Matematyka - Notatki - Algebra - Część 3, Notatki'z Algebra. Warsaw School of Economics
Irena85
Irena8524 marca 2013

Matematyka - Notatki - Algebra - Część 3, Notatki'z Algebra. Warsaw School of Economics

PDF (3 MB)
90 strona
1000+Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu algebry: matematyka. Część 3.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 90
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 90 pages
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 90 pages
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 90 pages
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 90 pages
Pobierz dokument

MATEMATYKA 11. GRANICA FUNKCJI

Rozwiązanie 11.3 • Przekształcimy wyrażenie

(2x+ 1) sin 1

x = (2x+ 1) · 1

x · sin 1

x 1 x

= 2x+ 1

x · sin 1

x 1 x

Następnie obliczymy granicę iloczynu funkcji 2x+ 1

x i sin

1 x

1 x

:

lim x→∞

2x+ 1

x · sin 1

x 1 x

= lim x→∞

2x+ 1

x · lim x→∞

sin 1 x

1 x

= lim x→∞

2 + 1 x

1 · 1 = 2

• W tym przypadku różnicę ¡√ 1 + x−√x

¢ pomnożymy i podzielimy przez sumę¡√

1 + x+ √ x ¢ . Otrzymamy

√ 1 + x−√x =

¡√ 1 + x−√x

¢ ¡√ 1 + x+

√ x ¢ · 1√ 1 + x+

√ x =

= 1 + x− x√ 1 + x+

√ x =

1√ 1 + x+

√ x

A więc

lim x→∞

³√ 1 + x−

√ x ´ = lim x→∞

1√ 1 + x+

√ x = 0

• Przekształcamy x− c x2 − c2 =

x− c (x− c) (x+ c)

x6=c =

1

x+ c

Zatem lim x→c

x− c x2 − c2 = limx→c

1

x+ c = 1

2c (c 6= 0)

• Podzielimy licznik i mianownik przez x : lim x→∞

2x+ 1

x = lim x→∞

2 + 1 x

1 = 2

• Porównaj definicję liczby e oraz przykłady z nią związane

lim x→∞

µ 1 +

1

x

¶x = e

• Ponieważ ex 6= 0, to ex (2 + sinx)

ex = 2 + sinx

Zatem

lim x→∞

ex (2 + sinx)

ex = lim x→∞

(2 + sinx) - granica nie istnieje

181

docsity.com

12. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI MATEMATYKA

12 Ciągłóśc funkcji

Niech funkcja f (x) będzie okréslona na pewnym otoczeniu U punktu x0, czyli na zbiorze U (x0; δ) = (x0 − δ;x0 + δ), gdzie δ jest pewną liczbą dodatnią.

Definicja 12.1 Funkcję f (x) nazywamy ciągłą w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy

lim x→x0

f (x) = f (x0) (512)

Uwaga 12.1 Ponieważ istnieją dwie równoważne definicje granicy funkcji, więc z uwagi na (512) istnieją dwie równoważne definicje ciągłósci funkcji - Definicja Heinego i Cauchy’ego. Warunek (512) odpowiada warunkowi

lim h→0 f (x0 + h) = f (x0) (513)

gdzie: h− przyrost argumentu funkcji; często oznaczany również jako ∆x34:

∆x = x− x0 (514)

Różnicę wartósci funkcji w punktach x i x0 oznaczamy

∆f = f (x)− f (x0) (515)

i nazywamy przyrostem wartósci funkcji odpowiadającym w punkcie x0 przyrostowi argumentu ∆x. Używając tych oznaczeń i terminów możemy Definicję 12.1 ciągłósci funkcji zapisać

lim ∆x→0

∆f = 0 (516)

i wypowiedziéc następująco: Funkcję f (x) nazywamy ciągłą w punkcie x0, jeżeli nieskończenie małemu przyrostowi argumentu odpowiada w punkcie x0 nieskończenie mały przyrost wartósci funkcji35.

Uwaga 12.2 (Działania na funkcjach)

1. Suma, różnica oraz iloczyn funkcji ciągłych w punkcie x0 jest funkcją ciągłą w tym punkcie.

34∆x traktujemy jako jeden znak. Zapis ∆x2 oznacza kwadrat przyrostu ∆x, czyli jest równoważny (∆x)2, a nie przyrost kwadratu argumentu x, czyli x2. 35Definicja ciągłósci funkcji według Heinego i Cauchy’ego. Funkcję f (x), okrésloną w otoczeniu x0, nazywamy ciągłą w punkcie x0, jésli:

- Heine: Każdemu ciągowi (xn) argumentów, zbieżnemu do x0 odpowiada ciąg wartósci funkcji (f (xn)) zbieżny do f (x0)

∀(xn)n∈N ³ ∀n xn ∈ Df ∧ lim

n→∞ xn = x0

´ =⇒ lim

n→∞ f (xn) = f (x0)

- Cauchy: Dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 taka, że dla dowolnego x różniącego się od x0 mniej niż o δ wartóśc funkcji f (x) różni się od wartósci f (x0) mniej niż o ε

∀ε > 0 ∃δ > 0 (∀x ∈ Df |x− x0| < δ =⇒ |f (x)− f (x0)| < ε)

182

docsity.com

MATEMATYKA 12. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

2. Iloraz funkcji ciągłych w punkcie x0 jest funkcją ciągłą w tym punkcie przy założeniu, że dzielnik jest różny od zera w punkcie x0.

3. Dowolny wielomian W (x) jest funkcją ciągłą w każdym punkcie zbioru R.

4. Dowolna funkcja wymierna (iloraz dwóch wielomianów) jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny naturalnej

P (x)

Q (x) (517)

R− {x : Q (x) = 0} (518)

5. Funkcje sinx, cosx, ax, a > 0 są ciągłe w swojej dziedzinie naturalnej.

Definicja 12.2 Funkcję nazywamy ciągłą na przedziale otwartym (skończonym lub nieskoń- czonym) wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona ciągła w każdym punkcie tego przedziału.

Definicja 12.3 Funkcję nazywamy prawostronnie (albo lewostronnie) ciągłą w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy

lim x→x0+

f (x) = f (x0) (519)

lub odpowiednio lim x→x0−

f (x) = f (x0) (520)

Definicja 12.4 Funkcja jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie jednoczésnie prawostronnie i lewostronnie ciągła.

Definicja 12.5 Funkcję nazywamy ciągłą na przedziale domkniętym ha; bi wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w każdym punkcie x0 ∈ (a; b), prawostronnie ciągła w punkcie a oraz lewostronnie ciągła w punkcie b.

12.1 Własnósci funkcji ciągłych

W pierwszej kolejnósci przytoczymy twierdzenia o ciągłósci funkcji złożonej w punkcie.

Twierdzenie 12.1 Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w punkcie x0 i funkcja h (u) jest ciągła w punkcie u0 = f (x0), to funkcja złożona h [f (x)] jest ciągła w punkcie x0.

