Twierdzenia - Notatki - Algebra - Część 1, Notatki'z Algebra. Warsaw School of Economics
Irena85
Irena8524 marca 2013

Twierdzenia - Notatki - Algebra - Część 1, Notatki'z Algebra. Warsaw School of Economics

PDF (320 KB)
9 strona
1Liczba pobrań
1000+Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu algebry: twierdzenia. Część 1.
20 punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 9

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 9 pages

Pobierz dokument

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 9 pages

Pobierz dokument

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 9 pages

Pobierz dokument

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 9 pages

Pobierz dokument

1

WIADOMOŚCI WSTĘPNE

1. PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE

1.1. DEFINICJA Działaniem 2-argumentowym na niepustym zbiorze A nazywamy dowolne

odwzorowanie f A A A: .× → Wartość f(a,b) nazywamy rezultatem (wynikiem) działania f na

elementach a, b ze zbioru A.

1.2. Jeśli f jest działaniem w A, X ⊆ A oraz dla dowolnych elementów x, y ∈ X f(x,y) ∈ X, to

mówimy, Ŝe zbiór X jest zamknięty ze względu na działanie f. MoŜemy wtedy zdefiniować działanie

g na X, g(x,y) := f(x,y), dla x, y ∈ X.

1.3.PRZYKŁADY : + , −, ⋅ są działaniami w zbiorze liczb rzeczywistych R. Podzbiór N zbioru R

jest zamknięty ze względu na + oraz ⋅ a nie jest zamknięty ze względu na −.

1.4. DEFINICJA Grupą nazywamy parę (G,•), gdzie G jest niepustym zbiorem a • jest działaniem

2-argumentowym w G, takim Ŝe następujące warunki są spełnione:

G1. ∀ ∈x,y,z G x•(y•z) = (x•y) •z (łączność •)

G2. ∃ ∈ ∀ ∈e G x G x•e = e•x = x (istnienie elementu neutralnego)

G3. ∀ ∈ ∃ ∈x G x G-1 x•x-1 = x-1•x = e (istnienie elementu odwrotnego).

1.5. PRZYKŁADY : (R,+), (Q,+), (Z,+), (R-{0}, ⋅), ({x∈R; x > 0}, ⋅}

1.6. DEFINICJA . Niech (G,•) będzie grupą a H podzbioremG, takim Ŝe e ∈ H oraz dla dowolnych

x, y ∈ H element x•y ∈ H. JeŜeli H wraz z działaniem • grupy (G,•) jest grupą to mówimy, Ŝe (H,•)

jest podgrupą grupy (G,•).

TWIERDZENIE. Niech (G,•) będzie grupą a H niepustym podzbioremG. (H,•) jest podgrupą grupy

(G,•) wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych x, y ∈ H element x•y-1 ∈ H.

1.7. DEFINICJA. Ciałem nazywamy trójkę (K,+, ⋅), taką Ŝe

C1. (K,+) jest grupą przemienną z elementem neutralnym 0.

C2. (K-{0},⋅) jest grupą przemienną .

C2. x ⋅ (y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z (rozdzielność mnoŜenia względem dodawania).

1.8. PRZYKŁADY. Ciało liczb rzeczywistych (R, +, ⋅), ciało liczb wymiernych (Q,+, ⋅).

2. GRUPY PERMUTACJI

2.1. Niech A = {1, ...,n} oraz Sn := {f: A → A, f odwracalne}. Wtedy (Sn, •) gdzie • jest składanie

odwzorowań jest grupą. Nazywamy ją grupą permutacji zbioru n-elementowego A. Niech a, b ∈ A

oraz a ≠ b. Transpozycją nazywamy permutację τ ∈ Sn zdefiniowaną następująco

docsity.com

2

τ(x) = b x = a a x = b x x {a,b}∉

  

 . Permutację τ oznaczamy <a,b>.

2.2. TWIERDZENIE. KaŜdą permutację ze zbioru Sn moŜna przedstawić jako złoŜenie skończonej

liczby transpozycji.

