Równanie różniczkowe zupełne - Notatki - Analiza matematyczna, Notatki'z Analiza Matematyczna. Opole University
Aleksy
Aleksy22 marca 2013

Równanie różniczkowe zupełne - Notatki - Analiza matematyczna, Notatki'z Analiza Matematyczna. Opole University

PDF (119 KB)
3 strony
740Liczba odwiedzin
Opis
Notatki obejmują tematy z obszaru analizy matematycznej: równanie różniczkowe zupełne.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 3
Pobierz dokument

Równanie różniczkowe zupełne Równanie różniczkowe zupełne to równanie postaci:

,0),(),(  dyyxQdxyxP gdzie lewa strona równania jest różniczką zupełną pewnej funkcji ).,( yxF Całka ogólna równania ma postać ,),( CyxF  gdzie funkcję F wyznaczono z układu:

),(),( yxQ y FyxP

x F

  

  

Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia funkcji F jest równość odpowiednich pochodnych cząstkowych:

x Q

y P   

 

Sposób rozwiązywania równań różniczkowych zupełnych wyjaśnimy na przykładach. W rachunkach pomoże nam kalkulator ClassPad 300.Przykład 1. Rozwiązać równanie:

  01   dyxedxe yy

Mamy kolejno:

yy xeyxQeyxP   1),(,),(

a więc odpowiednie pochodne cząstkowe są równe. Istnieje więc taka funkcja F, że

yy xe y Fe

x F  

 

   1

Wobec tego, przyjmując, że y jest stałe, dostajemy

)(),( yxedxeyxF yy   więc w konsekwencji

  )(')( yxeyxe yy

F yy    

   

Porównując odpowiednie pochodne cząstko- we stwierdzamy, że

yy xeyxe   1)(' 1)(' y

1)( Cyy  czyli

1),( CyxeyxF y  

a więc ostatecznie całka ogólna naszego równania ma postać:

21 CCyxe y 

Cyxe y 

Przykład 2. Rozwiązać równanie:

  022ln  

  

  dyy

y xdxxy

Mamy kolejno:

y y xyxQxyyxP 2),(,2ln),( 

a więc odpowiednie pochodne cząstkowe są równe. Istnieje więc taka funkcja F, że

y y x

y Fxy

x F 2,2ln 

 

  

Wobec tego, przyjmując, że y jest stałe, dostajemy

 dxxyyxF   2ln),(

)(ln),( 2 yyxxyxF 

więc w konsekwencji

  )(')(ln2 y y xyyxx

yy F    

  

Porównując odpowiednie pochodne cząstko- we stwierdzamy, że

y y xy

y x 2)(' 

yy 2)(' 

1 2)( Cyy 

czyli 1

22 ln),( CyyxxyxF  a więc ostatecznie całka ogólna naszego równania ma postać:

21 22 ln CCyyxx 

Cyyxx  22 ln

Przykład 3. Rozwiązać równanie:

    05323 42232  dyyyxdxxyx przy warunku początkowym .2)1( y Mamy kolejno:

42232 53),(,23),( yyxyxQxyxyxP 

a więc odpowiednie pochodne cząstkowe są równe. Istnieje więc taka funkcja F, że

42232 53,23 yyx y Fxyx

x F

  

  

Wobec tego, przyjmując, że y jest stałe, dostajemy

 dxxyxyxF   32 23),(

)(),( 323 yyxxyxF 

więc w konsekwencji

  )('3)( 22323 yyxyyxx yy

F    

  

Porównując odpowiednie pochodne cząstko- we stwierdzamy, że

42222 53)('3 yyxyyx  45)(' yy 

1 5)( Cyy 

czyli 1

5323),( CyyxxyxF  a więc ostatecznie całka ogólna naszego równania ma postać:

Cyyxx  5323 Uwzględniając warunek początkowy otrzymujemy C 3281 , czyli całką (szczególną) naszego równania jest funkcja dana równaniem w postaci uwikłanej:

415323  yyxx

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
Pobierz dokument