Twierdzenie 12.2 Jeżeli istnieje granica włásciwa lim x→x0

f (x) = g i funkcja h (u) jest ciągła

w punkcie u0 = g, to

lim x→x0 h [f (x)] = h

∙ lim x→x0 f (x)

¸ = h (g) (521)

Przykład 12.1 Obliczyć

lim x→0

cosh2 µ sinx

x

¶ (522)

183

docsity.com

12. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI MATEMATYKA

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2

( )xfy =

( )xfy =

ε+L

ε−L

L

ε+L

ε−L

L

a

a

2. Znajdujemy oraz wyznaczamy

−+ δδ , ( )−+ δδ=δ ,min

1. Wybieramy dowolne ε

3. Gdy zachodzi , to musi zachodzic

δ<−< ax0 ( ) ε<− Lxf

( )δ−af

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2

( )xfy = ε+L

ε−L

L

a +δ −δ

Rysunek 63: Ciągłóśc funkcji.

184

docsity.com

MATEMATYKA 12. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

0

0.5

1

1.5

2.5

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2

( )xfy =

L

a

0

0.5

1

2

2.5

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2

( )xfy =

( )aL f=

a

funkcja nieciągła

0

0.5

1

1.5

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.4 1.6 1.8 2

L

( ) +La ,f

a

funkcja nieciągła

funkcja ciągła

( )af

( )xfy =

Funkcja f(x) jest ciągła w punkcie wewnętrznym x=a

swojej dziedziny, gdy

1. Istnieje ( ) L=→ xfaxlim

2. Istnieje wartość funkcji ( )af

3. ( )aL f=

Rysunek 64: Funkcja ciągła i nieciągła.

185

docsity.com

12. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI MATEMATYKA

Rozwiązanie 12.1 Ponieważ lim x→0

sinx

x = 1 i funkcja cosh2 u jest ciągła w punkcie u0 = 1, to

lim x→0

cosh2 µ sinx

x

¶ = cosh2

µ lim x→0

sinx

x

¶ = cosh2 1 (523)

Odp. cosh2 1 = µ e1 + e−1

2

¶2 = 1

4 (e2 + e−2 + 2).

Twierdzenie 12.3 (O własnósci Darboux) Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na przedziale domkniętym ha; bi oraz f (a) 6= f (b) i istnieje

liczba q zawarta miedzy f (a) i f (b), to istnieje również taki punkt c ∈ (a; b), że f (c) = q.

Definicja 12.6 Funkcję f (x) nazywamy jednostajnie ciągłą na przedziale x wtedy i tylko wtedy, gdy

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x1;x2 ∈ X (|x1 − x2| < δ =⇒ |f (x1)− f (x2)| < ε) (524)

Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest na tym przedziale jednostajnie ciągła.

12.2 Przykłady

Przykład 12.2 Obliczyć granicę

lim x→0

sin 5x

x

Rozwiązanie 12.2 Przyjmijmy, że 5x = y = f (x). Zatem

sin 5x

x = 5

sin y

y = h (y)

Stąd

lim x→0

sin 5x

x = lim x→0

5 sin 5x

5x = lim y→0

5 sin y

y = 5 lim

y→0

sin y

y = 5

Przykład 12.3 Obliczyć granicę lim x→π

2

cosx

2x− π

Rozwiązanie 12.3 Wykonamy podstawienie y = 2x−π. Stąd cosx = cos ¡ y 2 + π

2

¢ = − sin y

2 .

Jeżeli x→ π 2 , to y → 0. Czyli

lim x→π

2

cosx

2x− π = limy→0

µ − sin y

2

y

¶ = − lim

y→0

sin y 2

2y 2

= −1 2

Przykład 12.4 Obliczyć granicę

lim x→0

√ x+ 1− 1 x

186

docsity.com

MATEMATYKA 12. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

Rozwiązanie 12.4 Mamy tu do czynienia z nieoznaczonóscią typu 0 0 . Pomnożymy licznik i

mianownik przez √ x+ 1 + 1. Otrzymamy

√ x+ 1− 1 x

=

¡√ x+ 1− 1

¢ ¡√ x+ 1 + 1

¢ x ¡√ x+ 1 + 1

¢ = x+ 1− 1 x ¡√ x+ 1 + 1

¢ = =

x

x ¡√ x+ 1 + 1

¢ = 1√ x+ 1 + 1

A więc

lim x→0

√ x+ 1− 1 x

= lim x→0

1√ x+ 1 + 1

= 1

1 + 1 = 1

2

Przykład 12.5 Obliczyć granicę lim x→+∞

3x2+1√ 16+x4

Rozwiązanie 12.5

lim x→+∞

3x2 + 1√ 16 + x4

= lim x→+∞

3x2+1 x2√ 16+x4

x2

= lim x→+∞

3 + 1 x2q

16 x4 + x

4

x4

=

= lim x→+∞

3 + ¨ §

¥ ¦1x2 %0r

1 + ¨ §

¥ ¦16x4 %0

= 3

1 = 3

Zapis ¨ §

¥ ¦1x2 %0 oznacza, że wyrażenie w owalu przy x→∞ zdąża do zera.

Przykład 12.6 Obliczyć granicę lim x→−∞

x3

1+x2

Rozwiązanie 12.6

lim x→−∞

x3

1 + x2 = lim x→−∞

x3

x2

1 x2 + x

2

x2

= lim x→−∞

x¨ §

¥ ¦1x2 %0 + 1

= −∞

Przykład 12.7 Dane jest równanie m2x2−(2 + 3m2)x+6 = 0 z niewiadomą x i parametrem m. Do jakich granic dążą pierwiastki tego równania, gdy

a) m→ −∞; b) m→ 0; c) m→ +∞

Rozwiązanie 12.7 Obliczamy wartósć pierwiastków równania. W tym celu wyznaczamy wartósć δ:

δ = (2 + 3m2) 2 − 4 · 6 ·m2 = (2 + 3m2)2 − 24m2 =

= 4 + 12m2 + 9m4 − 24m2 = 4− 12m2 + 9m4 =

= (2− 3m2)2

187

docsity.com

12. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI MATEMATYKA

a następnie obliczamy pierwiastki

x1 = 2 + 3m2 + (2− 3m2)

