Analiza wyników pomiarów  - Notatki - Metrologia - Część 2, Notatki'z Metrologia. Warsaw University of Technology
metallic_eyes
metallic_eyes15 marca 2013

Analiza wyników pomiarów - Notatki - Metrologia - Część 2, Notatki'z Metrologia. Warsaw University of Technology

PDF (854 KB)
5 strona
603Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu metrologii: analiza wyników pomiarów.
20 punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 5

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 5 pages

Pobierz dokument

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 5 pages

Pobierz dokument

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 5 pages

Pobierz dokument

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 5 pages

Pobierz dokument
(AWP_PM_wykład 2_D)

ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW (AWP)

Jednostka prowadząca: Instytut Metrologii i Inżynierii Biomedycznej

Autor programu: dr inż. Jerzy Arendarski

Podstawowe kategorie składowych wyniku pomiaru

i metody ich wyznaczania

Definicje

WYNIK POMIARU – wartość przypisana

wielkości mierzonej, uzyskana drogą pomiaru.

Całkowite wyrażenie wyniku pomiaru zawiera

dane dotyczące niepewności pomiaru.

Definicje

WYNIK SUROWY – wynik pomiaru przed

korekcją błędu systematycznego.

WYNIK POPRAWIONY – wynik pomiaru po

korekcji błędu systematycznego.

Definicje

POPRAWKA – wartość dodana algebraicznie do

surowego wyniku pomiaru w celu skompensowania

błędu systematycznego.

WSPÓŁCZYNNIK POPRAWKOWY – współczynnik

liczbowy, przez który należy pomnożyć surowy wynik

pomiaru, aby skompensować błąd systematyczny.

Niepewność pomiaru to parametr, związany z wynikiem pomiaru,

charakteryzujący rozrzut wartości, które można w uzasadniony sposób przypisać

wielkości mierzonej.

Niepewność pomiaru to wynik postępowania mającego na celu oszacowanie przedziału, wewnątrz którego znajduje się wartość prawdziwa wielkości mierzonej, zwykle z daną wiarygodnością.

docsity.com

Błąd pomiaru to różnica między wynikiem pomiaru wielkością prawdziwą wielkości mierzonej

Wzory definicyjne błędu pomiaru,

błędu systematycznego pomiaru

i błędu przypadkowego pomiaru wielkości X:

ps xXX −=∆

XxX ps ∆+∆=∆

pss xXx −=∆

ssp XXX −=∆

pssps xXXxXX −=−+−=∆

Wielkość o wartości umownie prawdziwej xup, mierzona przez tego samego laboranta, w porównywalnych warunkach pomiarowych, w różnych terminach, w ramach badania kompetencji. Niepewność pomiaru wyznaczona zgodnie z odpowiednią instrukcją, w obu przypadkach była taka sama i wynosiła U.

xup

x

x

x1

x1-U

x2-U

x1 x1+U

U U

x2+Ux2

U U

Oba wyniki są wiarygodne, ponieważ wartość „prawdziwa” leży w wyznaczonych przedziałach [x1 - U, x1 + U] i [x2 - U, x2 + U], ale wartości błędów pomiaru ∆x1 i ∆x2 są różne co do wartości jak i co i co do znaku.

Porównanie dwóch wyników pomiarów

Z powyższego przykładu wynika,

że niepewność pomiaru określa przewidywane

(przy wysokim poziomie ufności)

granice zmienności błędów pomiarów,

których nie wyeliminowano z wyniku pomiaru.

Porównanie dwóch wyników pomiarów

Podstawową formą eliminacji błędów systematycznych z wyniku pomiaru jest wprowadzanie poprawek, zatem w najbardziej ogólnej postaci wynik obejmuje trzy składowe:

gdzie: - wynik surowy; - sumaryczna poprawka, kompensująca wyznaczalne błędy systematyczne; - niepewności pomiaru.

)()( YUPYY S ±+= Σ

SY

ΣP

)(YU

Dla pomiaru bezpośredniego:

gdzie:

Xs – wskazanie przyrządu lub średnia z serii wskazań,

Pi – poprawki (wskazań, temperaturowa,....).

)()( XUPXX iS ±+= ∑

docsity.com

Dla pomiaru pośredniego, wielkość mierzona Y

zależy od wielu wielkości wejściowych i wpływających:

wtedy, biorąc pod uwagę ogólną formułę:

i wzór na wynik poprawiony:

można w pierwszej kolejności wyznaczyć wynik surowy, obliczając:

a następnie poprawkę sumaryczną:

),,...,,( 21 mXXXfY =

)()( YUPYY S ±+= Σ

)( Σ+= PYY Spop

),,...,,( 21 smsss XXXfY =

i

m

i

P X

Y P ∑ ∂

∂=Σ 1

Inny sposób – wyznaczenie wyników poprawionych wszystkich wielkości wejściowych:

a następnie wyznaczenie:

∑+= ispop PXX 111

∑+= ispop PXX 222

∑+= ispop PXX 333

∑+= mismpopm PXX

),,...,,,( 321 popmpoppoppoppop XXXXfY =

Argumenty funkcji

są zmiennymi losowymi, więc wielkość wynikowa również jest

zmienną losową.

