Przedmiot dynamiki - Notatki - Mechanika - Część 4, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology
dlugie_nogi
dlugie_nogi15 marca 2013

Przedmiot dynamiki - Notatki - Mechanika - Część 4, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology

PDF (740 KB)
21 strona
752Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z mechaniki: przedmiot dynamiki;przedmiot dynamiki; zasada zachowania energii, ruch bryły swobodnej.
20 punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 21

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 21 pages

Pobierz dokument

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 21 pages

Pobierz dokument

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 21 pages

Pobierz dokument

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 21 pages

Pobierz dokument
Dynamika cz4.pdf

chwili pocz tkowej uk!ad by! w spoczynku? Mas" liny pomin #, a b"ben uwa$a#

za jednorodny walec.

r

v2

,!

M

N

T

" G2

O

r

Rys. 7.22. Wyznaczenie pr"dko%ci k towej b"bna

Rozwi zanie. Do rozwi zania zadania zastosujemy zasad" pracy i energii

kinetycznej (7.88):

LEE 12 #$ .

Z uwagi na to, $e uk!ad w chwili pocz tkowej znajdowa! si" w spoczynku, jego

energia kinetyczna by!a równa zeru, E1 = 0. Otrzymujemy wi"c:

LE 2 # . (a)

Energia kinetyczna uk!adu sk!ada si" z energii kinetycznej ruchu post"powego

masy m2 oraz ruchu obrotowego b"bna:

2

O

2

222 I 2

1 vm

2

1 E !%# .

Poniewa$ moment bezw!adno%ci b"bna IO wzgl"dem osi obrotu i pr"dko%# v2 s

równe:

rv,rm 2

1 I 2

2

1O !## ,

mamy:

& ' 22212212222 rm2m 4

1 rm

4

1 rm

2

1 E !%#!%!# . (b)

Prac" L wykonuj : moment obrotowy M, sk!adowa si!y ci"$ko%ci G2 równoleg!a

do równi oraz si!a tarcia T. Je$eli zauwa$ymy, $e przy obrocie b"bna o k t ci"$ar o masie m2 przesunie si" w gór" równi o r , mo$emy napisa#:

docsity.com

& 'L M m g T r# $ % "2 sin . Po podstawieniu do tego wzoru "## cosgmµNµT 2 wykonana praca

& () *

+,

- "%"$# rcosµsingm

r

M L 2 ' . (c)

Po podstawieniu zale$no%ci (b) i (c) do wzoru (a) otrzymujemy równanie:

& ' & ' () *

+,

- "%"$#!% rcosµsingm

r

M rm2m

4

1 2

22

21 ,

sk d

& '

%

""$ #!

21

2

m2m

cosµ+sinrgmM

r

2 .

docsity.com

7.4.4. Zasada zachowania energii

Obecnie rozpatrzymy ruch uk adu materialnego, na który dzia aj! si y

potencjalne, zarówno zewn"trzne jak i wewn"trzne. W punkcie 7.1.5

udowodniono, #e je#eli na punkt materialny dzia a si a potencjalna, to praca

wykonana przez t" si " jest równa ubytkowi energii potencjalnej. Przyjmiemy bez

dowodu, #e zale#no$% ta jest s uszna nie tylko dla ka#dego punktu, ale i dla ca ego

uk adu materialnego. Zatem prac" si zewn"trznych i wewn"trznych mo#emy

zapisa% w postaci:

! "

#$

#$

,UUL

,UUL

2w1ww

2z1zz (h)

gdzie Uz1 i Uz2 oznaczaj! energi" potencjaln! si zewn"trznych w po o#eniu

pocz!tkowym i ko&cowym, a Uw1 i Uw2 energi" potencjaln! si wewn"trznych

w po o#eniu pocz!tkowym i ko&cowym. Po podstawieniu wzorów (h) do równania

zasady pracy i energii kinetycznej (7.87) otrzymamy:

E2 – E1 = Uz1 – Uz2 + Uw1 – Uw2 lub

E2 + Uz2 + Uw2 = E1 + Uz1 + Uw1. (i)

Z równania (i) wynika, #e suma energii kinetycznej i energii potencjalnej si

zewn"trznych i wewn"trznych jest w ka#dym po o#eniu uk adu wielko$ci! sta !.

Po wprowadzeniu do równania (i) oznacze&:

U2 = Uz2 + Uw2 i U1 = Uz1 + Uw1 otrzymamy:

E2 + U2 = E1 + U1 albo ogólnie

E + U = const. (7.89)

Jest to zasada zachowania energii mechanicznej.

Gdy na uk ad materialny dzia aj! si y potencjalne, wtedy suma energii

kinetycznej i potencjalnej tego uk adu jest wielko"ci! sta !.

Zasada zachowania energii mechanicznej jest s uszna równie# w przypadku,

gdy dzia aj!ce si y mo#na roz o#y% na si y potencjalne i si y, które nie s!

potencjalne, ale nie wykonuj! pracy, np. reakcje g adkich powierzchni.