TWIERDZENIE. KaŜdą transpozycję moŜna przedstawić jako złoŜenie nieparzystej liczby

transpozycji wyrazów sąsiednich ( <k,k+1>)

2.3.LEMAT. Niech P: Sn → Z, P(σ) := i)).()j(( nj<i1

σσ −∏ ≤≤

Wtedy dla dowolnej permutacji σ i

dowolnej transpozycji τze zbioru Sn , P(σ•τ) = − P(σ).

TWIERDZENIE. Niech σ ∈ Sn. Jeśli σ =rττ •• ...1 oraz σ = ''

1 ... sττ •• , gdzie ''

11 ,...,,,..., sr ττττ są

transpozycjami z Sn, to (-1) r = (-1)

s .

DEFINICJA. Niech σ ∈ Sn i σ =rττ •• ...1 gdzie rττ ,...,1 są transpozycjami z Sn. Liczbę (-1) r

nazywamy znakiem permutacji σ i oznaczamy sgnσ. Jeśli sgnσ = 1 to permutację σnazywamy

permutacją parzystą, Jeśli sgnσ = -1 to permutację σnazywamy permutacją nieparzystą,

3. LICZBY ZESPOLONE

3.1. DEFINICJA Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych. Zbiór

wszystkich liczb zespolonych oznaczamy przez C. Mamy zatem C:= {z=(x,y) : x,y ∈ R}. Niech z1 =

(x1,y1), z2 = (x2,y2) będą liczbami zespolonymi.

Sumę liczb zespolonych określamy wzorem: z1 + z2 := (x1 + x2, y1 + y2).

Iloczyn liczb zespolonych określamy wzorem: z1 ⋅ z2 := (x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1).

3.2. FAKT (Własności działań w zbiorze liczb zespolonych). Niech z = (x,y) oraz z1, z2, z3 będą

dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy

1. dodawanie liczb zespolonych jest przemienne, tzn. z1 + z2 = z2 + z1;

2. dodawanie liczb zespolonych jest łączne, tzn. (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3);

3. liczba zespolona 0:= (0,0) jest elementem neutralnym dodawania, tzn. 0 + z =z;

4. dla kaŜdej liczby zespolonej z istnieje liczba -z := (-x,-y), taka Ŝe z + (-z) = 0;

5. mnoŜenie liczb zespolonych jest przemienne, tzn. z1⋅z2 = z2 ⋅z1;

6. mnoŜenie liczb zespolonych jest łączne, tzn. (z1⋅z2)⋅z3 = z1⋅(z2⋅z3);

7. liczba zespolona 1 := (1,0) jest elementem neutralnym mnoŜenia, tzn. z⋅1 = z;

8. dla kaŜdej liczby zespolonej z ≠ 0 istnieje liczba z-1 :=  

  

+ −

+ 2222 ,

x

yx

y

yx odwrotna do niej, tj.

taka Ŝe z -1⋅z = 1;

9. mnoŜenie liczb zespolonych jest rozdzielne względem dodawania, tzn. z1⋅(z2 + z3) = z1⋅z2 + z1⋅z3.

docsity.com

3

FAKT. (C, +, ⋅) jest ciałem.

3.3. Liczbę zespoloną (0,1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy ją przez i; i := (0,1). Liczba i

jest pierwiastkiem równania x 2 + 1 = 0. KaŜdą liczbę zespoloną postaci (a,0) utoŜsamiamy z liczbą

rzeczywistą a. Po tym utoŜsamieniu kaŜdą liczbę zespoloną (x,y) moŜna jednoznacznie przedstawić w

postaci z = x + yi, gdzie x, y ∈R. Ten sposób przedstawienia liczb zespolonych nazywa się ich

postacią algebraiczną.

MACIERZE I WYZNACZNIKI

1. OPERACJE NA MACIERZACH.

1.1. DEFINICJA. Niech K = (K, +, ⋅) będzie ciałem. Macierzą typu m×n nad K lub m×n -

macierzą nad K nazywamy funkcję A: {1, ..., m} × {1, ..., n} → K.