2m2 =

2

m2 x2 =

2 + 3m2 − 2 + 3m2 2m2

= 3

m→ +∞ =⇒ x1 = 0, x2 = 3 m→ 0 =⇒ x1 = +∞, x2 = 3 m→−∞ =⇒ x1 = 0, x2 = 3

Przykład 12.8 Obliczyć granice

a) lim x→∞

µ 1 +

3

x

¶x b) lim x→0

1− cosx x2

c) lim x→∞

µ 1 +

1

x

¶√x d) lim x→0

1− cos2 x x2

Odp. a) e3; b) 1 2 ; c) 1; d) 1

Rozwiązanie 12.8 b) Przekształcamy wyrażenie 1−cosx x2

. Z trygonometrii znamy tożsamósć dla funkcji kąta połówkowego

1− cosx 2

= sin2 x

2 Stąd

1− cosx x2

= 2 sin2 x

2

x2 = 1

2

µ sin x

2 x 2

¶2 A więc

lim x→0

1− cosx x2

= lim x→0

1

2

µ sin x

2 x 2

¶2 = 1

2

c) Przyjmijmy, że

P =

µ 1 +

1

x

¶√x =

µ 1 +

1

x

¶ x√ x

=

µ 1 +

1

x

¶x· 1√ x

Logarytmując obustronnie powyższe wyrażenie, otrzymujemy

lnP = ln

∙µ 1 +

1

x

¶x¸ 1√ x

Stąd

lnP = 1√ x ln

µ 1 +

1

x

¶x Przechodząc do granicy mamy

lim x→∞

1√ x ln

µ 1 +

1

x

¶x = lim

x→∞

1√ x · ln lim

x→∞

µ 1 +

1

x

¶x =

= lim x→∞

1√ x · ln e = lim

x→∞

1√ x = 0

Zatem lnP = 0

A więc P = 1. Odp. lim x→∞

¡ 1 + 1

x

¢√x = 1.

188

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

13 Pochodne funkcji jednej zmiennej

13.1 Pochodna funkcji

Załóżmy, że funkcja f (x) jest okréslona na pewnym otoczeniu U punktu x0. Symbolem ∆x oznaczamy przyrost zmiennej x, który może býc dodatni albo ujemny, lecz różny od zera i taki, że x0 +∆x ∈ U .

Definicja 13.1 (Ilorazu różnicowego) Iloraz

∆f

∆x def = f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x (525)

nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f (x) w punkcie x0 i dla przyrostu ∆x zmiennej x.

Uwaga 13.1 Nazwa ilorazu różnicowego pochodzi stąd, że w liczniku mamy różnicę wartósci funkcji, zás w mianowniku różnicę wartósci argumentu, gdyż ∆x = x0 +∆x − x0 (patrz rys. 65).

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.6 1.8 2

( )xf

0x 1.0 xx ∆+0

( ) ( )00 xfxxf y

−∆+ =∆

( ) ( ) x

xfxxf x y

∆ −∆+

= ∆ ∆ 00

x

Rysunek 65: Iloraz różnicowy.

Definicja 13.2 Jeżeli iloraz różnicowy (525) ma granicę włásciwą, gdy ∆x dąży do zera (patrz 66), to tę granicę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f 0 (x0)

36 tzn.

f 0 (x0) def = d f

dx (x0) = lim

∆x→0

f (x0 +∆x)− f (x0) ∆x

(526)

Uwaga 13.2 Jeżeli granica (526) istnieje, to mówimy, że funkcja f ma pochodną w punkcie x0 lub, że jest różniczkowalna w tym punkcie. Jeżeli granica (526) nie istnieje, to mówimy, że pochodna f 0 (x0) nie istnieje.

36Często, w przypadku funkcji jednej zmiennej, również stosujemy zapis d f dx .

189

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

Przykład 13.1 Obliczyć pochodną funkcji f (x) = x2 w punkcie x0 = 2.

Rozwiązanie 13.1 Tworzymy iloraz różnicowy funkcji f (x) = x2 w punkcie x0 = 2 dla przyrostu ∆x i obliczamy jego wartósć

∆f

∆x = f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x = (2 +∆x)2 − 22

∆x =

= 1

∆x

¡ 4 + 4∆x+∆x2 − 4

¢ = 4 +∆x

Zatem lim ∆x→0

∆f

∆x = lim ∆x→0

(4 +∆x) = 4. Odp. 4

Przykład 13.2 Obliczyć pochodną funkcji f (x) = x3 w punkcie x0.

Rozwiązanie 13.2 Tworzymy iloraz różnicowy funkcji i obliczamy jego wartósć:

∆f

∆x = (x0 +∆x)

3 − x30 ∆x

= 1

∆x (x30 + 3x

2 0∆x+ 3x0∆x

2 +∆x3 − x30) =

= 3x20 + 3x0∆x+∆x 2

Stąd lim ∆x→0

∆f

∆x = lim ∆x→0

(3x20 + 3x0∆x+∆x 2) = 3x20. Odp. f

0 (x0) = 3x 2 0

Przykład 13.3 Obliczyć pochodną funkcji f (x) = 1 x w punkcie x0 (x0 6= 0).

Rozwiązanie 13.3

f 0 (x0) = lim ∆x→0

∆f

∆x = lim ∆x→0

1 x0+∆x

− 1 x0

∆x = lim ∆x→0

−1 x0 (x0 +∆x)

= −1 x20

Odp. f 0 (x0) = − 1x20 , x0 6= 0.

Twierdzenie 13.1 (O różniczkowalnósci i ciągłósci funkcji) Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0, to jest w tym punkcie ciągła.

Dowód 13.1 Istotnie, ponieważ

f (x0 +∆x)− f (x0) = f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x ·∆x

więc, gdy ∆x → 0, to różnica f (x0 +∆x) − f (x0) dąży do iloczynu f 0 (x0) · 0, czyli do 0. Podstawiając x = x0 +∆x, mamy x→ x0

lim x→x0

[f (x)− f (x0)] = 0 czyli lim x→x0

f (x) = f (x0) (527)

co świadczy o ciągłósci funkcji f w punkcie x0.

190

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.4 1.6

( ) ( ) ( ) x

xfxxfxf x ∆ −∆+

= →∆ 00

00 lim'

x

( )xf

0x xx ∆+0

Rysunek 66: Pochodna jako granica funkcji.

Uwaga 13.3 Ciągłósć funkcji jest zatem warunkiem koniecznym istnienia pochodnej, chóc nie jest warunkiem wystarczającym. Świadczy o tym przykład funkcji |x| ciągłej w punkcie 0 i nie mającej w tym punkcie pochodnej. Z definicji funkcji |x| mamy:

y(x) = |x| =

⎧⎨⎩ −x jeżeli x < 0 x jeżeli x ≥ 0

(528)

Wówczas ilorazy różnicowe są następujące

∆f

∆x =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ −(x0 +∆x)− (−x0)

∆x = −∆x ∆x

= −1 jeżeli x0 < 0

(x0 +∆x)− x0 ∆x

= ∆x

∆x = 1 jeżeli x0 > 0

Zatem

f 0(x0) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ lim x→x0

∆f

∆x = lim x→0−

−(x0 +∆x)− (−x0) ∆x

= −∆x ∆x

= −1 jeżeli x0 < 0

lim x→x0

∆f

∆x = lim x→0+

(x0 +∆x)− x0 ∆x

= ∆x

∆x = 1 jeżeli x0 > 0

nie ma granicy, gdy ∆x→ 0.

Definicja 13.3 Jeżeli pochodna f 0 (x0) istnieje w każdym punkcie x0 zbioru X, to funkcję f 0 (x) okrésloną na zbiorze X nazywamy pochodną funkcji f (x) - krótko: ”pochodną f (x)”.