Wartość oczekiwana tej zmiennej, oblicza się podstawiając, do

jawnej postaci funkcji, argumenty równe wartościom oczekiwanym:

),,...,,,( 321 popmpoppoppoppop XXXXfY =

),...,,,( 321 xmxxxy f µµµµµ =

Przybliżoną wartość wariancji tej zmiennej,

korzystając z rozwinięcia funkcji w szereg Taylora,

wyznacza się ze wzoru:

gdzie:

u(Xi) – niepewności standardowe wielkości składowych

(cząstkowych),

u(Xi,Xj) – kowariancje.

∑∑∑ −

= ==  

 

∂ ∂

 

  

∂ ∂+

  

∂ ∂=

1

1 11

2

2

2 ),(2)()( m

i

m

j ji

ji

m

i i

i c XXuX

f

X

f Xu

X

f Yu

Kowariancja cov(Xi, Xj) = u(Xi, Xj) jest momentem centralnych drugiego

rzędu, w rozkładzie dwuwymiarowym zmiennej (Xi , Xj), wyznaczanym

według formuły:

u(Xi,Xj) = E(Xi - µi) (Xj - µj)

dla i,j = 1, 2, …, m; i ≠ j.

Jeżeli zmienne Xi i Xj są stochastycznie niezależne, to cov(Xi, Xj) = 0,

zatem gdy poszczególne argumenty w równaniu pomiaru są niezależne,

to składniki z kowariancjami będą zerowe, a wzór przyjmie postać:

∑ =

 

  

∂ ∂=

m

i i

i c XuX

f Yu

1

2

2

2 )()(

Niepewność standardową złożoną uc(Y),

jeżeli uprawnione jest założenie o niezależności składowych,

oblicza się ze wzoru:

∑ =

 

  

∂ ∂=

m

i i

i c XuX

f Yu

1

2

2

)()(

docsity.com

Przykład 1.

Pomiar długości zestawu dwóch elementów:

Równanie pomiaru:

Y = A + B

Apop = 20,000 mm; u(A) = 0,0025 mm;

Bpop = 25,000 mm; u(B) = 0,0025 mm;

A B

Y

Ypop = Apop + Bpop = 45,000 mm

U(Y) = 2 uc(Y) =0,007 mm

Y = (45,000 ± 0,007) mm

)()()( 2 2

2 2

Bu B

Y Au

A

Y Yuc ⋅

  

∂ ∂+⋅

  

∂ ∂=

mmmmmmBuAuYuc 00353,0)0025,0()0025,0()()()( 2222 =+=+=

Przykład 2.

Pomiar wymiaru mieszanego:

Równanie pomiaru:

Y = B A

Apop = 11,245 mm; u(A) = 0,0025 mm;

Bpop = 23,475 mm; u(B) = 0,0025 mm;

A

B

Y

Ypop = Bpop + Apop = 12,230 mm

U(Y) = 2 uc(Y) =0,007 mm

Y = (12,230 ± 0,007) mm

)()()( 2 2

2 2

Au A

Y Bu

B

Y Yuc ⋅

  

∂ ∂+⋅

  

∂ ∂=

mmmmmmAuBuYuc 00353,0)0025,0()0025,0()()()( 2222 =+=+=

Przykład 3.

Pomiar pola przekroju płaskownika:

Równanie pomiaru: Y = A * B

Apop = 20,00 mm; u(A) = 0,01 mm;

Bpop = 50,00 mm; u(B) = 0,025 mm;

A

B

Ypop = Apop * Bpop = 1000 mm 2;

U(Y) = 2 uc(Y) =1,4 mm 2

Y = (1000,0 ± 1,4) mm2

)()()( 2 2

2 2

Bu B

Y Au

A

Y Yuc ⋅

  

∂ ∂+⋅

  

∂ ∂=

B A

Y = ∂ ∂

A B

Y = ∂ ∂

70,0025,000,2001,000,50)()()( 22222222 =⋅+⋅=⋅+⋅= BuAAuBYuc

;

docsity.com

Przykład 4.

Pomiar przełożenia dźwigni dwuramiennej:

Równanie pomiaru:

Apop = 100,0 mm; u(A) = 0,1 mm;

Bpop = 10,0 mm; u(B) = 0,05 mm;

B

A Y =

A B

U(Y) = 2 uc(Y) =0,10

Y = 10,00 ± 0,10

10== pop

pop pop B

A Y

)()()( 2 2

2 2

Bu B

Y Au

A

Y Yuc ⋅

  

∂ ∂+⋅

  

∂ ∂=

1mm1,0 1 −==

∂ ∂

BA

Y 1 2 1

−−=−= ∂ ∂

mm B

A

B

Y

05099,005,011,01,0)()( 1

)( 222224

2 2

2 =⋅+⋅=⋅+⋅= BuB A

Au B

Yuc

;

Dziękuję za uwagę

i zapraszam na dalszą część wykładu

Podstawowe kategorie składowych wyniku pomiaru i metody ich wyznaczania

UWAGA!

Ponieważ błąd systematyczny nie

może być znany dokładnie,

kompensacja nie może być zupełna.

docsity.com

komentarze (0)

Brak komentarzy

Bądź autorem pierwszego komentarza!

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 5 pages

Pobierz dokument