Uk ady materialne, do których odnosi si" zasada zachowania energii

mechanicznej, nazywamy uk adami zachowawczymi, a si y si ami

zachowawczymi. Uk ady, których nie dotyczy ta zasada, nazywamy uk adami

rozpraszaj!cymi lub dyssy-patywnymi, np. uk ady z tarciem.

docsity.com

Zasada zachowania energii mechanicznej jest trzeci! zasad! zachowania

w dynamice, po zasadzie zachowania p"du i zasadzie zachowania kr"tu. Nale#y

pami"ta%, #e zasady zachowania s! s uszne tylko wówczas, gdy s! spe nione

odpowiednie za o#enia poczynione przy ich wyprowadzaniu.

Przyk ad 7.13. Cienki jednorodny pr"t OA o d ugo$ci L i masie m mo#e si"

obraca% bez tarcia wokó osi poziomej prostopad ej do osi pr"ta przechodz!cej

przez jego koniec O (rys. 7.23). Jak!

pr"dko$% nale#y nada% ko&cowi A w

chwili, gdy pr"t jest w spoczynku w

po o#eniu równowagi sta ej, aby wykona

on %wier% obrotu?

L/2

L

O

%

A

C mg

vA

U = 0

Rys. 7.23. Wyznaczenie pr"dko$ci

pocz!tkowej ko&ca pr"ta

Rozwi!zanie. Na pr"t dzia a si a

ci"#ko$ci, która jest si ! potencjaln!.

Zatem do rozwi!zania zadania mo#emy

zastosowa% zasad" zachowania energii

mechanicznej (7.89):

2211 UEUE &$& . (a)

Je#eli poziom zerowej energii potencjalnej przyjmiemy na wysoko$ci $rodka

ci"#ko$ci C, jak na rysunku, to U1 0$ . Po wykonaniu %wier% obrotu pr"t zajmie

po o#enie poziome i zatrzyma si". Jego energia kinetyczna b"dzie równa zeru,

. Równanie (a) b"dzie mia o wi"c posta%: E2 0$

21 UE $ . (b)

W chwili pocz!tkowej energia kinetyczna

2

O1 I 2

1 E %$ .

Moment bezw adno$ci pr"ta jednorodnego wzgl"dem jego ko&ca (patrz przy-

k ad 6.2)

3

mL I

2

O $ .

Z kolei pr"dko$% k!towa pr"ta

L

vA$% .

docsity.com

Energia kinetyczna pr"ta ma wi"c posta%:

6

mv

L

v

3

mL

2

1 E

2

A

2

A

2

1 $' (

) * +

, $ . (c)

Energia potencjalna pr"ta w po o#eniu ko&cowym

2

L mgU 2 $ . (d)

Po podstawieniu wzorów (c) i (d) do równo$ci (b) otrzymujemy równanie:

2

mgL

6

mv2A $ .

St!d pr"dko$% pocz!tkowa ko&ca A pr"ta

Lg3vA $ .

Czytelnikowi pozostawiamy wyznaczenie pr"dko$ci, jak! nale#y nada%

ko&cowi A pr"ta, aby wykona on pe en obrót.

docsity.com

7.5.1. Ruch bry y swobodnej

Swobodna bry a sztywna ma w przestrzeni sze!" stopni swobody i do okre!lenia

jej ruchu potrzeba sze!ciu równa# ruchu. Ruch bry y mo$emy rozbi" na ruch

!rodka masy, wywo any przez dzia anie wektora g ównego si zewn%trznych, i

obrót bry y wzgl%dem !rodka masy, wywo any przez moment g ówny si

zewn%trznych zredukowany do !rodka masy.

Do u o$enia równa# ruchu bry y wykorzystamy wyprowadzone poprzednio

zasady p%du i kr%tu. W punkcie 7.2.3 wykazano, $e pochodna p%du wzgl%dem

czasu równa wektorowi g ównemu si zewn%trznych opisuje ruch !rodka masy, a w

punkcie 7.3.5, $e pochodna kr%tu zredukowanego do !rodka masy wzgl%dem czasu

równa momentowi g ównemu si zewn%trznych opisuje obrót bry y wzgl%dem

!rodka masy. Mamy wi%c dwa równania wektorowe opisuj&ce ruch bry y

swobodnej:

C

C

dt

d ,

dt

d M

k W

p . (7.90)

Te dwa równania wektorowe s& równowa$ne sze!ciu równaniom skalarnym.

Otrzymamy je po zrzutowaniu wektorów wyst%puj&cych w powy$szych

równaniach na osie prostok&tnego

uk adu wspó rz%dnych. Podobnie jak

przy obliczaniu kr%tu bry y

przyjmiemy dwa uk ady

wspó rz%dnych: jeden nieruchomy x,

y, z o pocz&tku w dowolnym punkcie

O i drugi ruchomy ! ! !x , y , z sztywno

zwi&zany z bry & o pocz&tku w

!rodku masy C (rys. 7.24). Ponadto

dla uproszczenia oblicze# za o$ymy,

$e osie z,y,x !!! uk adu ruchomego s&

g ównymi centralnymi osiami

bezw adno!ci. Przy takim za o$eniu

zgodnie ze wzorem (7.66) kr%t bry y

kjik !"#!"#!" !!!!!! zzyyxxC III , (a)

gdzie s& g ównymi centralnymi momentami bezw adno!ci,

a wspó rz%dnymi wektora pr%dko!ci k&towej " w uk adzie

ruchomym.

zyx I,I,I !!!