Uwaga 13.4 Jeżeli y = f (x), to zamiast f 0 (x) piszemy także y0.

Twierdzenie 13.2 Jeżeli istnieją pochodne f 0 (x), g0 (x), to:

[f (x)± g (x)]0 = f 0 (x)± g0 (x) (529)

191

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

[f (x) · g (x)]0 = f 0 (x) g (x) + f (x) g0 (x) (530)

∙ f (x)

g (x)

¸0 = f 0 (x) g (x)− f (x) g0 (x)

[g (x)]2 (531)

Twierdzenie 13.3 Jeżeli funkcje u, v, w są różniczkowalne w pewnym punkcie, to pochodna iloczynu tych funkcji uvw dana jest wzorem

(u (x) v (x)w (x))0 = u (x)0 v (x)w (x) + u (x) v (x)0w (x) + u (x) v (x)w (x)0 (532)

W poniższej tabeli podane są pochodne wybranych funkcji jednej zmiennej.

f (x) f 0 (x) Uwagi, ograniczenia c 0 funkcja stała xα αxα−1 ∀x, gdy α ∈ N

∀x 6= 0, gdy α ∈ Z37 ∀x > 0, gdy α ∈ R

n √ x

1

n n √ xn−1

∀x > 0, gdy n = 2, 4, 6, . . . ∀x 6= 0, gdy n = 3, 5, 7, . . .

ax ax ln a ∀x, gdy a > 0

ex ex e = lim x→∞

µ 1 +

1

x

¶x sinx cosx ∀x cosx − sinx ∀x loga x

1

x ln a a > 0, a 6= 1 ∀x > 0

lnx 1

x ∀x > 0

arccosx − 1√ 1− x2

∀x ∈ (−1, 1)

arcsinx 1√ 1− x2

∀x ∈ (−1, 1)

arctanx 1

1 + x2 ∀x

arccotx − 1 1 + x2

∀x sinhx coshx ∀x coshx sinhx ∀x arsinhx

1√ 1 + x2

∀x

arcoshx 1√ x2 − 1

|x| > 1

Tablica 2: Pochodne wybranych funkcji

192

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

13.1.1 Pochodna funkcji odwrotnej

Twierdzenie 13.4 Jeżeli funkcja x = f (y) jest silnie monotoniczna i ma pochodną f 0 (y) 6= 0 na przedziale Y , to funkcja odwrotna y = f−1 (x) = ϕ (x) ma pochodną£

f−1 (x) ¤0 =

1

f 0 [f−1 (x)] (533)

na przedziale f (Y ).

Jeżeli funkcje f (x) i ϕ (y) są wzajemnie odwrotne, to

y = f (x) ⇐⇒ x = ϕ (y) y +∆y = f (x+∆x) ⇐⇒ x+∆x = ϕ (y +∆y) ∆y = f (x+∆x)− f (x) ⇐⇒ ∆x = ϕ (y +∆y)− ϕ (y)

a ponieważ funkcja jest silnie monotoniczna, to ∆x 6= 0⇐⇒ ∆y 6= 0 i

f 0 (x) = f (x+∆x)− f (x)

∆x = ∆y

∆x = 1 ∆x ∆y

= 1

ϕ(y+∆y)−ϕ(y) ∆y

= 1

ϕ0 (y)

A więc

f 0 (x) = 1

ϕ0 (y) (534)

Przykład 13.4 Obliczyć pochodną funkcji y = arcsinx (−1 < x < 1) , przy czym −π 2 < y <

π 2 .

Rozwiązanie 13.4 Jest to funkcja odwrotna względem funkcji x = sin y. Funkcja ta ma pochodną dx

d y = cos y. Na mocy twierdzenia 13.4 istnieje pochodna d y

dx

d y

dx = d

dx (arcsinx) =

1 dx d y

= 1

cos y =

1p 1− sin2 y

= 1√ 1− x2

(535)

Wyłączylísmy wartósci x = ±1, ponieważ dla wartósci y = ±π 2 pochodna cos y = 0.

Przykład 13.5 Obliczyć pochodną funkcji y = arccosx (−1 < x < 1) , przy czym −π 2 < y <

π 2 .

Rozwiązanie 13.5 Jest to funkcja odwrotna względem funkcji x = cos y. Funkcja ta ma pochodną dx

d y = − sin y. Korzystając z twierdzenia 13.4 mamy dla d y

dx

d y

dx = d

dx (arccosx) =

1 dx d y

= 1

− sin y = − 1p

1− cos2 y = − 1√

1− x2 (536)

Przykład 13.6 Obliczyć pochodną funkcji y = arctanx (−∞ < x <∞). Rozwiązanie 13.6 Funkcja x = tan y ma pochodną równą dx

d y = 1

cos2 y . Postępują jak powyżej

mamy:

d y

dx = d

dx (arctanx) =

1 dx d y

= 1 1

cos2 y

= cos2 y = cos2 y

sin2 y + cos2 y =

1

1 + tan2 y =

1

1 + x2 (537)

Przykład 13.7 Obliczyć pochodną funkcji odwrotnej do funkcji y = ex.

Rozwiązanie 13.7 Funkcją odwrotną do funkcji y = ex jest funkcja x = ln y. Na mocy (534) mamy

x0 = (ln y)0 = 1

(ex)0 = 1

ex = 1

y

193

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

13.1.2 Pochodna funkcji złożonej

Twierdzenie 13.5 Jeżeli funkcja u = h (x) ma pochodną h0 (x) oraz funkcja y = f (u) ma pochodną f 0 (u), to funkcja złożona y = f [h (x)] ma pochodną

y0 = f 0[h (x)] · h0 (x) (538)

Ze wzoru tego wynika, że pochodna funkcji złożonej jest równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej i pochodnej funkcji wewnętrznej. W symbolice Leibniza wzór ten ma postác:

d y

dx = d y

du · du dx

Jeżeli funkcja jest złożona według schematu

y (u (v (x))) (539)

to jej pochodna wyraża się wzorem

d y

dx = d y

du · du d v

· d v dx

(540)

Przykład 13.8 Obliczyć pochodną funkcji y = arctan 1

1− lnx .

Rozwiązanie 13.8 Mamy: y = arctanu; u = 1/v, v = 1− lnx, zatem (patrz Tabela 2):

d y

dx =

1

1 + u2 · µ − 1 v2

¶ · µ −1 x

¶ =

1

1 + ¡

1 1−lnx

¢2 ·µ −1(1− lnx)2 ¶ · µ −1 x

¶ =

1

x ¡ 2− 2 lnx+ ln2 x

¢ Przykład 13.9 Obliczyć pochodną funkcji f (x) = ln sinx (patrz (538)).

Rozwiązanie 13.9 Mamy ln sinx = lnu |u=sinx . Zatem

(ln sinx)0 = (lnu)0 ¯̄̄̄ u=sinx · u0 =

1

u · (sinx)0 = 1

u |u=sinx · cosx =

= 1

sinx · cosx = cotx

Przykład 13.10 Obliczyć pochodną funkcji f (x) = ekx.

