Macierze - Notatki - Matematyka - Część 1, Notatki'z Matematyka. Maria Curie-Sklodowska University in Lublin
bobby_m
bobby_m8 March 2013

Macierze - Notatki - Matematyka - Część 1, Notatki'z Matematyka. Maria Curie-Sklodowska University in Lublin

PDF (695 KB)
9 strona
3Liczba pobrań
772Liczba odwiedzin
100%on 1 votesLiczba głosów
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu matematyki: macierze.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 9
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 9 pages
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 9 pages
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 9 pages
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 9 pages
Pobierz dokument

Pojęcia macierzy

Macierz jest to tablica pewnych liczb rzeczywistych:

  

 

  

 

amnamamam

naaaa

naaaa

naaaa

A

.....321

....................

3.....333231

2.....232221

1.....131211

a mn m - to rzędy macierzy, n - to kolumny macierzy

Pojęcia macierzy kwadratowej.

Jeżeli m = n to taką macierz nazywamy macierzą kwadratową.

Pojęcia przekątnej głównej macierzy.

 

 

 

 

987

654

221

A 1, 5, 9 leżą na przekątnej głównej macierzy

Pojęcia macierzy jednostkowej.

  

 

 

 

100

010

001

A macierz jednostkowa bo w każdym wierszu i każdej kolumnie leży tylko jedna jedynka

Pojęcia macierzy transponowanej.

  

 

  

 

amnamamam

naaaa

naaaa

naaaa

A

.....321

....................

3.....333231

2.....232221

1.....131211

  

 

  

 

amnnanana

amaaa

amaaa

amaaa

AT

.....321

....................

3.....332313

2.....322212

1.....312111

W macierzy transponowanej to co jest rzędami w macierzy podstawowej staje się kolumnami tzn. pierwszy rząd

staje się pierwszą kolumną, drugi wiersz staje się drugą kolumną itd.

Macierz transponowana powtórnie transponowana, daje w wyniku macierz pierwotną.

  AA TT

Działania na macierzach:

Dodawanie macierzy:

  

   

  

   

  

   

1210

86

43

21

87

65 BABA

Dodajemy macierze które mają jednakowe wymiary.

   

  nmnn

nmnnmn

baBA

bBaA







docsity.com

 

  

 

 

  

 

  

 

59

35

34

22

25

13

BA

BA

Odejmowanie macierzy:

  

   

  

   

  

   

44

44

43

21

87

65 BABA

Odejmujemy macierze które mają jednakowe wymiary.

Mnożenie macierzy:

1. Mnożenie stałej przez macierz:   nmnBaBa  2. Mnożenie macierzy przez macierz:

Mnożenie wykonujemy w ten sposób, że wiersze I macierzy mnożymy przez kolumny II macierzy.

  

  



 

  

   

  

   

41273117

46253615

43

21

87

65 BACBA

 

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 







  

 

 

 

  

 

 

 

7420

1518

13425

2+5+02+0+212+2+6

1+0+01+0+46+0+12

3+10+03+0+118+4+3

=

125102120112622132

115004110014612034

135201130211c632231

116

502

013

212

104

321

333231

232221

131211

ccc

ccc

cc

BACBA

Ilość elementów w wierszu I macierzy musi być równa ilości elementów w pierwszej kolumnie II macierzy.

    2333   BA

 

 

 

 

  

 

 

 







  

 

 

 







  

 

 

 

  

 

 

 

616

616

719

402826

2044012

6011243

220112422132

210014412034

230211432231

24

02

13

212

104

321

BABA

Własności mnożenia:

1. Iloczyn macierzy na ogół nie jest przemienny:

A* B B A

2. C(A+B) = C*A + C*B (A+B)*C = A*C + B*C

docsity.com

Pojęcia wyznacznika macierzy.

bcadA

A dc

ba A



  

   

=Wyznacznik

lubdetA :oznaczamy

Jeżeli mamy macierz trzeciego stopnia:

 

 

 

 

321

321

321

ccc

bbb

aaa

A

to wyznacznik takiej macierzy możemy wyznaczyć na trzy sposoby:

Pierwszy sposób:

312231123213132321

21

21

21

321

321

321

321

321

321

cbacbacbacbacbacba

cc

bb

aa

ccc

bbb

aaa

A

ccc

bbb

aaa

A   

 

 

 

Drugi sposób:

0026352611226150613 210

123

656

210

123

321

321

123123123321321321

321

321

321



  

 

 

 

A

bbb

aaa

bacacbababacacbcbaA

ccc

bbb

aaa

A

Macierz której wyznacznik jest równy 0 („zero”) nazywa się m a c i e r z ą o s o b l i w ą .

