p  q)

Sequenti:

se piove, allora Dio esiste e il gatto è sul divano; il gatto non è sul divano, dunque: non

piove = p  (q  r), r ├ p

piove o Dio esiste; se il gatto è sul divano allora Dio non esiste, dunque: se il gatto è sul

divano, allora piove = p  q, r  q ├ r  p

2. Significato degli operatori

Congiunzione: ‘p q’ vero se e solo se p e q sono entrambi veri

Negazione: ‘p’ vero se e solo se p falso (cambia il valore di verità)

Disgiunzione:‘p  q’ vero se e solo se almeno uno dei due enunciati è vero (ma

possono essere entrambi veri)

Condizionale: ‘p  q’ vero se e solo se non si dà il caso che p (antecedente) sia vero e

q (conseguente) sia falso

Doppio condizionale: ‘p  q’ vero se e solo se i due enunciati sono entrambi veri o

entrambi falsi (hanno lo stesso valore di verità)

 Attenzione:

Maria è bionda o ha i capelli lunghi = p  q

(ha almeno uno dei due requisiti, ma potrebbe averli entrambi: disgiunzione inclusiva)

La porta è aperta o chiusa = p | q

(almeno uno dei due è vero, ma non entrambi: disgiunzione esclusiva)

Se Juliette è francese è europea = p  q

(non si dà il caso che p senza q: implicazione materiale)

Se sei incinta il test è positivo = p  q

(se sei incinta è positivo, e se è positivo sei incinta: doppio condizionale mascherato)

 Ciascun operatore isola delle possibilità (dei casi o mondi possibili) e ne esclude

delle altre

p  q p+q (un solo caso possibile)

p  q p+q

p+q (è escluso solo il caso p+q)

p+q

p  q p+q

p+q (è escluso solo il caso p+q)

p+q

p  q p+q (sono esclusi p+q e p+q)

p+q

3. Regole

p  q, p ├ q Sillogismo disgiuntivo (SD)

p  q, p ├ q Modus ponens (MP)

p  q, q ├ p Modus tollens (MT)

p  q, q  r ├ p  r Sillogismo ipotetico (SI)

p ┤├ p Doppia negazione (DN)

(p  q) ├ p  q Regole di De Morgan (DeM)

(p  q) ├ p  q

p  q ├ p Eliminazione della congiunzione (E)

p, q ├ p  q Introduzione della congiunzione (I)

p ├ p  q Introduzione della disgiunzione (I)

p  (q  q) ├ p Riduzione all’assurdo (RAA)

p …. q ├ p  q Prova condizionale (PC)

p  q ├ p  q Definizione del condizionale (Df.)

(p  q) ├ p  q Negazione del condizionale (Neg.)

p  q ├ (p  q)  (q  p) Definizione del bicondizionale (Df.)

p  q, q ├ p MP bicondizionale (MP)

p  q, p ├ q MT bicondizionale (MT)

4. Prove

Paolo o Roberta vanno al cinema; se Tommaso va al cinema Roberta non ci va; Paolo

non va al cinema, dunque: Tommaso non va al cinema

Sequente: p  r, t  r, p ├ t

1 p  r

2 t  r

3 p

4 r (per sillogismo disgiuntivo, da 1 e 3)

5 r (per doppia negazione, da 4)

6 t (per modus tollens, da 2 e 5)

Almeno uno dei due rubinetti A e B è aperto, l’acqua esce sul prato se e solo se è aperto

il B, ma A è chiuso dunque l’acqua esce

1 a  b

2 p  b

3 a

4 b SD 1,3

5 p MP 2,4

Se nel composto c’è il nichel, il composto è azzurro ed è velenoso; c’è dello zolfo o c’è

del nichel, ma lo zolfo non c’è, dunque: il composto è velenoso

n  (a  v), z  n, z ├ v

1 n  (a  v)

2 z  n

3 z

4 n SD 2,3

5 a  v MP 1,4

6 v E 5

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