Widmo, operatory normalne - Ćwiczenia - Teoria przestrzeni Hilberta, Notatki'z Matematyka. University of Bialystok
klucz82
klucz8218 marca 2013

Widmo, operatory normalne - Ćwiczenia - Teoria przestrzeni Hilberta, Notatki'z Matematyka. University of Bialystok

PDF (103 KB)
1 strona
892Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu teorii przestrzeni Hilberta: widmo, operatory normalne.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd1 strona / 1
Pobierz dokument

Teoria przestrzeni Hilberta

Lista 6 (widmo, operatory normalne)

Zad 1. Niech H,K b¦d¡ przestrzeniami Hilberta. Pokaza¢, »e dla dowolnego ograniczonego opera- tora liniowego A : H → K zachodzi ‖A‖ =

√ r(A∗A).

Zad 2. Obliczy¢ norm¦ operatora A : (Cn, ‖ · ‖2)→ (Cm, ‖ · ‖2), gdy N n m A N n m A N n m A

a) 2 2 (

1 1 1 1

) b) 2 2

( 1 1 0 0

) c) 2 2

( −1 1 −1 0

) d) 2 2

( i 1 1 i

) e) 2 3

( i i i i i 0

) f) 2 3

( 1 2i 0 0 0 3

) g) 3 2

 eit 11 0 eit 1

 h) 3 3  1 2i 00 0 i

1 0 0

 i) 3 3  i 1 i−i −1 −i

2i 2 2i

 Zad 3. Pokaza¢, »e operator A ∈ L(H,K) jest ograniczony z doªu, tj. ∃δ>0 ∀x∈H ‖Ax‖ ≥ δ‖x‖, wtedy i tylko wtedy, gdy A jest operatorem ró»nowarto±ciowym z domkni¦tym obrazem.

Zad 4. Niech A ∈ L(H) i λ ∈ C. Wykaza¢, »e operator A − λ jest nieograniczony z doªu wtedy i tylko wtedy gdy istnieje ci¡g {xn}n∈N ⊂ H taki, »e ‖xn‖ = 1 oraz lim

n→∞ ‖Axn − λxn‖ = 0.

Ci¡g {xn}n∈N nazywamy aproksymatywnym wektorem wªasnym, a λ aproksymatywn¡ warto±ci¡ wªasn¡ operatora A.

Zad 5. Niech Π(A) oznacza zbiór aproksymatywnych warto±ci wªasnych operatora A ∈ L(H) (widmo aproksymatywnie punktowe) oraz Γ(A) zbiór tych λ ∈ C, dla których obraz operatora A−λ nie jest g¦sty w H (widmo kompresyjne). a) Pokaza¢, »e

σ(A) = Π(A) ∪ Γ(A) oraz ∂σ(A) ⊂ Π(A) b) je±li Π0(A) oznacza zbiór warto±ci wªasnych A (widmo punktowe), to

Π0(A∗) = Γ(A)∗ oraz σ(A∗) = Π(A∗) ∪Π(A)∗.

Zad 6. Dla dowolnego zwartegoX ⊂ C poda¢ przykªad operatora A ∈ L(H), dla którego σ(A) = X. Zad 7. Udowodni¢, »e operator T ∈ L(H) jest normalny wtedy i tylko wtedy, gdy ‖Tx‖ = ‖T ∗x‖ dla ka»dego x ∈ H. Zad 8. Pokaza¢, »e operator normalny ma nast¦puj¡ce wªasno±ci

a) j¡dro T pokrywa si¦ z j¡drem T ∗, b) obraz T jest g¦sty w H wtedy i tylko wtedy, gdy T jest ró»nowato±ciowy, c) T jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony z doªu, d) x jest wektorem wªasnym T odpowiadaj¡cym warto±ci wªasnej λ wtedy i tylko wtedy,

gdy x jest wektorem wªasnym T ∗ odpowiadaj¡cym warto±ci wªasnej λ, e) podprzestrzenie wªasne odpowiadaj¡ce ró»nym warto±ciom wªasnym T s¡ prostopadªe.

Zad 9. Wykaza¢, »e idempotent jest operatorem normalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest rzutem

ortogonalnym.

Zad 10. Udowodni¢, »e

a) P jest rzutem ortogonalnym ⇐⇒ jest operatorem normalnym oraz σ(P ) ⊂ {0, 1}, b) U jest operatorem unitarnym ⇐⇒ jest operatorem normalnym oraz σ(U) ⊂ S1, c) A jest operatorem samosprz¦»onym ⇐⇒ jest operatorem normalnym oraz σ(A) ⊂ R.

Pokaza¢ na przykªadzie, »e σ(U) w podpunkcie b) mo»e by¢ dowolnym domkni¦tym podzbiorem S1, a σ(A) w podpunkcie c) dowolnym zwartym podzbiorem R. Zad 11. Wyznaczy¢ widmo operatora A dziaªaj¡cego w przestrzeni `2, gdy N A N A

a) Ax = (x(2), x(3), ...) f) Ax = (0, x(1), x(2), 0, 0, ...) b) Ax = (0, x(1), x(2), x(3), ...) g) Ax = (x(1), x(2), 0, 0, ...) c) Ax = (x(1)1 ,

x(2) 2 ,

x(3) 3 , ...) h) Ax = (x(1), x(2), ..., x(n), 0, 0, ...)

d) Ax = (0, x(1)1 , x(2)

2 , ...) i) Ax = (2x(2), 3x(3), 0, 0) e) Ax = (x(1), 0, x(3), 0, x(5), ...) j) Ax = (λ1x(1), λ2x(2), ...), |λn| < M , n ∈ N

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
Pobierz dokument