Rozwiązanie 13.10 Podstawmy ekx = eu |u=kx , zatem¡ ekx ¢0 = (eu)0

¯̄ u=kx

· u0 = eu · (kx)0 = eu|u=kx · k = ekx · k = kekx

Przykład 13.11 Obliczyć pochodną funkcji y = √ 1 + x2.

Rozwiązanie 13.11 Ponieważ y = √ u, u = 1 + x2, zatem³√

1 + x2 ´0 = ¡√ u ¢0 ¯̄̄ u=1+x2

· u0 = 1 2 √ u · 2x = x√

1 + x2 .

Pochodną tę możemy również wyznaczyć posługując się innym zapisem

d y

dx = d y

du · du dx

= 1

2 √ u · 2x = x√

1 + x2

194

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

13.1.3 Pochodna funkcji wyznaczonej w postaci parametrycznej

Niech funkcja y = f (x) będzie zdefiniowana równaniami parametrycznymi x = x (t) , y = y (t) , t−parametr. Wówczas jej pochodne obliczamy z poniższych wzorów

d y

dx = y0t x0t =

d y

d t dx

d t

(541)

d2 y

dx2 = x0y00 − y0x00

(x0)2

przy czym różniczkowanie zachodzi względem parametru t, tj. y0 = d y d t , x0 = dx

d t oraz x0 6= 0.

Przykład 13.12 Obliczyć d y dx , jeżeli x (t) = t3 + 3t+ 1, y (t) = 3t5 + 5t3 + 1.

Rozwiązanie 13.12 Mamy

y0t = d y

d t = 15t4 + 15t2

stąd d y

dx = 15t4 + 15t2

3t2 + 3 = 5t2

x0t = dx

d t = 3t2 + 3

13.1.4 Pochodne jednostronne

Niekiedy interesują nas wartósci pochodnych na krańcach przedziału, w którym analizujemy daną funkcję. Wówczas mamy do czynienia z pochodnymi jednostronnymi.

Definicja 13.4 Pochodną lewostronną funkcji f (x) w punkcie x0 (symbol f 0− (x0) lub f 0 (x0−))

oraz pochodną prawostronną funkcji f (x) w punkcie x0 (symbol f 0+ (x0) lub f 0 (x0+) okréslamy

następująco:

f 0 (x0−) def = lim ∆x→0−

f (x0 +∆x)− f (x0) ∆x

= lim x→x−0

f (x0 +∆x)− f (x0) ∆x

(542)

f 0 (x0+) def = lim ∆x→0+

f (x0 +∆x)− f (x0) ∆x

= lim x→x+0

f (x0 +∆x)− f (x0) ∆x

(543)

Szczególnym przypadkiem funkcji, która ma pochodne jednostronne jest funkcja y = |x|

f 0(x0) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ lim x→0−

−(x0 +∆x)− (−x0) ∆x

= −∆x ∆x

= −1 jeżeli x0 < 0

lim x→0+

(x0 +∆x)− x0 ∆x

= ∆x

∆x = 1 jeżeli x0 > 0

Pochodna funkcji istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie pochodne jednostronne istnieją i są sobie równe:

f 0 (x) = f 0 (x0−) = f 0 (x0+)

1. Funkcja f (x) = √ 1− x2 jest ciągła w przedziale < −1; 1 > oraz różniczkowalna we

wnętrzu tego przedziału. Istnieją pochodne jednostronne f 0 (x = −1+) oraz f 0 (x = 1−).

2. Funkcja |sinx| jest ciągła w przedziale (−∞;∞) i różniczkowalna w każdym przedziale, którego wnętrze nie zawiera punktów kπ, k = 0, ±1, ±2, . . . (patrz rys. 67 b).

195

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

13.1.5 Pochodne nieskończone w punkcie

bπ π2

xsin

a 1− 1

21 x

Rysunek 67: Pochodne jednostronne i nieskończone.

Jeżeli granica (ewentualnie granica jednostronna) ilorazu różnicowego jest równa +∞ lub −∞, to mówimy, że funkcja ma w danym punkcie pochodną (ewentualnie pochodną jednostronną) nieskończoną, równą +∞ lub −∞.

1. Funkcja 3 √ x ma w punkcie x = 0 pochodną równą +∞, bowiem f (0 +∆x)− f (0)

∆x =

3 √ ∆x

∆x =

1 3 √ ∆x2

→ +∞ dla ∆x → 0. Funkcja ta jest ciągła, a jej wykres ma w odpowiednim punkcie styczną pionową.

2. Funkcja f (x) = √ 1− x2 ma pochodną równą f 0 (x) = − x√

1− x2 . W prawostronnym

otoczeniu punktu x = −1 + ∆x pochodna przyjmuje wartóśc +∞, a w lewostronnym otoczeniu punktu x = +1−∆x przyjmuje wartóśc −∞ (patrz rys. 67 a).

Uwaga 13.5 (O istnieniu pochodnych)

1. Istnienie f 0 (x0) zapewnia istnienie f 0 (x0−) i f 0 (x0+), ale nie na odwrót.

2. Jeżeli funkcja f (x) ma pochodną na przedziale (a; b) oraz istnieją f 0 (a+) i f 0 (b−), to mówimy, że istnieje f 0 (x) na przedziale domkniętym ha; bi.

3. Niekiedy piszemy f (0) (x) zamiast f (x) oraz f (1) (x) zamiast f 0 (x) : f (1) (x) ≡ f 0 (x). Ogólnie pochodną rzędu n (n−tą pochodną funkcji f (x)) oznaczamy symbolem f (n) (x) i okréslamy następująco:

f (n) (x) def = £ f (n−1) (x)

¤0 (544)

Zamiast f (2) (x) , f (3) (x) , . . . używamy także symboli f 00 (x), f 000 (x).

13.2 Przykłady

Przykład 13.13 Obliczyć pochodną funkcji f (x) = sinx.

Rozwiązanie 13.13 Ponieważ

∆f

∆x =

sin (x+∆x)− sinx ∆x

= 2 sin x+∆x−x

2 cos x+∆x+x

2

∆x =

= sin ∆x

2 ∆x 2

· cos µ x+ ∆x

2

¶ 196

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Zatem

d f

dx = f

0 (x) = lim

∆x→0

∆f

∆x = lim ∆x→0

sin ∆x 2

∆x 2

· cos µ x+ ∆x

2

¶ = 1 · cosx = cosx (545)

czyli (sinx)0 = cosx.

Przykład 13.14 Wykorzystując wzór (544) wyznacz drugą pochodną funkcji f(x) = sinx.

Rozwiązanie 13.14 Ponieważ f(x) = f (0) = sinx, a f 0(x) = f (1) = cosx, to

f 00(x) = f (2)(x) = (f 0(x)) 0 = (cosx)0 = − sinx

Odp. Druga pochodna funkcji f(x) = sinx ma postać f 00(x) = − sinx.

