Rozkłady zmiennych wielowymiarowych - Ćwiczenia - Probabilistyka, Notatki'z Prawdopodobieństwo. University of Bialystok
panna_ania
panna_ania15 marca 2013

Rozkłady zmiennych wielowymiarowych - Ćwiczenia - Probabilistyka, Notatki'z Prawdopodobieństwo. University of Bialystok

PDF (129 KB)
2 strony
456Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu probabilistyki: rozkłady zmiennych wielowymiarowych.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd2 strony / 2
Pobierz dokument

probabilistyka matematyka, II stopień

lista 2

1. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y ) ma gęstość

f(x, y) = { cx(x− y) dla 0 < x < 2,−x < y < x

0 w.p.p

a) obliczyć stałą c;

b) obliczyć P ((X,Y ) ∈ A), gdzie A = {(x, y) : 0 < x < 2, 0 < y < x}; c) znaleźć rozkłady brzegowe.

2. Dana jest funkcja

f(x, y) = {

1 8 (x

2 − y2)e−x dla |y| ≤ x 0 w.p.p

Zbadać czy tak określona funkcja jest gęstością dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y ).

3. Niech

f(x, y) = { c(x2 + y2) dla (x, y) ∈ K

0 w.p.p

gdzie K = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, x− 1 ≤ y ≤ 1− x}

a) wyznaczyć stałą c tak, aby funkcja f(x, y) była gęstością pewnej zmiennej losowej (X,Y );

b) obliczyć P (X2 + Y 2 ≤ 0, 5).

4. Niech (X,Y, Z) będzie trzywymiarową zmienną losową o gęstości f(x, y, z) = cg(x, y, z). Wyznaczyć stałą c, jeżeli:

a) g(x, y, z) = 1 dla 0 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 3, 4 ≤ z ≤ 5 i g(x, y, z) = 0 w pozostałej części R3; b) g(x, y, z) = 1 dla x2 + y2 + z2 ≤ 1 i g(x, y, z) = 0 w pozostałej części R3; c) g(x, y, z) = xl−1ym−1zn−1 dla x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 i g(x, y, z) = 0 w pozostałej części R3 gdzie l ≥ 1,m ≥

1, n ≥ 1.

5. Zmienna losowa (X,Y ) ma gęstość

f(x, y) = a

π2(16 + x2)(25 + y2) ,

a) wyznaczyć parametr a;

b) znaleźć dystrybuantę F (x, y);

c) znaleźć rozkłady brzegowe.

6. Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa trzywymiarowej zmiennej losowej (X,Y, Z) mając daną dystrybbuantę

F (x, y, z) = (1− e−ax)(1− e−by)(1− e−cz)

dla x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

7. Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia punktu o współrzędnych (X,Y ) w obszar określony nierównościami 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2 , jeżeli współrzędne punktu (X,Y ) mają następującą dystrybuantę

F (x, y) = {

1− a−x2 − a−y2 + a−x2−2y2 dla x ≥ 0 y ≥ 0, 0 w.p.p

8. Współrzędne punktu losowego (X,Y) mają rozkład jednostajny wewnątrz prostokąta ograniczonego odciętymi 0 i a oraz rzędnymi 0 i b. Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia punktu losowego w koło o promieniu R, jeżeli a > b, a środek koła pokrywa się z początkiem układu współrzędnych.

docsity.com

9. Gęstość prawdopodobieństwa układu zmiennych losowych (X,Y ) dana jest wzorem

f(x, y) = { c(R−

√ x2 + y2) dla x2 + y2 ≤ R2

0 w.p.p

Wyznaczyć stałą c oraz prawdopodobieństwo trafienia w koło o promieniu a < R ze środkiem w początku układu współrzędnych.

10. Zmienna losowa dwuwymiarowa (X,Y ) ma rozkład dany gęstością

f(x, y) = { 4

3x2y2 dla x ≥ 1, 1 x ≤ y ≤ x

2

0 w.p.p

Znaleźć dystrybuantę tej zmiennej losowej.

11. Niech λ > 0 oraz niech

f(x, y, z) = { αe−λ(x+y+z) dla x ≥ 0, y ≥, z ≥ 0

0 w.p.p

Dla jakiej wartości parametru α funkcja f(x, y, z) jest gęstością wektora losowego? Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
Pobierz dokument