Najczęściej zamiast A(i,j) piszemy aij dla i ∈ {1, ..., m} oraz j ∈ {1, ..., n} i przedstawiamy macierz

A w postaci tablicy

A = .

...

.........

...

1

111

  

  

mnm

n

aa

aa

Wartości aij nazywamy wyrazami macierzy A. Często piszemy krócej A = [ ]n mij

a lub A = [ ]ija . Symbolem )(KM nm będziemy oznaczali zbiór wszystkich macierzy typu m × n nad K.

Niech A ∈ )(KM nm oraz niech i1, ...,ip ∈ {1, ..., m} i j1, ...,jr ∈ {1, ..., n}. Wtedy p × r macierz B, taką

Ŝe B(k,l) := A(ik,jl) dla k = 1, ...,p, j = 1,... ,r oznaczamy symbolem B A= ( ,..., ) ( ,..., )

i i

j j

p

r

1

1 . W przypadku

gdy (i1,...,ip) = (1,...,m) zamiast A( ,..., ) ( ,..., )

1 1

m

j jr piszemy A( ,..., )j jr1 , a gdy (j1,...,jr) = (1,...,n) zamiast A( ,..., ) ( ,..., )

i i

n

p1

1

piszemy A( ,..., )i ip1 . Jeśli 1 ≤ i1 < ... <ip ≤ m oraz 1 ≤ j1 < ... <jr ≤ n, to A( ,..., ) ( ,..., )

i i

j j

p

r

1

1 nazywa się podmacierzą

macierzy A. Podmacierze typu 1 × n nazywamy wierszami a podmacierze typu m × 1 kolumnami

macierzy A. Oznaczamy je odpowiednio: cj(A) = A(j) = a

a

j

mj

1

...

 

 

j-ta kolumna macierzy A oraz ri(A) =

A(i) = [ai1...ain] i-ty wiersz macierzy A.

Niech A ∈ M Km n ( ) , B ∈ M Km

p ( ) . Wtedy symbolem AB będziemy oznaczali m × (n + p)-macierz

taką Ŝe c j (AB) = c

c

j

j n

( )

( )

A B

gdy j = 1, ... ,n

gdy j = n +1,...,n + p−   

.

docsity.com

4

Niech A ∈ M Km n ( ) , C ∈ M Kr

n ( ) . Wtedy symbolem A C

oznaczamy (m + r) × n-macierz, taką Ŝe

ri( A C

) = r

r i

i m

( )

( )

A C gdy i = 1,...,m

gdy i = m + 1,...,m + r −

  

.

KaŜdą macierz n × n nazywamy macierzą kwadratową. Wyrazy a11, ...,ann tworzą główną przekątną

macierzy A.

Macierz kwadratową której wszystkie wyrazy poza główną przekątną są równe 0 nazywamy macierzą

diagonalną. Macierz diagonalną mającą wyrazy a1, ..., an na głównej przekątnej oznaczamy

symbolem diag(a1, ..., an).

1.2. DEFINICJA. Niech A, B ∈ M Km n ( ) , c ∈ K. Sumą macierz A i B nazywamy m × n

macierz A + B, (A + B)(i,j) := A(i.j) + B(i,j), i = 1,...,m, j = 1, ...,n. Iloczynem macierzy A przez

c nazywamy m × n macierz cA, cA(i,j) := cA(i,j), i = 1,...,m, j = 1, ...,n.

Symbolem 0m n lub 0 oznaczamy macierz której wszystkie wyrazy są równe 0.

TWIERDZENIE. Niech A, B, C ∈ M Km n ( ) , a, b ∈ K. Wtedy:

1. 0 + A = A + 0, A + (-1)A = 0,

2. (A + B) +C = A + (B + C),

3. A + B = B + A,

4. 1A = A,

5. a(bA) = (ab)A,

6. (a + b)A = aA + bA, a(A + B) = aA +aB.

TWIERDZENIE. ( M Km n ( ) ,+) jest grupą przemienną.

Macierz (-1)A oznaczamy -A.