Przykład 13.15 Oblicz drugą pochodną wielomianu f(x) = 3x3 − 2x2 + x− 8.

Rozwiązanie 13.15

f 0(x) = 3 · 3x2 − 2 · 2x+ 1 = 9x2 − 4x+ 1 f 00(x) = [f 0(x)]

0 = 2 · 9x− 4 = 18x− 4

Odp. Druga pochodna funkcji f(x) = 3x3 − 2x2 + x− 8 ma postać f 00(x) = 18x− 4.

Przykład 13.16 Wyznacz drugą pochodną funkcji f(x) = tanx.

Rozwiązanie 13.16 Ponieważ

d f

dx = f 0(x) = (tanx)0 =

µ sinx

cosx

¶0 = cosx · cosx− sinx · (− sinx)

cos2 x =

1

cos2 x =

= 1 + tan2 x zatem d2 f

dx2 = f 00(x) = (1 + tan2 x)0 = 2 tanx · 1

cos2 x = 2 sinx

cos3 x

Odp. Druga pochodna funkcji f(x) = tanx ma postać f 00(x) = 2 sinx cos3 x

.

Przykład 13.17 Obliczyć pochodną funkcji f (x) = √ x dla x > 0.

Rozwiązanie 13.17 Niech x > 0 oraz x+∆x > 0. Zatem

∆f

∆x =

√ x+∆x−√x ∆x

=

√ x+∆x−√x ∆x

· √ x+∆x+

√ x√

x+∆x+ √ x =

1√ x+∆x+

√ x

Stąd

f 0 (x) = lim

∆x→0

∆f

∆x = lim ∆x→0

1√ x+∆x+

√ x =

1

2 √ x

(546)

Przykład 13.18 Obliczyć pochodną funkcji f (x) = loga x, x > 0

197

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

Rozwiązanie 13.18 Załóżmy, że ∆x > 0. Zatem

f (x+∆x)− f (x) ∆x

= loga (x+∆x)− loga x

∆x =

1

∆x loga x+∆x

x = 1

x · x ∆x

loga

µ 1 + ∆x

x

¶ Przyjmując, że z = x

∆x otrzymujemy

f (x+∆x)− f (x) ∆x

= 1

x · z loga

µ 1 +

1

z

¶ = 1

x loga

µ 1 +

1

z

¶z Jeżeli ∆x→ 0, to z = x

∆x →∞, a więc na mocy Definicji 11.9 mamy

lim z→∞

µ 1 +

1

z

¶z = e (547)

Dzięki ciągłósci funkcji logarytmicznej otrzymujemy38

lim z→∞

loga

µ 1 +

1

z

¶z = loga e =

1

loge a =

1

ln a

Zatem

f 0 (x) = (loga x) 0 = lim

∆x→0

∆f

∆x = lim ∆x→0

1

x loga

µ 1 +

1 x ∆x

¶ x ∆x

= 1

x loga e =

1

x ln a

Czyli

(loga x) 0 =

1

x ln a (548)

Jeżeli a = e, to loge x = lnx i

(lnx)0 = 1

x (549)

Przykład 13.19 Obliczyć pochodną funkcji wykładniczej y = ax, a > 0.

Rozwiązanie 13.19 Na podstawie definicji pochodnej mamy

(ax)0 = lim ∆x→0

ax+∆x − ax ∆x

= lim ∆x→0

ax a∆x − 1 ∆x

= ax lim ∆x→0

a∆x − 1 ∆x

= ax lim z→0

z ln(1+z) ln a

=

= ax ln a lim z→0

z

ln (1 + z) = ax ln a lim

z→0

1 1 z ln (1 + z)

= ax ln a lim z→0

1

ln (1 + z)1/z =(550)

= ax ln a lim y→∞

1

ln ³ 1 + 1

y

´y = ax ln a 1 ln lim y→∞

³ 1 + 1

y

´y = ax ln a 1 ln e

= ax ln a

W szczególnósci dla a = e mamy (ex)0 = ex (551)

38Korzystamy ze znanego wzoru: loga b · logb a = 1.

198

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

13.3 Geometryczny sens pochodnej

Interpretacja geometryczna pochodnej przedstawiona jest na rysunku 68. Iloraz różnicowy ∆f

∆x jest równy tangensowi kąta nachylenia β siecznej do osi 0x, czyli

współczynnikowi kierunkowemu tej siecznej. Na rysunku 68 przedstawiona jest funkcja f(x) = 0.5x2 − 0.1x oraz sieczna przecinająca krzywą f(x) w punktach x0 = 2.0 i x1 = 3.9. Jej współczynnik kierunkowy jest równy39

tanβ = ∆f

∆x = f(3.9)− f(2) 3.9− 2 =

7.215− 1.8 1.9

= 5.415

1.9 = 2.85 (552)

Przyjmijmy, że x1 = x0 +∆x. Jeżeli ∆x → 0, to x1 → x0. Pochodna f 0 (x0), a więc granica ilorazu różnicowego, jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej (linia przerywana) do krzywej y = f (x) w punkcie o odciętej x040

tanα = f 0 (x0) = x0 − 0.1 = 2− 0.1 = 1.9 (553)

gdzie α oznacza kąt nachylenia tej stycznej do osi 0x.

Uwaga 13.6 Styczna do krzywej y = f (x) w punkcie P (x0, f (x0)) ma równanie

y − y0 = f 0 (x0) (x− x0) (554)

Przykład 13.20 Napisać równanie stycznej do paraboli y = x2 w punkcie P (2, 4).

Rozwiązanie 13.20 Mamy tu f (x) = x2, więc f 0 (2) = 4. Równanie stycznej ma postać

y − 4 = 4 (x− 2)

stąd y = 4x− 4

Odp. y = 4x− 4 (patrz rys. 69).

xxxf 1.05.0)( 2 −=

9.385.2)(1 −= xxf

29.1)(2 −= xxf

0

2

4

6

8

1 2 3 4 βα

Rysunek 68: Funkcja y = 0.5x2 − 0.1x, sieczna i styczna.

-2 0

2

4

6

8

10

12

14

16

-2 -1 1 2 3 4

Rysunek 69: Parabola y = x2 i styczna do niej w punkcie x0 = 2.

39Skrót tan oznacza w całym wykładzie funkcję tangens, tg. 40 ∆f ∆x =

0.5(2+∆x)2−0.1(2+∆x)−1.8 ∆x =

0.5(4+4∆x+∆x2)−0.2−0.1∆x−1.8 ∆x =

1.8+1.9∆x+0.5∆x2−1.8 ∆x = 1.9 + 0.5∆x.

Przechodząc do granicy lim ∆x→0

∆f ∆x = lim∆x→0

(1.9 + 0.5∆x) = 1.9.

199

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

Przykład 13.21 Obliczyć, jaki kąt z osią 0x tworzy styczna do paraboli y = x2 − 3x + 8 w punkcie x = 1.

