Własności estymatorów - Notatki - Ekonometria , Notatki'z Ekonometria. University of Szczecin
Osholom
Osholom5 March 2013

Własności estymatorów - Notatki - Ekonometria , Notatki'z Ekonometria. University of Szczecin

PDF (192 KB)
4 strony
629Liczba odwiedzin
Opis
Notatki odnoszące się do ekonometrii: własności estymatorów: założenia klasycznej metody najmniejszych kwadratów do własności estymatorów.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 4
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 4 pages
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 4 pages
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 4 pages
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 4 pages
Pobierz dokument

WŁASNOŚCI ESTYMATORÓW

Estymator nieobciążony:

1. Jeśli jego wartość oczekiwana (nadzieja matematyczna) jest równa estymowanemu parametrowi E(a)=a

2. Dla Modelu danego jako y = Xa +  wektor parametrów strukturalnych dany jest jako a = (X’X)-1 X’Y

3. E(a) = E[(X’X)-1 X’Y] = E[(X’X)-1 X’ * (Xa + )]

4. Zakłada się, że zmienne objaśniające są nielosowe E()=0

5. Stąd estymator parametrów strukturalnych jest nieobciążony jeżeli:

a. Zmienne objaśniające są nielosowe – kowariancja składnika losowego nie zależy od zmiennych

objaśniających E(X)=0

b. Składnik losowy ma wartość oczekiwaną 0

Estymator Zgodny:

1. Estymator parametru  jest zgodny jeżeli jest stohastycznie zbieżny do szacowanego parametru . Oznacza

to, że przy wzroście liczby obserwacji do nieskończoności, jego wartość dąży stohastycznie do prawdziwej

wartości szacowanego parametru:

lim P{| a  a | }  1 n 

Jeżeli wraz ze wzrostem liczebności próby oczekiwana wartość rozkładu estymatora zmierza do wartości

szacowanego parametru, a jednocześnie wariancja estymatora zmierza do zera, to estymator taki jest zgodny

Estymator efektywny:

Przy danych kilku estymatorach zgodnych i nieobciążonych estymatorem najefektywniejszym jest ten, który posiada

najmniejszą wariancję.

Jeżeli spełnione są założenia KMNK (dotyczące składnika losowego oraz zmiennych objaśniających) to estymator a

= (X’X)-1 X’Y jest estymatorem najefektywniejszym spośród estymatorów liniowych, gdzie jego wariancja dana jest

następującą formułą:

D^(a) = ^ * (X’X)-1 jako macierz wariancji i kowariancji, na głównej przekątnej wariancje estymatorów, poza

nią kowariancje.

^ = S^(u)

Założenia klasycznej metody najmniejszych kwadratów do własności estymatorów:

1. Jeżeli zmienne objaśniające są współliniowe, to nie istnieje estymator dany formułą

a = (X’X)-1 X’Y, ponieważ nie istnieje macierz odwrotna do macierzy (X’X) to wyznacznik jest równy 0,

czyli det (X’X) = 0.

2. Jeżeli wariancja składnika losowego nie jest stała to:

a = (X’X)-1 X’Y jest nieobciążony, i zgodny, ale nie jest najefektywniejszy. Musi istnieć stałość wariancji w

czasie ^1 = ^2 . Często się rezygnuje z efektywności estymatora

3. Jeżeli składnik losowy jest zależny cov(t;t+1) różna od 0, a w zbiorze zmiennych objaśniających nie ma

zmiennej endogenicznej opóźnionej (1Yt-1)w czasie to a = (X’X) -1 X’Y jest nieobciążony i zgodny, ale nie

jest już najefektywniejszy

4. Jeżeli składnik losowy jest zależny [cov(t;t+1) różna od 0], a w zbiorze zmiennych objaśniających istnieje

zmienna endogeniczna opóźniona w czasie to:

a = (X’X)-1 X’Y nie jest zgodny

5. Jeżeli wariancja składnika losowego jest funkcją zmiennych objaśniających to estymator a = (X’X)-1 X’Y

nie jest zgodny.

Klasyczne założenia dotyczące składnika losowego:

Dana jest macierz wariancji i kowariancji składnika losowego:

 D^ (1 ) E (1 ) ... E(1 n ) 

 E (  )

D^ ( ) ... E(  ) 

docsity.com

E ( , ' )  



2 1

...

2

...

...

2 n

...  macierz kwadratowa i symetryczna





E ( n1 ) E( n 2 ) ... D^ ( n ) 

docsity.com



- jest kwadratowa i symetryczna

- na głównej przekątnej znajdują się wariancje składnika losowego poszczególnych

okresów (w przypadku serii czasowych), natomiast poza główną przekątną znajdują się

kowariancje między składnikami losowymi poszczególnych okresów.

Można wyróżnić 4 sytuacje związane z założeniami:

1. Spełnione założenie MNK

a. Wariancja jest jednorodna D^(1) = D^(2) =... = D^(n) = ^

b. Brak autokorelacji czyli składnik losowy jest niezależny E(t,t+1)=0

c. Macierz wariancji i kowariancji ma postać:

 2

 0

E ( , ' )  

 ...



0

 2

...

...

...

...

0 

0 

   2 In

... 



gdzie In to macierz jednostkowa

0 0 ...  2

2. Nie jest spełnione założenie o jednorodności wariancji składnika losowego

a. D^(1)  D^(2) ...  D^(n)  ^

b. Brak autokorelacji czyli składnik losowy jest niezależny E(t,t+1)=0

c. Wówczas macierz wariancji i kowariancji składnika losowego jest macierz diagonalna i ma postać:

D^ (1 ) 0 ... 0 



E ( , ' )  



0

...

D^ ( 2 )

...

...

...

0 



... 



 0 0 ... D^ ( n )

3. Jeżeli spełnione jest założenie o jednorodności wariancji składnika losowego, czyli (dzieli próbę na 2 części

i w obu wariancje będą równe):

a. D^(1) = D^(2) =... = D^(n) = ^

b. Składnik losowy jest zależny (występuje jego autokorelacja)

c. Wówczas macierz wariancji i kowariancji składnika losowego jest macierzą symetryczną i ma

postać:

 1  22 ... 1n 

 

E ( , ' )   21

1 ... 

2 n 

 ...



... 1 ... 



 1n  2 n ... 1 

docsity.com

współczynniki autokorelacji między składnikiem losowym i-tego i –tgo okresy.

4. Jeżeli nie jest spełnione założenie o jednorodności wariancji składnika losowego:

a. D^(1)  D^(2) ...  D^(n)  ^

b. Oraz nie jest jest spełnione założenie o braku korelacji, czyli występuje sytuacja, w której

E(12)

 0

c. Wówczas macierz wariancji i kowariancji składnika losowego jest macierzą

symetryczną i ma postać (tak jak w sytuacji 1).

Sytuacje 3 i 4 to tzw. „egzamin” dla modelu i nie jest zależne od naszych błędów.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 4 pages
Pobierz dokument