1.3. DEFINICJA. Niech A ∈ M Km n ( ) , B ∈ M Kn

p ( ) . Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz

C typu m × p nad K, taką Ŝe C(i,j) = A B( , ) ( , )i k k j k

n

= ∑

1

, dla i = 1 ,..., m, j = 1 ,..., p. Iloczyn macierzy

A i B oznaczamy symbolem AB.

TWIERDZENIE. Niech A, A’∈ M Km n ( ) , B, B’ ∈ M Kn

p ( ) , C ∈ M Kp r ( ) , a ∈ K. Wtedy

1. (AB)C = A(BC),

2. (A + A’)B = AB + A’B oraz A(B + B’) = AB + AB’,

3. (aA)B = A(aB) = a(AB),

4. ImA = A = AIn , gdzie In ∈ M Kn n ( ) oraz In = diag(1,...,1).

1.4. TWIERDZENIE. Jeśli A ∈ M Km n ( ) i B ∈ M Kn

p ( ) , to

1. cj(AB) = Acj(B) dla j = 1, ..., p,

2. ri(AB) = ri(A)B dla i = 1, ..., m.

docsity.com

5

WNIOSEK. Jeśli A ∈ M Km n ( ) i B ∈ M Kn

p ( ) , to

1. cj(AB) = b ckj k

k

n

( )A = ∑

1

dla j = 1, ..., p,

2. ri(AB) = a rik k k

n

( )B = ∑

1

dla i = 1, ..., m.

TWIERDZENIE. Niech A ∈ M Km n ( ) oraz B ∈ M Kn

p ( ) . Jeśli {k1, ..., kr} ∪ {l1,...,lp} = {1, ...,n},

gdzie n = p + r, to AB = A B A B( ,..., ) ( ,..., ) ( ,..., )

( ,..., )

k k

k k

l l

l l r

r

p

p

1

1

1

1 + .

1.5. DEFINICJA. Niech A ∈ M Kn n ( ) . Macierz A nazywamy macierzą odwracalną, jeśli istnieje

macierz B ∈ M Kn n ( ) , taka Ŝe AB = BA = In. Macierz B spełniającą powyŜszy warunek nazywamy

macierzą odwrotną do A i oznaczamy symbolem A-1.

TWIERDZENIE. Zbiór wszystkich odwracalnych macierzy n × n nad ciałem K tworzy grupę ze

względu na mnoŜenie macierzy oraz:

1. macierz In jest macierzą odwracalną i (In) -1

= In,

2. jeśli A jest macierzą odwracalną to A-1 jest macierzą odwracalną i (A-1)-1 = A,

3. jeśli A, B są odwracalnymi macierzami n × n nad ciałem K, to AB jest macierzą odwracalną i

(AB)-1= B-1A-1.

1.6. DEFINICJA. Niech A ∈ M Km n ( ) . Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy

macierz AT∈ M Kn m( ) , taką Ŝe AT(i,j) := A(j,i) dla i = 1, ...,n, j = 1,..., m. Odwzorowanie

przyporządkowujące macierzy A macierz AT nazywamy transpozycją.

TWIERDZENIE. Niech A , B ∈ M Km n ( ) , c ∈ K. Wtedy

1. (A + B)T = AT + BT,

2. (cA)T = cAT,

3. (AT)T = A,

4. IT = I.

TWIERDZENIE. Niech A ∈ M Km n ( ) oraz B ∈ M Kn

p ( ) . Wtedy (AB)T = BTAT.

TWIERDZENIE. Jeśli macierz A jest odwracalna, to macierz AT jest równieŜ odwracalna i (AT)-1

= (A-1)T.

2. OPERACJE ELEMENTARNE

2.1. DEFINICJA.Elementarnymi operacjami na wierszach macierzy A o współczynnikach w ciele

K nazywamy:

1. mnoŜenie dowolnego wiersza macierzy przez niezerowy element ciała,

docsity.com

6

2. dodawanie do dowolnego wiersza macierzy dowolnego innego pomnoŜonego przez dowolny

element ciała K,

3. zamianę dwóch róŜnych wierszy miejscami .

