Momenty bezwładności - Notatki - Mechanika - Część 2, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology
guns_pistols
guns_pistols15 marca 2013

Momenty bezwładności - Notatki - Mechanika - Część 2, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology

PDF (372 KB)
11 strona
719Liczba odwiedzin
Opis
W notatkach omawiane zostają zagadnienia z fizyki: momenty bezwładności względem osi obróconej.
20 punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 11

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 11 pages

Pobierz dokument

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 11 pages

Pobierz dokument

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 11 pages

Pobierz dokument

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 11 pages

Pobierz dokument
momenty_bezwladnosci cz2.pdf

6.5. Momenty bezw adno!ci wzgl"dem osi obróconej

Za ó!my, !e znamy momenty bezw adno"ci wzgl#dem osi Ix, Iy, Iz oraz

momenty dewiacyjne Dxy, Dyz, Dzx w uk adzie wspó rz#dnych x, y, z o pocz$tku w

dowolnym punkcie O sztywno zwi$zanym z rozpatrywanym cia em, a chcemy

wyznaczy% moment bezw adno"ci wzgl#dem dowolnej osi l przechodz$cej przez

punkt O (rys. 6.4). W tym celu wytnijmy my"lowo element masy dm opisany w

uk adzie wspó rz#dnych x, y, z przez wektor wodz$cy

r i j k ! !x y z

i oddalony od osi l o wielko"% h.

Momenty bezw adno"ci wzgl#dem osi l obliczymy ze wzoru:

I h dl " 2 m . (6.23)

z

y

x

r

A

O

dm

h

A#

1l l

b

B

Rys. 6.4. Wyznaczenie momentu bezw adno"ci bry y sztywnej wzgl#dem dowolnej osi

przechodz$cej przez pocz$tek uk adu wspó rz#dnych

W celu wyznaczenia odleg o"ci h w funkcji wspó rz#dnych wektora r kierunek

prostej l okre"limy za pomoc$ wektora jednostkowego . Wektor ten mo!emy

zapisa% w uk adzie x, y, z za pomoc$ wzoru:

1l

kji zyxl1 $!$!$ ,

gdzie $ $ $x , iy z s$ kosinusami kierunkowymi k$tów mi#dzy osi$ l i osiami

x, y, z (patrz punkt 5.3.1) spe niaj$cymi zale!no"%:

docsity.com

12z 2

y

2

x $!$!$ . (6.24)

Z trójk$ta prostok$tnego OAA# (rys. 6.4) mamy:

% & % & $!$!$'!! (' 2zyx2222l22 zyxzyxrh 1r % &

% & % & % & .zx2yz2xy21z1y1x zx2yz2xy2zyxzyx

xzzyyx

2

z

22

y

22

x

2

xzzyyx

22

z

22

y

22

x

222

$$'$$'$$'$'!$'!$'

$$!$$!$$!$!$!$'!!

Po wyznaczeniu ze wzoru (6.24) wyra!e&:

% & % & % & % & % & % &2y2x2z2x2z2y2z2y2x 1,1,1 $!$ $'$!$ $'$!$ $'

i podstawieniu do powy!szego wzoru oraz odpowiednim pogrupowaniu wyrazów

otrzymamy:

% & % & % & .zx2yz2xy2

yxxzzyh

xzzyyx

222

z

222

y

222

x

2

$$'$$'$$'

'!$!!$!!$

Po podstawieniu otrzymanego wyniku do wzoru (6.23) uzyskamy wzór na moment

bezw adno"ci cia a materialnego wzgl#dem osi l:

% & % & % &

.zxdm2yzdm2xydm2

dmyxdmxzdmzyI

m

xz

m

zy

m

yx

m

222

z

m

222

y

m

222

xl

"""

"""

$$'$$'$$'

'!$!!$!!$

W powy!szym wzorze ca ki wyst#puj$ce przy kwadratach kosinusów

kierunkowych s$ momentami bezw adno"ci rozpatrywanego cia a wzgl#dem osi

uk adu wspó rz#dnych x, y, z, a ca ki przy iloczynach tych kosinusów s$

momentami dewiacyjnymi w tym!e uk adzie wspó rz#dnych. Ostatecznie mamy:

zxxzyzzyxyyxz

2

zy

2

yx

2

xl D2D2D2IIII $$'$$'$$'$!$!$ . (6.25)