" " " ! !x , ,y z!

x

z

x!

z!

y!

y

rC

C

O

MC

W

Rys. 7.24. Ruch swobodny bry y sztywnej

docsity.com

W pierwszej kolejno!ci obliczymy pochodn& kr%tu kC wzgl%dem czasu z

wykorzystaniem podanych w kinematyce bry y wzorów na pochodne wzgl%dem

czasu wersorów uk adu ruchomego (5.31).

k! k

j! j

i! i

!$ !

!$ !

!$ !

td

d ,

td

d ,

td

d .

#! "

#! "

#! "

!

"# !

"# !

"#

#! "

#! "

#! "

!

!

!

!

!

!

!!!!!!

!

!

!

!

!

!

kji

kji

kji k

dt

d I

dt

d I

dt

d I

dt

d I

dt

d I

dt

d I

dt

d I

dt

d I

dt

d I

dt

d

z

z

y

y

x

x

zzyyxx

z

z

y

y

x

x

C

+ !kji "#$"#$"#% """""" zzyyxx III .

Wyra enie w nawiasie w powy szym wzorze jest kr!tem bry"y wzgl!dem

#rodka masy. Zatem pochodna kr!tu kC wzgl!dem czasu

C z

z

y

y x

x

C

dt

d I

dt

d I

dt

d I

dt

d k kji

k %$"

# $"

# $"

# & ""

" "

" " . (7.91)

Po obliczeniu iloczynu wektorowego wyst!puj$cego w tym wzorze oraz

odpowiednim pogrupowaniu wyrazów otrzymamy ostatecznie:

!

!

! .II dt

d I

II dt

d I

II dt

d I

dt

d

yxxy

z

z

zxzx

y

y

zyyz x

x

C

k

j

i k

"' (

) * +

, ##-$

# $

$"' (

) * +

, ##-$

# $

$"' (

) * +

, ##-$

# &

"""" "

"

"""" "

"

"""" "

"

(7.92)

Po zapisaniu wyst!puj$cego w równaniach (7.90) wektora g"ównego W i

momentu g"ównego MO w ruchomym uk"adzie wspó"rz!dnych:

kjiM

kjiW

"$"$"&

"$"$"&

"""

"""

zCyCxCC

zyx

MMM

,WWW

oraz podstawieniu do drugiego równania (7.90) wzoru (7.92) i porównaniu

wyra e% przy wersorach otrzymamy sze#& skalarnych równa% ruchu bry"y:

docsity.com

! ! ! ..

.

.

/

..

.

.

0

1

&##-$2

&##-$2

&##-$2

&

&

&

"""""""

"""""""

"""""""

""

""

""

,MIII

,MIII

,MIII

,Wma

,Wma

,Wma

zCyxxyzz

yCzxzxyy

xCzyyzxx

zzC

xxC

yyC

(7.93)

w których zamiast pochodnych wzgl!dem czasu wspó"rz!dnych pr!dko#ci k$towej

# wprowadzono odpowiednie wspó"rz!dne przy#pieszenia k$towego 2:

dt

d ,

dt

d ,

dt

d z z

y

y x

x

" "

" "

" "

# &2

# &2

# &2 ,

a s$ wspó"rz!dnymi przy#pieszenia aa a aCx Cy Cz" ", , " C#rodka masy C.

Powy sze równania ró niczkowe wraz z warunkami pocz$tkowymi

jednoznacznie opisuj$ ruch bry"y pod wp"ywem przy"o onego do niej uk"adu si".

Przy wyprowadzaniu równa% ruchu bry"y (7.93) za biegun redukcji przyj!to

#rodek masy C bry"y. Pocz$tek ruchomego uk"adu wspó"rz!dnych mo na przyj$&

poza #rodkiem masy, pod warunkiem e punkt ten jest nieruchomy. Je eli w

poruszaj$cej si! bryle istnieje nieruchomy punkt, np. O, to obieraj$c go za biegun

redukcji, otrzymamy równania o postaci (7.93), ale wtedy zamiast wspó"rz!dnych

momentu g"ównego MzCyCxC M,MM """ C zredukowanego do #rodka masy C

nale y podstawi& wspó"rz!dne momentu MzOyOxO M,MM """ O zredukowanego do

tego nieruchomego punktu. Wyst!puj$ce w tych równaniach momenty

bezw"adno#ci musz$ by& g"ównymi momentami bezw"adno#ci.

docsity.com

7.5.2. Obrót bry y wokó sta ej osi obrotu

Obrót dowolny bry y wokó g ównej osi bezw adno!ci

Wa nym zagadnieniem w dynamice maszyn jest ruch obrotowy bry!y wokó!

sta!ej osi obrotu. Z tym zagadnieniem mamy do czynienia we wszystkich

maszynach wirnikowych. Aby taki ruch mo na by!o zrealizowa", bry!a (wirnik)

musi by" ograniczona wi#zami. S$ nimi najcz#%ciej !o yska, w których w czasie

ruchu bry!y powstaj$ odpowiednie reakcje.

Z kinematyki wiadomo, e obracaj$ca si# bry!a wokó! sta!ej osi obrotu ma jeden

stopie& swobody. Taki ruch bry!y mo na jednoznacznie opisa" jednym równaniem

ruchu w postaci k$ta obrotu w funkcji czasu = (t).

x

x!

y

y!

z = z!