Trzeci sposób:

123123123321321321

321

321

321

bacacbababacacbcbaA

ccc

bbb

aaa

A   

 

 

 

123 402 651 622 110 453

416

250

123

416

250

123

416

250

123

416

250

123

416

250

123

416

250

123



A

.

dopisujemy dwie

kolumny

dopisujemy dwa

rzędy

docsity.com

Jeżeli mamy macierz czwartego stopnia to postępujemy w sposób opisany poniżej:



2102

6543

1206

0321

A Wzór: akl(-1) k+l

det A’

Poszukujemy wiersza lub kolumny o największej ilości zer (tutaj druga kolumna).

 

653

126

031

)1(0

212

126

031

)1(4

212

653

031

)1(0

212

653

126

)1(2 24232221

Temat: Macierze odwrotne.

AAA 1 IA 1

Macierz odwrotna istnieje tylko wtedy jeżeli wyznacznik macierzy jest różny od zera.

0det A

Obliczanie macierzy odwrotnej: I sposób.

Pierwszy krok: trzeba policzyć wyznacznik detA z macierzy.

  

  

110

132

651

A

  410)125(1)111(0)036(12)126(0)015(3)131( 10

32

51

110

132

651

det A

0det A

więc macierz odwrotna istnieje

Drugi krok: buduje się macierz dopełnień DA

     

     

     

       

       













32

51 1

12

61 1

13

65 1

10

51 1

10

61 1

11

65 1

10

32 1

10

12 1

11

13 1

332313

322212

312111

DA

  

  



71113

111

222 DA

Trzeci krok: transponujemy macierz  TDA

  

  



71113

111

222 DA  

  

  



712

1112

1312 TDA

Krok czwarty: wyznaczenie macierzy odwrotnej:  TDA A

A 

det

11

docsity.com

 

     

     



  

  





4

7

4

1

4

2 4

11

4

1

4

2 4

13

4

1

4

2

712

1112

1312

4

1

det

1 A

4

1

det

1 4det 1-

TDA AA

A

Sprawdzenie poprawności obliczeń:

Jeżeli macierz odwrotną przemnożymy przez daną macierz, otrzymamy macierz pierwotną:

)(pierwotna 1 IAA 

     

     



4

7

4

1

4

2 4

11

4

1

4

2 4

13

4

1

4

2

A 1-

  

  

110

132

651

A

  

  

  

  

     

     





100

010

001

być winno

110

132

651

4

7

4

1

4

2 4

11

4

1

4

2 4

13

4

1

4

2

A 1- A

Sprawdzamy:

     

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

  

     

     





1 4

7 1

4

1 6

4

2 1

4

7 3

4

1 5

4

2 0

4

7 2

4

1 1

4

2

1 4

11 1

4

1 6

4

2 1

4

11 3

4

1 5

4

2 0

4

11 2

4

1 1

4

2

1 4

13 1

4

1 6

4

2 1

4

13 3

4

1 5

4

2 0

4

13 2

4

1 1

4

2

110

132

651

4

7

4

1

4

2 4

11

4

1

4

2 4

13

4

1

4

2

A 1- A

  

  

     

     

     

     







100

010

001

4

4

4

0

4

0 4

0

4

4

4

0 4

0

4

0

4

4

4

7112

4

7310

4

22 4

11112

4

11310

4

22 4

13112

4

13310

4

22

Sprawdzenie wypadło prawidłowo.

docsity.com

Obliczanie macierzy odwrotnej: II sposób. (przekształcenia elementarne)

I A

100

010

001

110

132

651

  

  

  

  

A

Przekształcenie – 1

Pierwszy i trzeci wiersz przepisujemy bez zmian bo jest jedynka i zero

Aby zamiast elementu a 21 = 2 otrzymać 0 należy wiersz w1 pomnożyć przez (-2) i dodać wiersz 1.

100

010

001

110

132

651

  

  

  

  

A

21)2(2

100

010

001

110

132

651

www 

  

  

  

  

 ok.!