Rozwiązanie 13.21 Jeżeli α oznacza kąt między osią x i styczną do krzywej y = f(x) w punkcie x = x0, to zachodzi związek tanα = f 0(x0). Obliczamy pochodną y0 = f 0(x) = 2x− 3. W punkcie x = 1 pochodna ta przybiera wartósć f 0(1) = −1. A więc tanα = −1. Stąd α = 135◦ (α = 3

4 π) (patrz rys. 70).

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-5 5

Rysunek 70: Parabola y = x2 − 3x+ 8 i styczna.

-25

-20

-10

-5

0

5

10

-2 -1 1 2 3 4 5

Rysunek 71: Funkcja y = x3−3x2−9x+ 2 i styczne.

Przykład 13.22 Obliczyć, w jakim punkcie styczna do krzywej y = x3 − 3x2 − 9x + 2 jest równoległa do osi 0x.

Rozwiązanie 13.22 Styczna jest równoległa do osi 0x, jeżeli y0 = tanα = 0. Obliczając pochodną i przyrównując ją do zera otrzymujemy

3x2 − 6x− 9 = 0

Rozwiązaniami są pierwiastki: x1 = −1, x2 = 3. Wartósci funkcji w tych punktach są równe: y(−1) = 7, y(3) = −25. Odp. Styczna jest równoległa do osi 0x w dwóch punktach P1(−1, 7) i P2(3,−25) (rys. 71).

13.4 Fizyczny sens pochodnej

13.4.1 Prędkóśc w ruchu prostoliniowym

Załóżmy, że punkt materialny M porusza się po osi 0x w ten sposób, że jego współrzędna x (położenie) w dowolnej chwili t jest równa wartósci pewnej funkcji x (t)

x = x (t) − równanie ruchu (555)

Ustalmy chwilę t i niech przyrost czasu ∆t będzie różny od 0. Chwilom t i t + ∆t odpowiadają pozycje x (t) i x (t+∆t) oraz przesunięcie ∆x = x (t+∆t)−x (t). Stosunek ∆x

∆t

jest prędkóscią średnią, a granica tego stosunku dla ∆t → 0 jest prędkóscią chwilową punktu M w chwili t. Oznaczamy ją ẋ (t)

ẋ (t) = lim ∆t→0

∆x

∆t = lim ∆t→0

x (t+∆t)− x (t) ∆t

(556)

200

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Z drugiej strony, granica ta jest pochodną funkcji x (t) w chwili t, zatem

ẋ (t) = x0 (t) (557)

W ruchu prostoliniowym prędkóśc jest pochodną funkcji okréslającej położenie.

13.4.2 Pojemnóśc cieplna

Niech T oznacza temperaturę pewnego ciała (w ◦C), a W ilóśc ciepła (w cal), które ciało musi pobrác, aby jego temperatura wzrosła od 0 ◦C do T . Załóżmy, że W jest funkcją T

W =W (T )

Jeżeli ustalimy T oraz ∆T , to iloraz różnicowy

∆W

∆T = W (T +∆T )−W (T )

∆T (558)

jest średnią pojemnóscią cieplną ciała w przedziale temperatur od T do T +∆T . Granica tego ilorazu dla ∆T → 0, czyli pochodna

W 0 (T ) =

dW

dT (T ) (559)

jest pojemnóscią cieplną ciała w temperaturze T .

13.5 Pochodna logarytmiczna

Przykład 13.23 Obliczyć pochodną funkcji y = xx.

Rozwiązanie 13.23 Aby obliczyć pochodną funkcji

y (x) = [p (x)]w(x) (560)

poddajemy ją najpierw obustronnemu logarytmowaniu

ln y (x) = w (x) · ln p (x) (561)

a następnie różniczkujemy jej logarytm

[ln y (x)]0 = y0 (x)

y (x) = w0 (x) ln p (x) + w (x)

p0 (x)

p (x) (562)

Wyrażenie

[ln y (x)]0 = y0 (x)

y (x) (563)

nazywamy pochodną logarytmiczną funkcji y (x). Znając pochodną logarytmiczną łatwo obliczyć zwykłą pochodną, mianowicie

y0 (x) = y (x)

∙ w0 (x) ln p (x) + w (x)

p0 (x)

p (x)

¸ (564)

201

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

Przechodząc do polecenia otrzymujemy

ln y = x lnx

Stąd y0

y = 1 · lnx+ x · 1

x = lnx+ 1

Ostatecznie y0 (x) = (xx)0 = y (x) (lnx+ 1) = xx (1 + lnx)

Zadanie to możemy rozwiązać inną metodą, wykorzystując znane tożsamósci logarytmiczne. Mamy

z = aloga z (565)

Jeżeli z = xx, a a = e, to xx = elnx

x

= ex lnx

Stąd (xx)0 =

¡ elnx

x¢0 = ¡ ex lnx

¢0 = ex lnx (x lnx)0 = ex lnx (lnx+ 1)

A więc (xx)0 = xx (1 + lnx) (566)

Przykład 13.24 Obliczyć pochodną funkcji y(x) = (sinx)tanx w przedziale 0 < x < π/2.

Rozwiązanie 13.24 Ponieważ elnu = u, to sinx = eln sinx. Podnosząc obie strony do potęgi tanx otrzymujemy

y = (sinx)tanx = etanx ln sinx

Jest to funkcja ef(x), której pochodna jest równa ef(x)·f 0(x). Ponieważ wykładnik jest iloczynem, to

y0(x) = etanx ln sinx µ ln sinx

cos2 x + tanx

1

sinx cosx

¶ = etanx ln sinx

µ ln sinx

cos2 x + 1

¶ Odp. Pochodna funkcji y(x) = (sinx)tanx ma postać y0(x) = etanx ln sinx

¡ ln sinx cos2 x

+ 1 ¢ .

Przykład 13.25 Obliczyć pochodną funkcji y (x) = logx sinx (x > 0, x 6= 1, sinx > 0).

Rozwiązanie 13.25 Z definicji logarytmu wiemy, że wyrażenie y (x) = logx sinx jest równo- ważne równaniu sinx = xy(x). Logarytmując je obustronnie otrzymamy

ln sinx = y lnx

Stąd

y = ln sinx

lnx

Ostatecznie

y0 =

µ ln sinx

lnx

¶0 = (ln sinx)0 · lnx− (lnx)0 · ln sinx

ln2 x =

=

1

sinx · cosx · lnx− 1

x ln sinx

ln2 x = x lnx · cotx− ln sinx

x ln2 x

202

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Przykład 13.26 Obliczyć pochodną funkcji y = logx 2 (x > 0, x 6= 1).