Będziemy posługiwali się następującymi oznaczeniami:

A ari → A’ oznacza, Ŝe macierz A’ powstaje z macierzy A przez pomnoŜenie i-tego wiersza przez

element a ∈ K, (a ≠ 0)

A r ari k+ → A’ oznacza, Ŝe macierz A’ powstała z macierzy A w wyniku dodania do i-tego wiersza

macierzy A wiersza k-tego A pomnoŜonego przez a ∈ K, gdzie i ≠ k,

A r ri k↔ → A’ oznacza, Ŝe macierz A’ powstała z macierzy A przez zamianę miejscami wierszy i-tego

oraz k-tego (gdzie i ≠ k).

Analogicznie definiujemy operacje elementarne na kolumnach A.

TWIERDZENIE. Dla kaŜdej operacji elementarnej istnieje odwrotna do niej operacja będąca

operacją elementarną tego samego typu.

2.2. TWIERDZENIE. Niechf będzie złoŜeniem skończonej liczby operacji elementarnych na

wierszach oraz g będzie złoŜeniem skończonej liczby operacji elementarnych na kolumnach macierzy.

Wtedy

f(AB) = f(A)B oraz g(AB) =Ag(B),

dla dowolnych macierzy A i B (oczywiście jeśli zdefiniowany jest iloczyn AB).

WNIOSEK. Niech A ∈ M Km n ( ) oraz niech f będzie złoŜeniem skończonej liczby operacji

elementarnych na wierszach a g będzie złoŜeniem skończonej liczby operacji elementarnych na

kolumnach macierzy. Wtedy

f(A) = NA, gdzie N = f(Im)

g(A) = AN, gdzie N = g(In).

WNIOSEK. Jeśli f jest złoŜeniem skończonej liczby operacji elementarnych na wierszach i N = f(I),

to N jest macierzą odwracalną i N-1 = f-1(I).

2.3. TWIERDZENIE. Niech f będzie operacją elementarną na wierszach a g będzie operacją

elementarną na kolumnach macierzy. Wtedy jeśli A = (B C), to f(A) = (f(B)f(C)) oraz jeśli A =

B C

A B C

  

   =

 

 , to g

g

g ( )

( )

( ) .

TWIERDZENIE. Niech A ∈ M Kn n ( ) oraz niech f będzie złoŜeniem skończonej liczby operacji

elementarnych na wierszach. Jeśli f(AI) = (IB), to B = A-1. Podobnie jeśli g jest złoŜeniem

skończonej liczby operacji elementarnych na kolumnach i g A I

I B

  

   =

  

   , to B = A

-1 .

docsity.com

7

2.4 DEFINICJA. Macierzą elementarną nazywamy kaŜdą macierz otrzymaną w wyniku wykonania

jednej elementarnej operacji na wierszach macierzy jednostkowej.

TWIERDZENIE. Niech E będzie macierzą elementarną. Wtedy

1. E jest macierzą odwracalną oraz E-1 jest macierzą elementarną,

2. ET jest macierzą elementarną.

3. MACIERZE RÓWNOWAśNE

3.1.DEFINICJA. Mówimy, Ŝe macierz A’ jest wierszowo równowaŜna (kolumnowo równowaŜna)

macierzy A i piszemy A’ ≈w A (A’ ≈k A), jeśli A’ moŜna otrzymać z A przy pomocy skończonej

liczby operacji elementarnych na wierszach (kolumnach).

TWIERDZENIE. Relacje ≈w i ≈k są relacjami równowaŜności na zbiorze M Km n ( ) .

TWIERDZENIE. A’ ≈w A ⇔ istnieje skończony ciąg E1, ..., Ek macierzy elementarnych, takich

Ŝe A’ = E1...EkA. Podobnie, A’ ≈k A ⇔ istnieje skończony ciąg E1, ..., Ek macierzy

elementarnych, takich Ŝe A’ = AE1...Ek.