Otrzymany wzór pozwala na obliczenie momentu bezw adno"ci wzgl#dem

dowolnej osi l przechodz$cej przez

pocz$tek uk adu wspó rz#dnych,

gdy s$ dane momenty wzgl#dem

osi i momenty dewiacyjne w tym

uk adzie.

x

y

x#

y#

O

Rys. 6.5. Wyznaczenie momentów bezw adno"ci

figury p askiej wzgl#dem osi obróconych

Obliczenie momentów

bezw adno"ci dla uk adu p askiego

docsity.com

wzgl#dem osi obróconych # #x i y (rys. 6.5) nie nastr#cza trudno"ci. Kosinusy kierunkowe mi#dzy osi$ i osiami x, y, z s$ nast#puj$ce:

#x

% & ozyx cos90,sin90cos,cos $) )' $) $ ,

a mi#dzy osi$ i osiami x, y, z #y

% & ozyx cos90,cos,sin90cos $) $)' )! $ . Przyj$wszy we wzorze (6.25) raz za o" l o" #x , a drugi raz o" #y i podstawiwszy otrzymane zale!no"ci na kosinusy kierunkowe, otrzymamy wzory na momenty

bezw adno"ci wzgl#dem osi # #x i y :

*+

* , -

)!)!)

)')!)

#

#

.sin2DcosIsinII

,sin2DsinIcosII

xy

2

y

2

xy

xy

2

y

2

xx (6.26)

Wzory te maj$ zastosowanie mi#dzy innymi w wytrzyma o"ci materia ów do

obliczania momentów bezw adno"ci figur p askich (przekrojów poprzecznych

belek, pr#tów itp.) oraz do wyznaczania osi, wzgl#dem których momenty

bezw adno"ci osi$gaj$ warto"ci ekstremalne.

Dla uk adu przestrzennego wyznaczenie momentów bezw adno"ci wzgl#dem

trzech wzajemnie prostopad ych osi obróconych wzgl#dem osi x, y, z jest znacznie

trudniejsze. Zastanówmy si#, jak b#dzie si# zmienia moment bezw adno"ci Il, gdy

o" l b#dzie si# obraca% wokó punktu O. W tym celu obierzmy na tej osi wektor

(rys. 6.4) o d ugo"ci odwrotnie proporcjonalnej do pierwiastka

kwadratowego z momentu bezw adno"ci I lb1OBb

l:

b OB I l

1

.

W czasie przyjmowania przez o" l wszystkich mo!liwych po o!e& koniec wektora

b zakre"li pewn$ powierzchni#, której równanie obecnie wyprowadzimy.

Wspó rz#dne wektora b (równe wspó rz#dnym punktu B) w uk adzie

wspó rz#dnych x, y, z oznaczymy przez .x, .y, .z. B#d$ one równe rzutom tego wektora na osie x, y, z:

l

z z

l

y

l

x I

', I

', I

' $

( $

( $

( kbjbib yx . (6.27)

Po podzieleniu obustronnie równania (6.25) przez Il i podstawieniu do niego

wspó rz#dnych (6.27) otrzymamy:

docsity.com

I I I D D Dx x y y z z xy x y yz y z zx z x. . . . . . . . . 2 2 2 2 2 2! ! ' ' ' 1. (6.28)

Jest to równanie szukanej powierzchni zakre"lonej przez koniec wektora b przy

dowolnym obrocie osi l wokó punktu O. Powierzchnia ta jest elipsoid$ trójosiow$,

nazywan$ elipsoid bezw!adno"ci.

Elipsoid bezw!adno"ci nazywamy miejsce geometryczne punktów, których

odleg!o"ci od pocz tku uk!adu s odwrotnie proporcjonalne do pierwiastka

kwadratowego z momentu bezw!adno"ci wzgl#dem osi przechodz cej przez dany

punkt i pocz tek uk!adu wspó!rz#dnych.