Rozwiązanie 13.26 Ponieważ 41 loga b = 1

logb a , to logx 2 =

1 log2 x

. Więc

(y)0 =

µ 1

log2 x

¶0 = − 1

log22 x · (log2 x)0

Biorąc pod uwagę wzór (548), otrzymujemy

y0 = − 1 log22 x

· 1 x ln 2

13.6 Różniczka funkcji

Definicja 13.5 (Funkcji nieskończenie małej) Jeżeli

lim f (x)

g (x) = 0 (567)

przy czym lim oznacza granicę, gdy x → x0, x → ±∞ albo granicę jednostronną w punkcie x0 ∈ (−∞;∞), to mówimy, że funkcja f (x) jest w danym przej́sciu granicznym nieskończenie mała w porównaniu z g (x) i piszemy f (x) = o (g (x)).

Definicja 13.6 Jeżeli funkcja f (x) ma pochodną f 0 (x) oraz dx oznacza przyrost zmiennej x, dostatecznie bliski zeru, to

f (x0 + dx)− f (x0) = f 0 (x0) dx+ o (dx) (568)

gdzie o (dx) jest przy dx → 0 nieskończenie małą w porównaniu z dx. Iloczyn f 0 (x0) dx, w przybliżeniu równy przyrostowi funkcji ∆f = f (x0 + dx) − f (x0), nazywamy różniczką funkcji f (x) w punkcie x0 dla przyrostu dx zmiennej x i oznaczamy ją symbolem d f (x0).

Wyrażenie (568) można zapisác następująco

f (x0 + dx)− f (x0) = f 0 (x0) dx+ dx · α (dx) (569)

przy czym funkcja α (dx) spełnia warunki

lim dx→0

α (dx) = 0 α (0) = 0

Przykład 13.27 Obliczyć różniczkę funkcji f (x) = x3.

Rozwiązanie 13.27 Mamy

f (x+ dx)− f (x) = (x+ dx)3 − x3 = 3x2 dx+ dx ¡ 3x dx+ dx

2 ¢

gdzie: 3x2 dx− różniczka funkcji, równa iloczynowi pochodnej funkcji i przyrostu argumentu, α (dx) = 3xdx+ dx2, α (0) = 0.

41Przypomnienie: Wzór na zamianę podstawy logarytmu ma postác loga b · logb a = 1

203

docsity.com

13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

styc zna

różniczka dxxf )(' 0

)()( 00 xfdxxf −+

)(dxo

)(xfy =

0x dxx +0 x

y

0

Rysunek 72: Różniczka funkcji f(x).

Mamy więc

d f (x0) def = f 0 (x0) · dx (570)

Na rysunku 72 przedstawiono interpretację geometryczną różniczki. Pomijając we wzorze (568) składnik o (dx), dostajemy wzór przybliżony:

f (x0 + dx) ≈ f (x0) + f 0 (x0) dx (571)

z którego można korzystác, gdy dx jest dostatecznie bliski zeru.

Definicja 13.7 Różniczką rzędu n (n ∈ N ) funkcji f (x) w punkcie x0 i dla przyrostu dx zmiennej x nazywamy liczbę

d nf (x0) = f

(n) (x0) dx n (572)

przy czym dxn ≡ (dx)n. Zamiast d nf (x0) piszemy krótko d nf . Jeżeli y = f (x), to zamiast d nf (x) piszemy także d ny. Stąd

f (n) ≡ d nf

dxn ≡ d

ny

dxn (573)

Przykład 13.28 Obliczyć w przybliżeniu ln 1.02.

Rozwiązanie 13.28 Korzystamy z wzoru (571) przyjmując f (x) = lnx, x = 1, dx = 0.02. Mamy zatem f 0 (1) = 1, f (1) = 0. Stąd ln 1.02 ≈ 0 + 1 · 0.02 = 0.02.

Przykład 13.29 Dwa oporniki o oporach R1 i R2 połączono równolegle. Jak w przybliżeniu zmieni się opór zastępczy R tego układu, jeżeli opór R2 zmieni się o dR2?

Rozwiązanie 13.29 Wartósć oporu zastępczego obliczamy na podstawie wzoru

1

R = 1

R1 + 1

R2

Stąd

R = R1R2 R1 +R2

Jego zmiana jest równa

∆R = R1 (R2 + dR2)

R1 +R2 + dR2 − R1R2 R1 +R2

= R21 dR2

(R1 +R2 + dR2) (R1 +R2)

Zatem przybliżona zmiana oporu zastępczego będzie równa

∆R ≈ R 2 1 dR2

(R1 +R2) 2

204

docsity.com

MATEMATYKA 13. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

13.7 Twierdzenie Rolle’a i Lagrange’a.

Twierdzenie 13.6 (Rolle’a) Jeżeli funkcja f (x) jest ciągłą na przedziale ha; bi i istnieje f 0 (x) na przedziale (a; b) oraz

f (a) = f (b), to istnieje taki punkt c ∈ (a; b), że f 0 (c) = 0.

Oznacza to, że na łuku, którego końce mają te same rzędne (rys. 73), znajduje się co najmniej jeden punkt, w którym styczna jest równoległa do osi odciętych.

Przykład 13.30 Sprawdzíc, że funkcja f (x) = sin3 x + 3 4 cos2 x spełnia na przedziale h0, πi

założenie Twierdzenia Rolle’a i obliczyć wartósć c.

Rozwiązanie 13.30 Funkcja f (x) jest ciągłą na przedziale jako suma iloczynów funkcji ciąg- łych. Ponadto dla każdego x ∈ (0;π) istnieje pochodna

f 0 (x) = 3 sinx cosx

µ sinx− 1

2

¶ oraz f (0) = f (π) =

3

4

Liczba c ∈ (0;π) spełnia równanie f 0 (c) = 0, czyli 3 sin c · cos c · ¡ sin c− 1

2

¢ = 0. Stąd c1 =

π/6, c2 = π/2, c3 = 5 6 π.

Twierdzenie 13.7 (Lagrange’a o przyrostach) Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na przedziale domkniętym o końcach x0 i x wraz z pierwszą

pochodną wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c leżący między x0 i x, że

f (x)− f (x0) = f 0 (c) (x− x0) (574)

Oznacza to, że na łuku znajduje się co najmniej jeden punkt, w którym styczna jest równoległa do cięciwy łączącej końce łuku (rys. 74).

0)(' =cf

y

xa bc

)()( bfaf =

Rysunek 73: Twierdzenie Rolle’a.

)( 0xf

y

xx0 xc

)(xf

Rysunek 74: Twierdzenie Lagrange’a.

13.8 Twierdzenie Taylora

Twierdzenie 13.8 (Taylora) Jeżeli funkcja f (x) ma ciągłe pochodne do rzędu (n− 1) włącznie na przedziale domkniętym

o końcach x0 i x oraz ma pochodną rzędu n wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c, leżący między x0 i x, że

f (x) = n−1X k=0

f (k) (x0)

k! (x− x0)k +

f (n) (c)

n! (x− x0)n =

n−1X k=0

f (k) (x0)

k! (x− x0)k +Rn (575)

gdzie: f (k)(x)− patrz wzór (544).

205

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 90 pages
Pobierz dokument