Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 3, Notatki'z Analiza Matematyczna. University of Bialystok
komik86
komik8615 marca 2013

Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 3, Notatki'z Analiza Matematyczna. University of Bialystok

PDF (153 KB)
1 strona
668Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu analizy matematycznej: różniczkowanie funkcji wielu zmiennych.
20 punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd1 strona / 1
Pobierz dokument

Analiza matematyczna III Lista 1 (różniczkowanie funkcji wielu zmiennych)

Zad 1. Zbadać różniczkowalność następujących funkcji

a) f(x, y) =

{ xy(x+y)√

x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0),

0, (x, y) = (0, 0), e) f(x, y, z) =

√ x2 + y2 + z2,

b) f(x) = x sin ‖x‖, x ∈ Rn, f) f(x, y) =

{ x2

x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0),

0, (x, y) = (0, 0),

c) f(x, y) =

{ e − 1

x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0), 0, (x, y) = (0, 0),

g) f(x, y) = x √

x2 + y2,

d) f(x, y, z) = √ |xy|+ |yz|+ |xz| h) f(x, y) =

{ (x2 + y2) sin 1

x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0),

0, (x, y) = (0, 0).

Zad 2. Obliczyć wskazane pochodne cząstkowe

a) ∂10f

∂x2∂y8 , gdzie f(x, y) = exy, b)

∂5f

∂z2∂x∂y2 , gdzie f(x, y, z) = ln(x2 + 2y − z),

c) ∂m+nf

∂xm∂yn , gdzie f(x, y) = (1 + x)m(1 + y)n.

Zad 3. Pokazać, że funkcja f określona następująco f(x, y) = xy x 2−y2

x2+y2 dla (x, y) 6= (0, 0) oraz

f(0, 0) = (0, 0) posiada w punkcie (0, 0) pochodne cząstkowe mieszane drugiego rzędu, ale pochodne te nie są identyczne. Czy funkcja ta jest klasy C2 na R2?

Zad 4. Wyznaczyć macierze Jacobiego danych odwzorowan

a) f(x, y) = (ln xy, tg x

y ), b) f(x1, x2, x3, x4) = (3x

2 2 − 5x4, ln(1 + x23 + x24),

√ 1 + x21, x

5 2),

c) f(x, y, z) =

( x

y

)z , d) f(x, y, z) = ((x+ y)z, xy

z

).

Zad 5. Oblicz macierz Jacobiego superpozycji g ◦ f dwóch odwzorowań, gdzie :

a) f : R1 3 x 7−→ (x, ln(1 + x)) ∈ R2, g : R2 3 (x, y) 7−→ (sinx, ex+y, 1) ∈ R3,

b) f : R3 3 (x, y, z) 7−→ (x− y − z) ∈ R1, g : R1 3 x 7−→ (2x, 1 + x2, 0) ∈ R3

c) f : R2 3 (x, y) 7−→ (xy, x+ y, sinxy) ∈ R3, g : R3 3 (x, y, z) 7−→ (x+ y + z,−y) ∈ R2

Zad 6. Wyznaczyć różniczki zupełne

a) du, gdzie u(x) = ‖x‖x, x ∈ Rn

b) d2u, gdzie u(x, y, z) = z x+y2

c) d3u, gdzie u(x, y) = x3 + y3 − 3xy(x− y),

docsity.com

komentarze (0)

Brak komentarzy

Bądź autorem pierwszego komentarza!

Pobierz dokument