  

  

  

  



100

012

001

110

1170

651

Przekształcenie – 2

Aby zamiast elementu a 22 = -7 otrzymać 1 należy wiersz 2 podzielić przez -7

7

w2 w2

100

012

001

110

1170

651

 

  

  

  

  

A ok.!

  

  

  

  

100

0 7

1

7

2 001

110 7

11 10

651

Przekształcenie – 3

Aby zamiast elementu a 12 = 5 otrzymać 0 należy wiersz 2 pomnożyć przez (-5) i dodać do wiersza 1.

  1251

100

0 7

1

7

2 001

110 7

11 10

651 www 

  

  

  

  

 ok.!

docsity.com

     

     

     

     

 

100

0 7

1

7

2

0 7

5

7

3

110 7

11 10

7

13 01

Przekształcenie – 4

Aby zamiast elementu a 32 = 1 otrzymać 0 należy w2 pomnożyć przez (-1) i dodać do wiersza 3.

32)1(3100

0 7

1

7

2

0 7

5

7

3

110 7

11 10

7

13 01

www 

     

     

     

     

 

 ok.!

     

     

     

     

1 7

1

7

2

0 7

1

7

2

0 7

5

7

3

7

4 00

7

11 10

7

13 01

Przekształcenie – 5

Aby zamiast elementu a 33 = -4/7 otrzymać 1 należy w3 pomnożyć przez (-7/4)

3 4

7 3

1 7

1

7

2

0 7

1

7

2

0 7

5

7

3

7

4 00

7

11 10

7

13 01

ww  

  

 

     

     

     

     

 ok.!

     

     



     

     

 

4

7

4

1

2

1

0 7

1

7

2

0 7

5

7

3

100 7

11 10

7

13 01

Przekształcenie – 6

Aby zamiast elementu a 13 = -1/3 otrzymać 0 należy wiersz 3 pomnożyć przez (1/3) i dodać do w1

13 7

13 1

4

7

4

1

2

1

0 7

1

7

2

0 7

5

7

3

100 7

11 10

7

13 01

www 

     

     



     

     

 

 ok.!

docsity.com

     

     



  

  

4

7

4

1

2

1

0 7

1

7

2 4

13

4

1

2

1

100 7

11 10

001

Przekształcenie – 7

Aby zamiast elementu a 23 = 11/7 otrzymać 0 należy wiersz 3 pomnożyć przez (-11/7) i dodać do w2

23 7

11 2

4

7

4

1

2

1

0 7

1

7

2 4

13

4

1

2

1

100 7

11 10

001

www  

  

 

     

     



  

  

 ok.!

     

     



  

  

4

7

4

1

2

1 4

11

4

1

2

1 4

13

4

1

2

1

100

010

001

Temat2 : Układy równań liniowych

Rozwiązanie I metodą.



321

321

321

32

42

653

xxx

xxx

xxx

12

10

8

BxA 

  

  



321

412

653

A

  

  

3

2

1

x

x

x

x

  

  

12

10

8

B

Jeżeli 0Adet  BAx 1

wynikówmacierz B

nników wspólczyMacierz A

BAx

BAAxA

BAx

1

1



Wzory Krammera

Rozwiązanie II metodą.

W

W X

iX

i  gdzie W = wyznacznik macierzy współczynników

docsity.com

1330246242095233421)1(66225413)1(3

21

1-2

53

321

412

653



  

  

W

iX

W w miejsce Xi ma kolumnę wyrazów wolnych ???????

1841506472120240243.10.584212)1(62.10.612.543)1(8

212

1-10

58

3212

4110

658



  

  

W

13

1841 1

 

W

W X

X

Rozwiązanie III metodą.





321

321

321

34

32

32

xxx

xxx

xxx

10

12

8

10

12

8

341

132

321

  

  

macierz wektor

współczyn prawo

ników stronny

przekształcamy lewą stronę do macierzy jednostkowej:



  

  

21)2(2

10

12

8

341

132

321

www





  

  

31)1(3

2)1(2

10

4

8

341

710

321

www

ww

  

  

32)2(32

4

8

020

710

321

www



  

  

14

3 3

12)2(1

6

4

8

1400

710

321

w w

www





   

  

 2372

13)11(1

7

3 4

0

100

710

1101

www

www

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 9 pages
Pobierz dokument