O

C

"

#

rc

l

Mo

W

Rys. 7.25. Ruch obrotowy bry!y sztywnej wokó! g!ównej osi bezw!adno%ci

Dla wyprowadzenia dynamicznego równania ruchu bry!y za!o ymy, e bry!a

obraca si# ruchem dowolnym, czyli e pr#dko%" k$towa bry!y nie jest sta!a, wokó!

osi b#d$cej g!ówn$ osi$ bezw!adno%ci (rys. 7.25). Ponadto przyjmujemy, e

pocz$tki nieruchomego uk!adu wspó!rz#dnych x, y, z i ruchomego znajduj$ si# w

nieruchomym punkcie O znajduj$cym si# na osi obrotu l. Poza tym dla

uproszczenia wzorów za!o ymy, e %rodek masy C bry!y le y na osi .

z z$ !

!x Poniewa dla takiego ruchu pr#dko%" k$towa " i przy%pieszenie k$towe # le $ na osi obrotu, zatem

docsity.com

0''i0 yxyx $$$"$" !!!! , (b)

a wektory " i #mo na zapisa" wzorami:

, dt

d z kkkk" z !

$!"$!"$"$ !

. dt

d

dt

d '''

2

2

z kkkkk# z !

$! "

$!$!$$ !

Przy%pieszenie aC %rodka masy C obliczymy ze wzoru (5.37) podanego w p.

5.3.4 dotycz$cym kinematyki ruchu obrotowego:

% &.CCC r""r#a ''('$

Po podstawieniu do tego wzoru zale no%ci ir !$ CC r , wynikaj$cej wprost z rys. 7.25, otrzymamy:

% & ijikkika !")!$!'!"'!"(!'!$ C2CCCC rr'rr' ,

czyli wspó!rz#dne przy%pieszenia %rodka masy wynosz$:

0a,r'a,ra zCCyCC 2

xC $$")$ !!! . (c)

Wyprowadzone w poprzednim punkcie równania (7.93) po podstawieniu

zale no%ci (b) oraz wzorów (c) redukuj$ si# do postaci (7.94):

.M'I

,Wr'm

,Wrm

zOzz

yC

xC

2

!!!

!

!

$

$

$")

(7.94)

St$d

M M WOx Oy z! !$ !$ $0 0, oraz 0 . (d)

Z zale no%ci (d) oraz z równa& (7.94) wynika, e w przypadku obrotu bry!y

wokó! g!ównej osi bezw!adno%ci uk!ad si! zewn#trznych redukuje si# do momentu

g!ównego MO le $cego na osi obrotu l i wektora g!ównego W le $cego w

p!aszczy(nie ! !x y i prostopad!ego do tej osi. Trzecie z równa& (7.94) jest dynamicznym równaniem ruchu obrotowego bry!y

i przy znanych warunkach pocz$tkowych pozwala na wyznaczenie równania jej

ruchu = (t). Z dwóch pierwszych równa& mo emy wyznaczy" si!y wywo!ane tym, e %rodek masy le y poza osi$ obrotu, czyli o% obrotu nie jest g!ówn$

centraln$ osi$ bezw!adno%ci, albo ) u ywaj$c terminologii z dynamiki maszyn )

docsity.com

bry!a jest niewywa ona statycznie. Równania te pozwalaj$ na wyznaczenie reakcji

wi#zów (reakcji !o ysk).

Je eli o% obrotu l b#dzie g!ówn$ centraln$ osi$ bezw!adno%ci, czyli %rodek masy

C b#dzie le a! na osi obrotu (rC = 0), co b#dzie oznacza!o idealne wywa enie

bry!y, równania (7.94) redukuj$ si# do jednego równania:

zOzz M'I !!! $ , (7.95)

a po uwzgl#dnieniu (d) widzimy, e wszystkie wspó!rz#dne wektora g!ównego

oraz dwie wspó!rz#dne momentu g!ównego s$ równe zeru:

0MMoraz0WWW yOxOzyx $$$$$ !!!!! . (e)

Z dynamicznego równania ruchu obrotowego bry!y (7.95) wynika, e je eli

suma momentów wszystkich si! zewn#trznych (si! czynnych i reakcji !o ysk osi

obrotu) wzgl#dem osi obrotu b#dzie równa zeru, MOz! $ 0 , to równie

, zatem pr#dko%" k$towa b#dzie sta!a, " = const, czyli bry!a b#dzie si# porusza" ruchem jednostajnie obrotowym. Z takim przypadkiem b#dziemy

mieli do czynienia, gdy bry!a b#dzie si# obraca" wokó! pionowej osi obrotu

osadzonej w idealnie g!adkich !o yskach. Si!ami zewn#trznymi s$ wówczas si!y

ci# ko%ci i reakcje g!adkich !o ysk, których momenty wzgl#dem osi obrotu s$

równe zeru.

0dtd' $"$ /

Przyk ad 7.14. Jednorodna tarcza o masie m i

promieniu r obraca si# wokó! nieruchomej osi

przechodz$cej przez %rodek O tej tarczy (rys.