Wyst#puj$ce w równaniu elipsoidy bezw adno"ci momenty bezw adno"ci Ix, Iy,

Iz i momenty dewiacyjne Dxy, Dyz, Dzx s$ wspó czynnikami równania (6.28) i b#d$

si# one zmienia% wraz z obrotem uk adu wspó rz#dnych, natomiast kszta t i

po o!enie elipsoidy nie ulegn$ zmianie.

Elipsoida bezw adno"ci opisuje zatem obiektywne cechy uk adu materialnego

niezale!nie od przyj#tego uk adu wspó rz#dnych.

x#

z#

y# O

b

B

l

Rys. 6.6. Elipsoida bezw adno"ci

docsity.com

Wiadomo, !e trójosiowa elipsoida ma trzy prostopad e osie. Zatem

mo!emy przyj$% taki uk ad wspó rz#dnych, aby jego osie # # #x , y z pokrywa y si# z osiami elipsoidy (rys. 6.6). Wtedy równanie elipsoidy b#dzie mia o posta%:

1'I'I'I 2zz 2

yy

2

xx !! ###### . (6.29)

W takim uk adzie wspó rz#dnych momenty dewiacyjne s$ równe zeru. W

ka!dym punkcie uk adu materialnego istniej$ co najmniej trzy prostopad e osie,

takie !e momenty dewiacyjne w utworzonym przez nie kartezja&skim uk adzie

wspó rz#dnych s$ równe zeru. Osie te nazywamy g!ównymiosiami bezw!adno"ci, a

osiowe momenty wzgl#dem nich g!ównymi momentami bezw!adno"ci.

Je!eli pocz$tek uk adu wspó rz#dnych pokrywa si# ze "rodkiem ci#!ko"ci, to

osie g ówne nazywamy g!ównymi centralnymi osiami bezw!adno"ci, a momenty

g!ównymi centralnymi momentami bezw!adno"ci.

W czasie rozwi$zywania zagadnie& praktycznych nale!y pami#ta%, !e osi$

g ówn$ jest:

a) ka!da o" symetrii,

b) ka!da prosta prostopad a do p aszczyzny symetrii.

Przyk ad 6.1. Dla jednorodnego prostego walca ko owego o masie m,

promieniu podstawy R i wysoko"ci h wyznaczy% momenty bezw adno"ci

wzgl#dem osi x, y, z uk adu wspó rz#dnych prostok$tnych o pocz$tku w punkcie O

pokrywaj$cym si# ze "rodkiem podstawy (rys. 6.7).

z

y y

x x

h h dz

z z

R R

r

dr

O O

a) b)

Rys. 6.7. Wyznaczanie momentów bezw adno"ci jednorodnego walca obrotowego

o masie m

docsity.com

Rozwi zanie. Do wyznaczenia momentów bezw adno"ci wzgl#dem osi

skorzystamy z zale!no"ci (6.9) mi#dzy momentami bezw adno"ci wzgl#dem osi i

wzgl#dem p aszczyzn. Dla momentów wzgl#dem osi x i y mamy zale!no"ci:

yzxyyxyzxx III,III ! ! .

Ze wzgl#du na symetri# momenty bezw adno"ci wzgl#dem p aszczyzn zx i yz s$

równe:

yzzx II . (a)

St$d momenty wzgl#dem osi x i y

xyzxyx IIII ! . (b)

Moment bezw adno"ci wzgl#dem osi z jest równy sumie momentów wzgl#dem

p aszczyzn yz i zx. Po uwzgl#dnieniu wzoru (a) mamy:

zxzxyzz I2III ! ,

st$d

zzx I 2

1 I . (c)

Ze wzorów (b) i (c) wynika, !e aby wyznaczy% momenty bezw adno"ci wzgl#dem

osi x i y, nale!y wyznaczy% momenty bezw adno"ci wzgl#dem p aszczyzny xy oraz

osi z. W pierwszej kolejno"ci wyznaczymy moment bezw adno"ci wzgl#dem

p aszczyzny xy z trzeciego wzoru (6.13):

" V

2

xy dVz(I . (d)

W tym celu wytniemy z walca dwiema p aszczyznami prostopad ymi do osi z

element o grubo"ci dz (rys. 6.7a). Obj#to"% tego elementu

dzRdV 2/ .

