1.2 Badanie drgań tłumionych wahadła torsyjnego (M19), Notatki z Mechanika

Pobierz 1.2 Badanie drgań tłumionych wahadła torsyjnego (M19) i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity!

Badanie drgań tłumionych wahadła torsyjnego (M19) 15

1.2 Badanie drgań tłumionych wahadła torsyjnego (M19)

Celem ćwiczenia jest badanie małych drgań swobodnych i tłumionych wahadła torsyjnego oraz wyznaczenie parametrów drgań tłumionych dla różnych rodzajów tłu- mienia. Zagadnienia do przygotowania:

_- ruch harmoniczny: okres drgań, częstość drgań, wychylenie, amplituda;

• oscylator harmoniczny: równanie ruchu oscylatora harmonicznego, zależność am-_ _plitudy i okresu od czasu;
• oscylator harmoniczny tłumiony stałym momentem siły lub momentem siły za-_ leżnym od czasu: równanie ruchu, zależność amplitudy i okresu od czasu, loga- _rytmiczny dekrement tłumienia;
• dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej: moment bezwładności (definicja i wzo-_ ry na moment bezwładności kuli i pręta), twierdzenie Steinera, zasady dynamiki ruchu obrotowego bryły sztywnej, wahadło torsyjne. Literatura podstawowa: [25] §16.1-16.6, 16.8, [4]; literatura dodatkowa: [2], [10].

1.2.1 Podstawowe pojęcia i definicje

Drgania swobodne wahadła torsyjnego

We wszystkich działach fizyki, gdy mamy do czynienia z małymi drganiami układów wokół położenia równowagi, pojawia się pojęcie oscylatora harmonicznego. Oscylato- rem harmonicznym nazywamy ciało fizyczne (np. punkt materialny) poruszające się ruchem harmonicznym. Ruch harmoniczny jest periodycznym ruchem drgającym za- chodzącym między dwoma punktami zwrotnymi będącymi punktami maksymalnego wychylenia z położenia równowagi trwałej. Jeśli rozważymy punkt materialny, oscylują- cy wokół położenia równowagi, to zmianę jego energii potencjalnej w funkcji wychylenia opisuje równanie:

U (x) =

kx^2. (1.2.1)

Siłę działającą na tak oscylujący punkt materialny można wyrazić poprzez pochodną energii potencjalnej:

F (x) = − dU dx = −kx. (1.2.2)

Widać stąd, że działająca siła jest proporcjonalna do wychylenia z położenia rów- nowagi, ale ma zwrot do niego przeciwny. Możemy więc powiedzieć, że oscylatorem harmonicznym nazywamy punkt materialny, którego ruch odbywa się pod wpływem siły proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi, ale zwrocie do niego prze- ciwnym. Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona można zapisać:

16 Mechanika

F (x) = ma = mx,¨ (1.2.3)

gdzie a jest przyspieszeniem z jakim porusza się rozważane ciało o masie m. Porównując równania (1.2.2) i (1.2.3) otrzymujemy:

−kx = m¨x. (1.2.4)

Po przekształceniu otrzymuje się równanie ruchu prostego oscylatora harmonicznego w postaci:

x ¨ + k m

x = 0 (1.2.5)

Aby znaleźć położenie badanego układu w danej chwili należy znaleźć rozwiązanie tego równania różniczkowego. Rozwiązaniem musi być pewna funkcja x(t), której druga pochodna równa jest jej samej ze znakiem przeciwnym i stałym współczynnikiem k/m. Jak wiemy własność taką posiadają funkcje sinus i cosinus. Nie rezygnując z ogólności możemy więc przyjąć, że rozwiązanie ma postać:

x(t) = A cos(ω 0 t + δ) = A cos

2 π t T 0

• δ

Łatwo sprawdzić, że spełnia ono równanie ruchu (1.2.5) jeżeli ω 0 =

k/m. Wielkość ω 0 nazywamy częstością kołową (ω 0 = 2πf 0 , gdzie f 0 = 1/T 0 jest częstotliwością drgań, a T 0 jest okresem drgań), δ jest przesunięciem fazowym, a stała A określa amplitudę ruchu. Przesunięcie fazowe i amplituda zależą od początkowych wartości położenia i prędkości punktu materialnego, natomiast okres drgań zależy tylko od parametrów układu tworzącego oscylator harmoniczny:

T 0 = 2π

m k

Jak widać okres drgań harmonicznych jest niezależny od ich amplitudy (własność tę nazywamy izochronizmem). Zależność wychylenia od czasu trwania ruchu, opisaną równaniem (1.2.6), przedstawia rysunek 1.2.1. Właściwości układów drgających wykonujących drgania harmoniczne przeanalizu- jemy na przykładzie drgań torsyjnych kuli. Rozważmy kulę zawieszoną na sztywno zamocowanym drucie (rysunek 1.2.2). Jeśli skręcimy ją w płaszczyźnie poziomej z po- łożenia równowagi O do położenia B to drut ulegnie skręceniu i na kulę zacznie działać moment siły wywołany sprężystością drutu, który stara się przywrócić ją do położenia równowagi. Dla małego skręcenia przyjmujemy, że ten moment siły N 1 jest proporcjo- nalny do wartości kąta wychylenia z położenia równowagi ϕ i wyraża się równaniem:

N 1 = −D 1 ϕ. (1.2.8)

18 Mechanika

Wahadło torsyjne tłumione stałym momentem siły

Rozważmy teraz ruch wahadła torsyjnego tłumionego stałym momentem siły o war- tości N skierowanym przeciwnie do prędkości kątowej kuli (czyli moment siły wynosi −N ϕ/˙ | ϕ˙|). Przypadek taki ma miejsce między innymi podczas tłumienia drgań mecha- nicznych tarciem kulombowskim. Sytuację taką można zrealizować praktycznie pod- stawiając pod kulę metalową sprężynę. W przypadku tłumienia stałym momentem siły równanie ruchu przyjmuje postać:

J ϕ¨ = −D 1 ϕ − N ϕ˙ | ϕ˙|

Ogólnym rozwiązaniem równania (1.2.13) jest funkcja (dla uproszczenia przyjęto, że dla t = 0 wychylone wahadło spoczywa):

ϕ(t) = Φ cos (ω 0 t) + (^) DN 1 dla ϕ <˙ 0 ϕ(t) = Φ cos (ω 0 t) − (^) DN 1 dla ϕ >˙ 0

Okres drgań pozostaje niezmieniony w porównaniu z okresem drgań wahadła swobod- nego. Każde z rozwiązań jest słuszne pomiędzy dwoma kolejnymi punktami maksymal- nego wychylenia, w których wahadło się zatrzymuje. Oznacza to, że w ciągu połowy okresu ruch odbywa się harmonicznie, a maksymalne wychylenie jakie osiąga wahadło po połowie okresu stanowi warunki początkowe dla ruchu w następnej połowie okresu. Wraz z warunkiem na ciągłość funkcji ϕ(t) równanie (1.2.14) pozwala na otrzymanie ogólnego rozwiązania dla ruchu wahadła w czasie pomiędzy n i n + 1 maksymalnym wychyleniem (rysunek 1.2.3):

ϕ(t) = Φn cos (ω 0 t) + (−1)n^

N

D 1

gdzie kolejne amplitudy spełniają związek rekurencyjny:

Φn+1 = Φn −

2 N

D 1

Otrzymaną zależność kąta skręcenia ϕ od czasu t przedstawia rysunek 1.2.3. Korzy- stając z równania (1.2.16) można wyznaczyć różnicę amplitud ∆Φ w czasie równym jednemu okresowi drgań:

∆Φ = Φn − Φn+2 =

4 N

D 1

Badanie drgań wahadła torsyjnego tłumionych stałym momentem siły pozwala na wyznaczenie momentu siły tarcia ze związku:

N =

D 1 ∆Φ

Badanie drgań tłumionych wahadła torsyjnego (M19) 19

0 k¹t skrêcenia

j

DF =^4 DN 1

T 0 czas t

2 T 0

Fn

Fn+

Fn+

Rys. 1.2.3: Zależność kąta skręcenia ϕ od czasu t dla wahadła torsyjnego tłumionego stałym momentem siły.