3.2. DEFINICJA. Niech A ∈ M Km n ( ) . Macierz A nazywamy macierzą wierszowo zredukowaną,

jeśli istnieje liczba całkowita r, 1 ≤ r ≤ m, oraz liczby całkowite k1, ... , kr , 1 ≤ k1 < ... < kr ≤ n, takie

Ŝe

1. A I( ,..., ) ( ,..., )

1 1

r

k k

r r = ,

2. jeśli r < m, to A(r+1,...,m) = 0.

TWIERDZENIE. Jeśli A jest odwracalną macierzą wierszowo zredukowaną to A = I.

TWIERDZENIE. KaŜda niezerowa macierz A ∈ M Km n ( ) jest wierszowo równowaŜna pewnej

macierzy wierszowo zredukowanej.

3.3. TWIERDZENIE. Niech A ∈ M Kn n ( ) .Wtedy następujące warunki są równowaŜne:

1. A jest macierzą odwracalną,

2. A jest wierszowo równowaŜna macierzy jednostkowej,

3. A jest iloczynem macierzy elementarnych,

4. A jest kolumnowo równowaŜna macierzy jednostkowej.

4. WYZNACZNIKI

4.1. DEFINICJA. Niech A ∈ M Kn n ( ) . Wyznacznikiem macierzy A nazywamy element ciała K,

DetA := sgn ... .( ) ( )σ σ σ σ

a an n Sn

1 1

∈ ∑

LEMAT. Niech A ∈ M Kn n ( ) . Wtedy DetA = sgn ... .( ) ( )σ σ σ

σ

a a n n Sn

1 1

∈ ∑

docsity.com

8

TWIERDZENIE. Jeśli A ∈ M Kn n ( ) , to DetA = DetAT.

4.2. TWIERDZENIE. Niech A ∈ M Kn n ( ) , α ∈ Sn, a ∈ K. Wtedy:

1. DetA(α(1),..., α(n)) = sgnαDetA,

2. Det(A(1),...,aA(j),...,A(n)) = aDet(A(1),...,A(j),...,A(n)),

3. Det(A(1),..., A(j)+A’(j), ...,A(n)) = Det(A(1),..., A(j), ...,A(n)) + Det(A(1),..., A’(j), ...,A(n)),

4. Jeśli macierz A ma dwie jednakowe kolumny (wiersze), to DetA = 0.

WNIOSEK.

1. Jeśli w macierzy A zmienimy kolejność kolumn (wierszy), to wyznacznik zmieni znak.

2. Wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie jeśli do dowolnej kolumny macierzy dodamy inną

pomnoŜoną przez dowolny element ciała.

TWIERDZENIE. Niech A, B ∈ M Kn n ( ) . Wtedy Det(AB) = DetADetB.

4.3. DEFINICJA. Dopełnieniem algebraicznym wyrazu aij macierzy A nazywamy element ciała K

oznaczany Aij, Aij := (-1) i+j

Det ),...,1,1,...,1( ),...,1,1,...,1( njj

nii

+− +−A . Macierz [ ]A

A A

A A ij

T n

n nn

= 11 1

1

...

... ... ... ...

nazywamy się macierzą

dopełnień macierzy A i oznaczamy AD.

LEMAT. Niech A = [aij]n n oraz ri(A) = [0,...,0,aij,0,...,0]. Wtedy

DetA = aijAij = aij(-1) i+j

Det ),...,1,1,...,1( ),...,1,1,...,1( njj

nii

+− +−A .

TWIERDZENIE. Niech A = [aij]n n . Wtedy dla dowolnego i, j = 1, ...,n

1. DetA = ai1Ai1 + ... + ainAin, (rozwinięcie Laplace’a wyznacznika A względem i-tego wiersza)

2. DetA = a1jA1j + ... + anjAnj, (rozwinięcie Laplace’a wyznacznika A względem j-tej kolumny).

4.4. TWIERDZENIE. Niech A = [aij]n n . Wtedy macierz A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy

DetA ≠0. Ponadto, jeśli DetA ≠0, to A-1 = AD(DetA)-1, oraz DetA-1 = (DetA)-1.

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

1. DEFINICJA. Układem m równań liniowych z n niewiadomymi o współczynnikach w ciele K

nazywamy kaŜdy układ równań postaci:

(*)  

 

=++

=++

mnmnm

nn

bxaxa

bxaxa

...

