ekonometria LZD, Egzaminy'z System produkcji. Poznan University of Economics
Alicja.D_browa
Alicja.D_browa10 stycznia 2016

ekonometria LZD, Egzaminy'z System produkcji. Poznan University of Economics

PDF (325 KB)
8 strona
655Liczba odwiedzin
Opis
graficzne rozwiązanie zadania z ekonometrii
20 punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 8

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 8 pages

Pobierz dokument

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 8 pages

Pobierz dokument

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 8 pages

Pobierz dokument

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 8 pages

Pobierz dokument
1

1

Lab.1

Optymalny wybór asortymentu produkcji

Przykład 1. Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby: W1 i W2. W procesie

produkcji tych wyrobów zużywa się wiele środków, spośród których dwa są limitowane.

Limity te wynoszą: środek I — 96 000 jedn., środek II — 80 000 jedn. Nakłady

limitowanych środków na jednostkę wyrobów W: i W2 podano w tabl. 1.

Tablica 1

Wiadomo także, że zdolności produkcyjne jednego z wydziałów stanowiącego

wąskie gardło procesu produkcyjnego nie pozwalają produkować więcej niż 3000 szt.

wyrobów W1 oraz 4000 szt. wyrobów W2. Ponadto, działająca w ramach

przedsiębiorstwa komórka analizy rynku ustaliła optymalne proporcje produkcji,

które kształtują się odpowiednio jak 3 : 2. Cena sprzedaży (w zł) jednostki wyrobu

W1 wynosi 30 zł, a wyrobu W2 — 40 zł.

Ustalić optymalne rozmiary produkcji wyrobów gwarantujące maksymalizację

przychodu ze sprzedaży przy istniejących ograniczeniach. W rozwiązaniu zastosować

metodę geometryczną.

R o z w i ą z a n i e. Na początek należy zbudować model

matematyczny opisujący przedstawioną powyżej sytuację. Niech x1oznacza ilość

produkcji wyrobu W1; a x2 — ilość produkcji wyrobu W2. Biorąc pod uwagę limity

środków produkcji I i II, mamy dwa pierwsze ograniczenia:

(1) 1 216 24 96000x x 

(2) 1 216 10 80000x x 

Należy także uwzględnić informację pochodzącą z komórki analizy rynku, która

stanowi trzeci warunek:

Środki

produkcji

Jednostkowe nakłady

W1 W2

I

II

16

16

24

10

2

(3) 2 1 2

3 x x

Przy uwzględnieniu ograniczonych zdolności jednego z wydziałów produk-

cyjnych, warunki brzegowe przybiorą postać:

(4) 10 3000,x 

(5) 20 4000,x 

Na podstawie znajomości celu, jaki sobie postawiło przedsiębiorstwo (uzyskanie

maksymalnego przychodu ze sprzedaży), formułujemy funkcję kryterium (celu):

(6) 1 2 1 2( , ) 30 40 maxF x x x x  

Możemy zatem zapisać model następująco:

(1) 1 216 24 96000x x 

(2) 1 216 10 80000x x 

(3) 2 1 2

3 x x

(4) 10 3000,x 

(5) 20 4000,x 

(6) 1 2 1 2( , ) 30 40 maxF x x x x  

3

Ponieważ w modelu tym występują tylko dwie zmienne decyzyjne, można rozwiązać go

graficznie w układzie współrzędnych. Rozwiązywanie rozpoczynamy od wyznaczenia rozwiązania

dopuszczalnego, zaznaczając poszczególne warunki w układzie współrzędnych. Zaczynając od

warunku (1), założymy chwilowo, że jest to równość (równanie prostej). Aby je przedstawić

graficznie, należy znaleźć dwa punkty, przez które ta prosta przechodzi. Najprościej znaleźć punkty

przecięcia tej prostej z osiami układu współrzędnych. Tak więc przy założeniu, że x2 = 0, otrzymujemy

x1 = 6000. Analogicznie, przyjmując x1 = 0 otrzymujemy x2 = 4000. Łącząc te dwa punkty, otrzymujemy

równanie prostej (1). Ponieważ nas interesuje nierówność 1 216 24 96000x x  , warunek (1) jest

spełniony przez punkty leżące na prostej oraz w półpłaszczyźnie poniżej tej prostej. W podobny sposób

zaznaczamy na rysunku warunek (2). Prosta (2) przecina oś x1 w punkcie 5000 (80000/16) i oś x2w

punkcie 8000 (80000/10), a warunek (2) jest spełniony przez punkty leżące na tej prostej i poniżej.

Graficznym obrazem warunku (3) jest prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych i np.

przez punkt o współrzędnych x1 = 3000 i 2 2

3000 2000 3

x    Pozostają jeszcze warunki

(4) i (5) i ze względu na nie rozwiązanie modelu musi się znajdować w pierwszej ćwiartce układu.

Ograniczeniem prawostronnym są proste x1= 3000 i x2 = 4000 i półpłaszczyzny leżące poniżej nich.