7.26) pod wp!ywem przy!o onego

momentu o sta!ej warto%ci, M = const. Na tarcz#

dzia!a moment oporu proporcjonalny do

pr#dko%ci k$towej " (

MO

,kMO "$ gdzie k jest znanym wspó!czynnikiem). Wyznaczy" pr#dko%"

k$tow$ tarczy w funkcji czasu, % &t"$" , oraz jej warto%" maksymaln$, . max"$"

MO

M

O

r

"

Rys. 7.26. Wyznaczenie pr#dko%ci

k$towej tarczy

Rozwi!zanie. Po podstawieniu do dynamicznego równania ruchu obrotowego

bry!y (7.95), zgodnie z tre%ci$ zadania,

dt

d '',II zOz

" $$$ !! oraz OzO MMM )$!

otrzymamy równanie ruchu obrotowego tarczy w postaci:

docsity.com

")$ "

)$ "

kM dt

d IlubMM

dt

d I OOO .

Moment bezw!adno%ci tarczy wzgl#dem osi obrotu . Zatem 2rmI 2O /$

")$ "

kM dt

d rm

2

1 2 .

Po rozdzieleniu zmiennych powy sze równanie ró niczkowe mo emy zapisa"

w postaci:

dt kM

d

2

rm 2 $

") "

albo

dt kM

dk

k2

rm 2 $

") ")

) .

Sca!kujemy to równanie w granicach od 0 do " oraz od 0 do t:

** $") ")

) " t

00

2

dt kM

dk

k2

rm .

Po wykonaniu ca!kowania i zast$pieniu ró nicy logarytmów logarytmem ilorazu

otrzymamy:

t M

kM ln

k2

rm 2 $

") )

lub

2rm

tk2

M

kM ln )$

") .

St$d pr#dko%" k$towa

+ + ,

- . . /

0 )$"

) 2mr

kt2

e1 k

M .

Z otrzymanego wzoru widzimy, e z up!ywem czasu t do niesko&czono%ci drugi

wyraz w nawiasie b#dzie d$ y! do zera, czyli pr#dko%" k$towa " b#dzie d$ y" do warto%ci maksymalnej równej:

k

M max $" .

docsity.com

Obrót jednostajny bry y wokó osi dowolnej. Reakcje dynamiczne

Obecnie rozpatrzymy ruch bry!y obracaj$cej si# ze sta!$ pr#dko%ci$ k$tow$ " wokó! dowolnej osi podpartej w !o yskach, jak na rys. 7.27. Wskutek dzia!ania si!

czynnych na rozpatrywan$ bry!# w !o yskach powstan$ reakcje statyczne, które

mo na wyznaczy" z poznanych w statyce warunków równowagi. Zagadnienia tego

nie b#dziemy tutaj rozpatrywa", zajmiemy si# natomiast si!ami i momentami

wywo!anymi przez zadany ruch. Innymi s!owy, rozpatrzymy ruch bezw!adny bry!y

poruszaj$cej si# ze sta!$ pr#dko%ci$ k$tow$ bez udzia!u si! zewn#trznych.

Na osi obrotu w punkcie O przyjmiemy pocz$tek nieruchomego uk!adu

wspó!rz#dnych x, y, z oraz pocz$tek uk!adu ruchomego ! ! !x , y , z sztywno zwi$zanego z bry!$. Za!o ymy przy tym, e osie uk!adu ruchomego s$ g!ównymi

osiami bezw!adno%ci, a %rodek masy nie le y na osi obrotu, czyli bry!a jest

niewywa ona zarówno dynamicznie, jak i statycznie.

Poniewa pr#dko%" k$towa " jest sta!a i jej rzuty " " "! !x , ,y !z na osie

ruchomego uk!adu wspó!rz#dnych równie s$ sta!e, wi#c wspó!rz#dne

przy%pieszenia k$towego s$ równe zeru:

0''' zyx $$$ !!! . (f)

x!

z!

x

y

z

y!

O

C

" rc

Rys. 7.27. Ruch obrotowy bry!y sztywnej wokó! osi dowolnej

Zatem przy%pieszenie aC %rodka masy bry!y wyrazi wzór:

% & % & 2CCCC )rr""r""a )1$''$ . (g)

Je eli wektor wodz$cy rC %rodka masy zapiszemy za pomoc$ wspó!rz#dnych

w uk!adzie ruchomym:

,zyx CCCC kjir !!(!!(!!$

docsity.com

to po zrzutowaniu wektora (g) na osie ! ! !x , y , z i odpowiednim pogrupowaniu wyrazów otrzymamy wzory na wspó!rz#dne przy%pieszenia aC %rodka masy:

2 3

2 4

5

!")!"")!")!""$

!")!"")!")!""$

!")!"")!")!""$

!!!!!!!

!!!!!!!

!!!!!!!

).yz(zxa

),xy(yza

),zx(xya

CzCyyCxCzxzC

CyCxxCzCyzyC

CxCzzCyCxyxC

)(

)(

)(

(h)

Po podstawieniu zale no%ci (f) oraz wzorów (h) do równa& (7.93) i zmianie

bieguna redukcji z C na O otrzymamy sze%" równa& opisuj$cych omawiany ruch

bry!y:

2 2 2 2

3

22 2 2

4

5

$"")

$"")

$"")

$!")!"")!")!""