Po podstawieniu tej wielko"ci do wzoru (d) i wykonaniu ca kowania otrzymujemy:

3

hR( dzzR( dzRz(I

32h

0

2222

xy

/ / / "" .

Po uwzgl#dnieniu, !e masa walca powy!szy wzór mo!emy zapisa% w

postaci:

hR(m 2/

docsity.com

I mh

xy 2

3 . (e)

W celu obliczenia momentu bezw adno"ci wzgl#dem osi z wydzielimy

my"lowo z walca dwiema powierzchniami walcowymi o promieniach równych

odpowiednio r i r + dr warstw# elementarn$ o grubo"ci dr. Obj#to"% wydzielonego

elementu

drhr2dV / .

Moment bezw adno"ci wzgl#dem osi z wyznaczymy z trzeciego wzoru (6.14).

% & 2

hR( drrh(2dVr(dVyx(I

4R

0

3

V

2

V

22

z

/ / ! """ ,

a po wprowadzeniu masy

2

mR I

2

z . (f)

Po podstawieniu do zale!no"ci (b) wzorów (e) oraz (c) po uwzgl#dnieniu (f)

otrzymamy momenty bezw adno"ci wzgl#dem osi x i y:

00 1

2 33 4

5 !

3

h

4

R mII

22

yx . (g)

Wyznaczymy jeszcze promienie bezw adno"ci walca wzgl#dem osi.

Na podstawie wzoru (6.16) otrzymujemy:

32

hR3

m

I ii,

2

R

m

I i

22

x yx

z z

! . (h)

Czytelnikowi pozostawiamy wyznaczenie momentów bezw adno"ci wzgl#dem

osi przechodz$cych przez "rodek ci#!ko"ci walca, równoleg ych do osi x, y, z,

zaznaczonych na rys. 6.7.

Przyk ad 6.2. Wyznaczy% momenty bezw adno"ci cienkiej jednorodnej tarczy

ko owej o masie m i promieniu R (rys. 6.8a) oraz cienkiego jednorodnego pr#ta o

masie m i d ugo"ci L (rys. 6.8b).

docsity.com

L/2

L

z

xCx

y

x

O

R

O C

a) b)

Rys. 6.8. Wyznaczenie momentów bezw adno"ci: a) jednorodnej tarczy ko owej o

promieniu R i masie m, b) jednorodnego pr#ta o d ugo"ci L i masie m

Rozwi zanie. Do wyznaczenia momentów bezw adno"ci bry przedstawionych

na rys. 6.8 wykorzystamy wyprowadzone w poprzednim przyk adzie wzory (f) i

(g) dla walca.

Momenty bezw adno"ci tarczy wyznaczymy wzgl#dem osi x, y, z z

prostok$tnego uk adu wspó rz#dnych o pocz$tku w "rodku ci#!ko"ci O tarczy

(rys. 6.8a). Ze wzgl#du na pomijalnie ma $ grubo"% tarczy moment bezw adno"ci

tarczy wzgl#dem osi z jest jednocze"nie biegunowym momentem bezw adno"ci

wzgl#dem punktu O, czyli OZ II . Poniewa! tarcz# mo!na uwa!a% za walec o wysoko"ci (grubo"ci) zerowej (h = 0), moment bezw adno"ci tarczy wzgl#dem

osi z b#dzie równy momentowi bezw adno"ci walca wzgl#dem osi z. Zatem

zgodnie ze wzorem (f) z poprzedniego przyk adu mamy:

2

mR II

2

Oz . (a)

Ze wzgl#du na symetri# momenty bezw adno"ci tarczy wzgl#dem osi x i y s$

równe. Otrzymamy je po podstawieniu h = 0 do wzoru (g) wyprowadzonego dla

walca:

4

mR II

2

yx . (b)

Promienie bezw adno"ci tarczy wzgl#dem osi x, y, z s$ nast#puj$ce:

2

R

m

I ii,

2

R

m

I i xyx

z z . (c)

Obecnie wyznaczymy moment bezw adno"ci pr#ta wzgl#dem osi x prostopad ej

do osi pod u!nej pr#ta, pokrywaj$cej si# z osi$ z (rys. 6.8b). O" y jest prostopad a

docsity.com

do p aszczyzny rysunku. W tak przyj#tym uk adzie wspó rz#dnych ze wzgl#du na

to, !e zaniedbujemy wymiary poprzeczne pr#ta, momenty bezw adno"ci wzgl#dem

p aszczyzn zx i yz s$ równe zeru:

0II yzzx . (d)

Zatem z pierwszego wzoru (6.9) mamy:

xyx II . (e)

Momenty bezw adno"ci pr#ta wzgl#dem p aszczyzny xy otrzymamy po

podstawieniu do wzoru (e) na moment bezw adno"ci walca wzgl#dem p aszczyzny

xy zamiast wysoko"ci h walca d ugo"ci pr#ta L. St$d

3

mL I

2

x . (f)

Wyznaczymy jeszcze moment bezw adno"ci pr#ta wzgl#dem osi symetrii .

W tym celu wykorzystamy twierdzenie Steinera dla momentów bezw adno"ci

wzgl#dem osi (6.21):

xC

2

xx 2

L mII

C 0 1

2 3 4

5 ! ,

st$d

12

mL

4

mL

3

mL

2

L mII

2222

xxC ' 0

1

2 3 4

5 ' . (g)

Momenty bezw adno"ci pr#ta wzgl#dem osi x i y s$ jednocze"nie biegunowymi

momentami bezw adno"ci odpowiednio wzgl#dem ko&ca pr#ta O i "rodka masy C:

CxOx IIorazII C .

Wynika to bezpo"rednio ze wzoru (6.7) po uwzgl#dnieniu zale!no"ci (c) i (d).

docsity.com

O

b

dx

dy

y

x

xC

yC

h

y

x

C

Rys. 6.9. Wyznaczenie momentów bezw adno"ci cienkiej jednorodnej p yty

Przyk ad 6.3. Wyznaczy% momenty bezw adno"ci cienkiej jednorodnej

prostok$tnej p yty o masie m, podstawie b i wysoko"ci h wzgl#dem osi x i y

przechodz$cych przez podstaw# i bok p yty oraz osi symetrii (rys. 6.9).

Wyznaczy% równie! moment dewiacyjny D .

x i yC C

xy

Rozwi zanie. Momenty bezw adno"ci wzgl#dem osi x i y wyznaczymy z dwóch

pierwszych wzorów (6.8), przyj$wszy z = 0:

"" m

2

y

m

2

x dmxI,dmyI .

W celu wyznaczenia momentu bezw adno"ci wzgl#dem osi x wydzielimy z

p yty elementarny pasek w odleg o"ci y od podstawy, maj$cy wysoko"% dy. Je!eli

g#sto"% powierzchniow$ p yty oznaczymy przez , to masa elementarnego paska

. St$d moment bezw adno"ci wzgl#dem osi x

F(

dyb(dF(dm FF

3

hm

3

h b(dyyb(dyb(yI

23

F

h

0

2

F

h

0

F

2

x "" , (a)

gdzie masa p yty . bh(m F Przy wyznaczaniu momentu bezw adno"ci wzgl#dem osi y podzielimy p yt# na

elementarne paski prostopad e do osi x o szeroko"ci dx. Mamy zatem:

. Moment bezw adno"ci wzgl#dem osi y dxh(dm F

docsity.com

3

mb dxxh(dxh(xI

2b

0

2

F

b

0

F

2

y "" . (b)

Moment dewiacyjny wyznaczymy z twierdzenia Steinera (6.22): Dxy

4

hbm

2

h

2

b mDD

CCyxxy ! , (c)

poniewa! moment wzgl#dem g ównych centralnych osi bezw adno"ci jest

równy zeru.

Dx yC C

Do wyznaczenia momentów bezw adno"ci wzgl#dem osi symetrii

skorzystamy z twierdzenia Steinera (6.21):

x i yC C

* * +

* * ,

-

' 0 1

2 3 4

5'

' 0 1

2 3 4

5 '

. 12

mb

4

mb

3

mb

2

b mII

, 12

mh

4

mh

3

mh

2

h mII

2222

yy

2222

xx

C

C

(d)

docsity.com

komentarze (0)

Brak komentarzy

Bądź autorem pierwszego komentarza!

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 11 pages

Pobierz dokument