Przedstawia to Układ warunków ograniczających i brzegowych spełniają tylko punkty znajdujące się

na odcinku OA, odcinek ten stanowi, więc rozwiązanie dopuszczalne zadania. Na tym odcinku należy,

zatem poszukiwać rozwiązania optymalnego. Aby je znaleźć, najwygodniej jest przyjąć pewną

początkową wartość funkcji celu — dowolną wspólną wielokrotność jej parametrów, tzn. 30 i 40, np. 60

000, czyli F(x1, x2) = 30x1+40x2 = 60 000. Prostą tę zaznaczono na rys. 1 linią przerywaną BC; nosi

ona nazwę linii jednakowego przychodu. Następnie linię tę przesuwamy równolegle wzdłuż odcinka

OA jak najdalej od początku układu.

Poszukiwanie ekstremum warunkowego przy zastosowaniu izolinii ilustruje rys. 1

4

Rys.1

Kierunek przesuwania izolinii wynika z kryterium optymalizacji (funkcji celu). W

rozważanym przykładzie funkcja celu F jest maksymalizowana. Oznacza to, że kolejno

przyjmujemy coraz to większe wartości wyrazu wolnego przesuwanej prostej [izolinie (l)-(4)].

Izolinie (1) i (2) przecinają odcinek OA i dopiero izolinia (3) trafia na jego koniec w punkcie

A. Izolinia (4) została zbyt daleko przesunięta i znalazła się poza odcinkiem rozwiązań

dopuszczalnych. Proste (l)-(4) tworzą rodzinę izolinii, tj. linii, w których parametry przy

zmiennych pozostają bez zmian, a zmieniają się jedynie wartości wyrazów wolnych.

W zależności od sytuacji (F—>max bądź F—>min) wartości wyrazu wolnego ij należy

zwiększać lub zmniejszać. Punktem najdalej wysuniętym na odcinku OA w sensie

równoległego przesunięcia jest zatem punkt A. Współrzędne tego punktu x1 - 3000 oraz x2 = 2000

są optymalnym rozwiązaniem zadania. Wartość przychodu ze sprzedaży przy uwzględnieniu

optymalnego asortymentu wyniesie więc F(x1,x2) = 170000 zł.

5

Przykład 2. Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby W1 i W2. W procesie produkcji tych

wyrobów zużywa się wiele środków, spośród których dwa są limitowane. Limity te wynoszą: środek

I — 36000 jedn., środek II — 50000 jedn. Nakłady limitowanych środków na jednostkę produkcji

podano w tabl. 2.

Tablica 2

Środki produkcji Jednostkowe nakłady

W1 W2

I

II

6

10

6

5

Należy także uwzględnić, że zdolność produkcyjna jednego z agregatów nie pozwala

wyprodukować więcej niż 4000 szt. wyrobu W2 . Nie ma natomiast żadnych dodatkowych

ograniczeń w stosunku do wyrobu W1.

Określić optymalne rozmiary produkcji przy założeniu, że zysk realizowany na obu

wyrobach jest jednakowy. Przy rozwiązywaniu zastosować metodę geometryczną.

R o z w i ą z a n i e. Przystępując do budowy modelu, przyjmujemy oznaczenia: x1

— wielkość produkcji wyrobów W1 , x2— wielkość produkcji wyrobów W2. Pierwsze dwa

ograniczenia dotyczą limitów na środki produkcji I i II:

(1) 1 26 6 36000,x x 

(2) 1 210 5 50000,x x  .

Warunek brzegowy dla zmiennej x1ma postać

(3) 1 0.x

Warunek brzegowy dla zmiennej x2 ze względu na ograniczenie od góry ma postać

(4) 20 4000.x 

Kryterium optymalności tego zadania stanowi wielkość łącznego zysku osiągniętego ze

sprzedaży wyrobów W1 i W2. Ponieważ zysk jednostkowy na obu wyrobach jest jednakowy, przeto i

parametry w funkcji celu powinny być jednakowe, a najprościej można przyjąć, że są równe jedności.

Zatem funkcja celu jest następująca:

(5) F(x1, x2) = x1+x2 —> max,

Również rozwiązanie tego zadania, jeżeli rozwiązanie to istnieje, ze względu na warunki

(3) i (4), musi się znaleźć w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Podobnie jak w

przykładzie 1 poszczególne relacje ponumerowano (rys. 2).

6

Rys.2

Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest obecnie wielobokiem (obszar zacieniowany). Przesuwając

równolegle izolinię CD, stwierdzamy, iż jej najdalsze możliwe przesunięcie pokryje się z odcinkiem

AB. A zatem w tym przypadku mamy nieskończenie wiele rozwiązań optymalnych (rozwiązania te

stanowią współrzędne wszystkich punktów odcinka AB). W szczególności rozwiązania optymalne

stanowią współrzędne punktów A i B, czyli x1 = 2000 szt. i x2 = 4000 szt. lub x1 =4000szt. i x2 =

2000 szt. Łatwo sprawdzić, że wartość funkcji celu w obu przypadkach wynosi 6000 .

7

8

komentarze (0)

Brak komentarzy

Bądź autorem pierwszego komentarza!

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 8 pages

Pobierz dokument