$!")!"")!")!""

$!")!"")!")!""

!!!!!

!!!!!

!!!!!

!!!!!!!

!!!!!!!

!!!!!!!

.MII

,MII

,MII

,Wyzzxm

,Wxyyzm

,Wzxxym

zOyxxy

yOzxzx

xOzyyz

zCzCyyCxCzx

yCyCxxCzCyz

xCxCzzCyCxy

)(

)(

)(

)]()([

)]()([

)]()([

(7.96)

Po uwzgl#dnieniu we wzorze (7.91) zale no%ci (f) oraz przyj#ciu za biegun

redukcji zamiast punktu C nieruchomego punktu O pochodna kr#tu kO wzgl#dem

czasu

O

O

dt

d k"

k '$ , (i)

a po uwzgl#dnieniu zasady kr#tu mo emy napisa":

OO k"M '$ . (j)

Po pomno eniu skalarnie obu stron powy szego wzoru przez pr#dko%" k$tow$

otrzymamy:

% & % & % & 0OOOO $'1$'1$1'$1 ""kk"""k""M . (k)

Warunek ten mo na przedstawi" w postaci:

$1"M O 0MMM zzOyyOxxO $"("(" !!!!!! . (l)

Z powy szego równania wynika, e moment g!ówny MO wywo!any przez si!y

bezw!adno%ci jest w czasie obrotu bry!y zawsze prostopad!y do pr#dko%ci k$towej

", czyli do osi obrotu. Gdy tak nie jest, obrót jednostajny bry!y nie jest mo liwy.

docsity.com

Ponadto z warunku (l) wynika, i tylko dwa z trzech ostatnich równa& (7.96) s$

niezale ne, czyli z równa& (7.96) mo emy w uk!adzie ! ! !x , y , z wyznaczy" pi#" sk!adowych reakcji spowodowanych omawianym ruchem bry!y. Poniewa uk!ad

wiruje razem z bry!$ wokó! osi obrotu z pr#dko%ci$ k$tow$ ", z t$ sam$ pr#dko%ci$ wiruj$ reakcje w !o yskach wzgl#dem uk!adu nieruchomego x, y, z.

Reakcje te nazywamy reakcjami dynamicznymi.

! ! !x , y , z

Gdy %rodek masy bry!y b#dzie si# znajdowa! na osi obrotu, czyli bry!a b#dzie

wywa ona statycznie, wtedy 0zy=x CCC $!$!! i lewe strony trzech pierwszych równa& (7.96) b#d$ równe zeru, a tym samym znikn$ si!y wywo!ane przez

niewywa enie statyczne 0WWW zyx $$$ !!! . W tym przypadku z trzech ostatnich równa& (7.96) wynika, e reakcje dynamiczne w !o yskach b#d$

spowodowane przez moment MO zwi$zany z dzia!aniem si! bezw!adno%ci.

Poniewa na podstawie warunku (l) moment ten jest prostopad!y do osi obrotu,

zatem reakcje dynamiczne w !o yskach b#d$ tworzy" par# si! wiruj$c$ z

pr#dko%ci$ równ$ pr#dko%ci k$towej ". Mówimy wtedy, e bry!a jest niewywa ona dynamicznie.

Je eli o% obrotu b#dzie g!ówn$ centraln$ osi$ bezw!adno%ci, np. o% pokryje

si# z osi$ z, to pozosta!e osie

!z ! !x i y uk!adu ruchomego b#d$ do niej prostopad!e,

czyli . Wynika z tego, e trzy pozosta!e równania (7.96) znikaj$, a

tym samym znikaj$ reakcje dynamiczne w !o yskach. Na podstawie powy szych

rozwa a& mo emy sformu!owa" nast#puj$cy wniosek:

0yx $"$" !!

Je eli o" obrotu bry#y jest g#ówn! centraln! osi! bezw#adno"ci, czyli bry#a jest

wywa ona statycznie i dynamicznie, to reakcje dynamiczne s! równe zeru.

Z przeprowadzonych w tym punkcie rozwa a& wynika, e ruch wiruj$cej bry!y

wywo!uje okresowo zmienne si!y dzia!aj$ce na !o yska, które przenosz$c si# na

korpus maszyny, a dalej na fundament wywo!uj$ drgania. Drgania te powoduj$

przy%pieszone zu ycie elementów maszyny, a tak e niekorzystnie wp!ywaj$ na

otoczenie. Aby temu zapobiec, wiruj$ce cz#%ci maszyn projektuje si# tak, aby o%

obrotu by!a g!ówn$ centraln$ osi$ bezw!adno%ci. Jednak np. ze wzgl#du na b!#dy

wykonawcze spe!nienie tego warunku nie zawsze jest mo liwe. Dlatego wiruj$ce

cz#%ci maszyn s$ sprawdzane po wykonaniu i ewentualnie wywa ane przez

odpowiedni$ korekt# masy.

Przyk ad 7.15. Cienka jednorodna p!yta prostok$tna o masie m i bokach h oraz

b obraca si# wokó! przek$tnej ze sta!$ pr#dko%ci$ k$tow$ ". Obliczy" reakcje dynamiczne !o ysk A i B, je eli odleg!o%" mi#dzy nimi wynosi L (rys. 7.28).

docsity.com

C

z

"

RB

RB

x!