........................

...

11

11111

,

gdzie aij , bi ∈ K, dla i =1,..., m, j = 1, ..., n.

Jeśli dla dowolnego i, bi = 0, to układ (*) nazywamy układem jednorodnym.

Dowolny ciąg x1, ...,xn elementów z ciała K spełniający (*) nazywamy rozwiązaniem układu.

docsity.com

9

Macierz A =   

  

mnm

n

aa

aa

...

.........

...

1

111

nazywamy macierzą układu, macierz B =   

  

mb

b

...

1

macierzą wyrazów

wolnych, a macierz (AB) macierzą rozszerzoną układu.

Rozw(AB) oznacza zbiór wszystkich rozwiązań układu równań liniowych o macierzy rozszerzonej

(AB), (u.r.l. (AB)).

Ciąg (x1, ...,xn) jest rozwiązaniem u.r.l. (AB) ⇔ macierz [x1, ...,xn] T jest rozwiązaniem równania

macierzowego AX = B.

2. Będziemy teraz rozwiązywać równania macierzowe postaci AX = B, gdzie A ∈ M Km n ( ) , oraz B

∈ M Km q ( ). Oczywiste jest Ŝe szukana macierz X ∈ M Kn

q ( ).

Jeśli q = 1, to otrzymujemy układ równań liniowych.

TWIERDZENIE. Niech A, A’∈ M Km n ( ) , B, B’∈ M Km

q ( ). Jeśli A’B’ ≈w AB, to macierz X jest

rozwiązaniem równania AX = B wtedy i tylko wtedy, gdy X jest rozwiązaniem równania A’X = B’.

WNIOSEK. Jeśli A’B’ ≈w AB, to Rozw(A’B’ ) = Rozw(AB).

3. Niech A ∈ M Km n ( ) , B ∈ M Km

q ( ) , oraz niech AB ≈w A’B’, gdzie macierz A’ jest wierszowo

zredukowana. Niech r będzie liczbą niezerowych wierszy macierzy A’. Wtedy istnieją 1 ≤ j1 < ... < jr ≤

n, takie Ŝe A Ir j jr' .( ,..., )

( ,..., )

1 1 = Jeśli r = n, to 1= j1, ..., jn = n. Jeśli r < n to p = n-r oraz niech k1, ...,kp będą

ustawionymi w porządku rosnącym numerami pozostałych kolumn A’, tj. 1 ≤ k1 < ... < kp ≤ n, oraz {j1

,... ,jr }∪ { k1 , ... , kp} = {1, ... ,n}.

TWIERDZENIE. Przy powyŜszych oznaczeniach otrzymujemy:

I. Jeśli r < m i B’(r+1,...,m) ≠ 0, to równanie AX = B nie ma rozwiązań.

II. Jeśli r = m lub r < m i B’(r+1,...,m) ≠ 0, to równanie AX = B ma conajmniej jedno rozwiązanie, przy

czym:

1. Jeśli r = n, to rozwiązanie jest dokładnie jedno i ma postać X = B’(1,...,n).

2. Jeśli r < n, to dla dowolnej p × q macierzy S o współczynnikach w K macierz X zdefiniowana

następująco: X S B A Sk k j j r r k k

p r

p

( ,..., ) ( ,..., ) ( ,..., ) ( ,..., )

( ,..., ) , ' '

1 1

1

1 1= = − X jest rozwiązaniem AX = B i nie ma

innych rozwiązań.

4. TWIERDZENIE (Cramera). Niech A = [aij]n n oraz b ∈ M Kn

1 ( ) . Układ równań Ax = b ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy DetA ≠0. Wtedy x = [x1,...xn]

T , xj =

DetBj(DetA) -1

, gdzie Bj = (A (1)

,...,A(j-1),b,A(j+1),...,A(n)) jest rozwiązaniem tego układu.

docsity.com

komentarze (0)

Brak komentarzy

Bądź autorem pierwszego komentarza!

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 9 pages

Pobierz dokument