L

h b

z!

x

6

A B

Rys. 7.28. Wyznaczenie reakcji dynamicznych !o ysk

Rozwi!zanie. Poniewa %rodek ci# ko%ci C p!yty le y na osi obrotu, która nie

jest g!ówn$ centraln$ osi$ bezw!adnó%ci, reakcje w !o yskach A i B b#d$

spowodowane niewywa eniem dynamicznym. W %rodku ci# ko%ci przyjmiemy

ruchomy uk!ad wspó!rz#dnych sztywno zwi$zany z p!yt$ w ten sposób, e osie

s$ osiami symetrii p!yty, a o% !x i z! !y jest prostopad!a do p!aszczyzny rysunku.

W tym uk!adzie wspó!rz#dnych pr#dko%" k$towa " ma wspó!rz#dne:

6"$"$"6"$" !!! cos,0,sin zyx .

Po podstawieniu tych wzorów do trzech ostatnich równa& (7.96) i po zast$pieniu

punktu O punktem C otrzymujemy: 0M,0M zCxC $$ !! oraz

% & % & 66")$"")$ !!!!!!! cossinIIIIM 2zxzxzxyC . (a)

Momenty bezw!adno%ci prostok$tnej p!yty wzgl#dem osi symetrii otrzymamy ze

wzorów (d) wyprowadzonych w przyk!adzie 6.3:

12

mb I,

12

mh I

2

z

2

x $$ !! . (b)

Z rysunku wynika, e

2222 bh

h =cos,

bh

b =sin

( 6

( 6 . (c)

docsity.com

Po podstawieniu oznacze& (b) i (c) do wzoru (a) otrzymujemy:

% & 2 22

22

CyC bh

bhbh

12

m MM "

(

) $$! . (d)

Z zale no%ci (d) wynika, e wektor momentu le y na osi , czyli jest

prostopad!y do p!aszczyzny p!yty i wiruje razem z ni$. Moment ten jest wywo!any

przez par# si! (reakcji) R

CM !y

A i RB prostopad!ych do osi obrotu. Wartoci momentu i

reakcji s$ równe:

% & % &

2

22

22

C

BABAC Lbh

bhbh

12

m

L

M RRLRLRM "

(

) $$$$$ , . (e)

W czasie obrotu reakcje RA i RB wiruj$ razem z p!yt$. Ponadto s$ one

proporcjonalne do kwadratu pr#dko%ci k$towej i w przypadku zbyt szybko

obracaj$cej si# bry!y mog$ osi$ga" du e warto%ci.

docsity.com

7.5.3. Ruch p aski bry y

W kinematyce ruchu bry y sztywnej ruchem p askim nazwali!my ruch, w czasie

którego wszystkie punkty bry y zakre!laj" tory równoleg e do pewnej p aszczyzny

nazywanej p aszczyzn" ruchu lub p aszczyzn" kieruj"c".

y!

z

x!

z!

y

x

rC

O

MC

W

"

C

Rys. 7.29. Ruch p aski bry y sztywnej

Na rysunku 7.29 przedstawiono przekrój bry y p aszczyzn" ruchu przechodz"c"

przez !rodek masy C. W dowolnym punkcie O przyj#to nieruchomy uk ad

wspó rz#dnych x, y, z tak, $e osie x, y le$" w p aszczy%nie ruchu, a o! z jest do niej

prostopad a. Ruchomy uk ad wspó rz#dnych z,y,x !!! o pocz"tku w !rodku masy C przyj#to w ten sam sposób, czyli osie y,x !! poruszaj" si# w p aszczy%nie ruchu, a o! jest do niej prostopad a. Wynika z tego, $e osie !z z i z! s" do siebie równoleg e.

W dalszych rozwa$aniach dynamiki ruchu p askiego bry y przyjmiemy

nast#puj"ce za o$enia:

a) o! jest g ówn" centraln" osi" bezw adno!ci, !z b) ruch bry y odbywa si# pod wp ywem si dzia aj"cych w p aszczy%nie ruchu.

Bry a poruszaj"ca si# ruchem p askim ma trzy stopnie swobody, a wi#c do jego

opisu wystarczy poda& trzy równania ruchu # dwóch wspó rz#dnych !rodka masy xC i yC oraz k"ta obrotu uk adu ruchomego wzgl#dem nieruchomego. Kinematyczne równania ruchu p askiego (5.51) i (5.52) mo$emy zapisa& w postaci:

$ % $ % $ %toraztyy,txx CCCC & && . (7.97)

docsity.com

Zatem do opisu dynamiki ruchu p askiego bry y niezb#dne s" trzy dynamiczne

równania ruchu. Do ich wyznaczenia wykorzystamy równania (7.93) opisuj"ce

ruch bry y swobodnej.

Z za o$enia b) na podstawie w asno!ci p askiego uk adu si (3.8) wynika, $e

wektor g ówny W b#dzie le$a w p aszczy%nie si , a moment g ówny MC b#dzie

prostopad y do tej p aszczyzny. Mo$emy w tej sytuacji zapisa&:

0Moraz0 xC &&& !!! yCz MW . (m)

Ponadto w ruchu p askim bry y (p. 5.3.8) pr#dko!& k"towa " jest prostopad a do p aszczyzny ruchu, czyli

0yx &"&" !! . (n)

Po uwzgl#dnieniu zale$no!ci (m) i (n) równania (7.93) redukuj" si# do trzech

dynamicznych równa' ruchu p askiego bry y.

zCzzyyCxxC M(I,Wma,Wma !!!!!!! &&& . (7.98)

Po wyra$eniu przy!pieszenia aC !rodka masy oraz wektora g ównego W

w nieruchomym uk adzie wspó rz#dnych x, y oraz uwzgl#dnieniu, $e

(wzór 5.63), równania (7.98) mo$na zapisa& nast#puj"co:

' '! &z

zCzyCyxCx M(I,Wma,Wma !! &&& . (7.99)

Poniewa$ wspó rz#dne przy!pieszenia !rodka masy C w nieruchomym uk adzie

wspó rz#dnych s" równe drugim pochodnym wzgl#dem czasu wspó rz#dnych xC i

yC, powy$szym równaniom mo$na nada& posta&

równa' ró$niczkowych po uwzgl#dnieniu drugiego wzoru (5.64):

zC2

2

zy

C

2

x2

C

2

M td

d I,W

td

yd m,W

td

xd m !! &

&& . (7.100)

Przyk ad 7.16. Na poziomym szorstkim stole znajduje si# szpula, której !rodek

masy C le$y na osi symetrii obrotu. Szpula ma mas# m oraz dwa promienie R i r.

Rysunek 7.30 przedstawia szpul# w rzucie na p aszczyzn# prostopad " do osi

symetrii. Moment bezw adno!ci wzgl#dem tej osi wynosi IC. Z obwodu

o promieniu r odwija si# ni&, do której ko'ca przy o$ono sta " si # poziom" P.

Wyznaczy& maksymaln" warto!& si y P = Pmax, pod wp ywem której szpula b#dzie

si# toczy& bez po!lizgu, je$eli wspó czynnik tarcia statycznego mi#dzy szpul" a

sto em jest równy (, a wspó czynnik tarcia tocznego f. Dla tego przypadku wyznaczy& przy!pieszenie osi szpuli aC.

docsity.com

Rozwi zanie. Na szpul#

dzia aj" dwie si y obci"$aj"ce:

si a ci#$aru szpuli G oraz si a P

powoduj"ca ruch szpuli. Reakcj#

sto u roz o$ono na si # tarcia T

skierowan" w kierunku

przeciwnym do kierunku ruchu

oraz reakcj# normaln" N

przesuni#t" w kierunku toczenia

szpuli o warto!& wspó czynnika

tarcia tocznego f (rys. 3.11b).

Rozwa$any ruch szpuli jest

ruchem p askim, zatem na

podstawie wzoru (7.99)

dynamiczne równania ruchu

szpuli b#d" nast#puj"ce :

y

x

O

f

PG

N T

C R

r aC

'

Rys. 7.30. Ruch szpuli z uwzgl#dnieniem oporu

toczenia

) *

) +

,

##&

#&

#&

.fNrPRT(I

,GN0

,TPam

C

C

(a)

Je$eli szpula toczy si# bez po!lizgu, to mi#dzy przy!pieszeniem !rodka szpuli i

przy!pieszeniem k"towym musi by& spe niona nast#puj"ca C zale$no!&

kinematyczna:

(Ra C & . (b)

Z drugiego z równa' (a) wynika, $e reakcja normalna jest równa ci#$arowi szpuli:

gmGN && , (c)

gdzie g jest przy!pieszeniem ziemskim.

Maksymaln" warto!& si y P otrzymamy, za o$ywszy, $e si a tarcia T jest

graniczn" si " tarcia o warto!ci (wzór 3.5):

gmµNµT && . (d)

Je$eli do pierwszego i trzeciego równania (a) podstawimy wzory (c) i (d), a w

trzecim uwzgl#dnimy zale$no!& (b), otrzymamy dwa równania:

docsity.com

)*

) + ,

##&

#&

.gmfrPRgmµ R

a I

,gmµPam

C

C

C

(e)

W równaniach tych mamy dwie niewiadome: maxC PPia & . W celu wyeliminowania przy!pieszenia podzielimy równania stronami i otrzymamy: aC

gmfrPRgmµ

gmµP

I

Rm

C ## #

& .

St"d

$ % rRmI

gmIµRmfRmµ PP

C

C

2

max -

-# && . (f)

Po podstawieniu tego wzoru do pierwszego równania (e) wyznaczymy

przy!pieszenie osi szpuli.

$ %. / rRmI

RgmfrR a

C

C - ##(

& . (g)

Z otrzymanego wzoru wynika, $e o! szpuli porusza si# ze sta ym przy!piesze-

niem, czyli ruchem jednostajnie przy!pieszonym. Czytelnikowi pozostawiamy

wyznaczenie równania ruchu $ % ?txx CC && dla warunków pocz"tkowych, np. dla 0vi0x,0t CC &&& .

docsity.com

komentarze (0)

Brak komentarzy

Bądź autorem pierwszego komentarza!

To jest jedynie podgląd.

3 shown on 21 pages

Pobierz dokument