Wahadało torsyjne tłumione momentem siły zależnym od czasu

W przypadku mechanicznych drgań ciała zanurzonego w lepkiej cieczy mamy do czynienia z tłumieniem momentem siły proporcjonalnym do prędkości ruchu i prze- ciwnie do niej skierowanym. Tarcie tego typu, zwane wiskotycznym, wnosi dodatkowy moment siły równy N 2 = −D 2 ϕ˙. Równanie takiego ruchu zapisujemy w postaci:

J ϕ¨ = −D 1 ϕ − D 2 ϕ.˙ (1.2.19)

Jeśli tłumienie jest zbyt duże to nie ma możliwości zaobserwowania oscylacji, gdyż wychylenie eksponencjalnie maleje do zera. Dla słabego tłumienia (D 2 małe) rozwią- zaniem powyższego równania ruchu jest funkcja:

ϕ (t) = Φe−Γt/^2 cos (ω 2 t + δ) = Φe−Γt/^2 cos

2 π t T 2

• δ

gdzie Γ = D 2 /J i ω^22 = D 1 /J − Γ^2 / 4. Zatem okres drgań T 2 wyrażony przez okres drgań wahadła swobodnego T 0 , wynosi:

T 2 =

T 0

1 − D^22 / 4 JD 1

W przypadku tłumienia momentem siły proporcjonalnym do prędkości okres drgań wydłuża się w porównaniu do okresu drgań swobodnych. Zależność kąta skręcenia ϕ od czasu t dla tłumienia wiskotycznego przedstawia rysunek 1.2.4. Wielkością charakterystyczną dla drgań tłumionych oporem wiskotycznym jest tak zwany logarytmiczny dekrement tłumienia d. Jest on w prosty sposób związany z pa- rametrami ruchu. Obliczmy stosunek dwóch kolejnych amplitud po tej samej stronie położenia równowagi:

Badanie drgań tłumionych wahadła torsyjnego (M19) 21

zwierciadło

kula

soczewka

skala

oświetlacz

x R

l

a

Rys. 1.2.5: Schemat układu do badania drgań wahadła torsyjnego.

wartości kąta skręcenia ϕ) możemy zastosować przybliżenie tg 2ϕ ≈ 2 ϕ i wobec tego ϕ ≈ x/ 2 l.

Przebieg doświadczenia

Kilkakrotnie zmierzyć suwmiarką średnicę kuli i oszacować niepewność pomiaru. Masa kuli podana jest przy zestawie pomiarowym. Zestawić układ eksperymentalny do badania drgań torsyjnych swobodnych (bez tłumienia) według schematu przed- stawionego na rysunku 1.2.5. Następnie, przy skrajnym położeniu rączki R, dobrać odpowiednio odległości i kąt nachylenia oświetlacza tak, aby uzyskać ostry obraz nici (pionowej linii zaznaczonej na okienku oświetlacza) na podziałce skali. W położeniu równowagi wahadła torsyjnego powinien on znajdować się możliwie blisko zera skali. Zmierzyć kilkakrotnie odległość skali od lusterka. Wprawić kulę w drgania torsyjne skręcając ją o niewielki kąt od położenia równo- wagi. Kulę należy wprowadzać w ruch obrotowy przy pomocy rączki R, przez prze- sunięcie jej ze skrajnego położenia (ruchem powolnym tak aby obraz nici pozostał na skali) i powrót do niego (ruchem szybkim). Zanotować kilkanaście wartości wychyleń po tej samej stronie położenia równowagi. Pomiar powtórzyć kilkakrotnie. Zmierzyć czas trwania dziesięciu kolejnych okresów drgań torsyjnych kuli. Pomiar powtórzyć dziesięciokrotnie. Zestawić układ do badania drgań torsyjnych tłumionych stałym momentem siły, wstawiając metalową sprężynę bezpośrednio pod kulę. Nacisk sprężyny dobrać tak, aby można było odczytać kilkanaście kolejnych wychyleń po tej samej stronie położenia równowagi. Przeprowadzić pomiary wychylenia i okresu tak, jak dla drgań swobodnych. Zestawić układ do badania drgań torsyjnych tłumionych oporem lepkościowym. W tym celu usunąć sprężynę, a kulę umieścić w zlewce z gliceryną. Głębokość zanu-

22 Mechanika

rzenia kuli dobrać tak, aby można było odczytać kilkanaście kolejnych wychyleń po tej samej stronie położenia równowagi. Pomiary wychylenia i okresu przeprowadzić tak, jak dla drgań swobodnych.

1.2.3 Opracowanie wyników

W przypadku drgań torsyjnych nietłumionych wykonać wykres zależności ampli- tudy od czasu (dla kilku punktów zaznaczyć prostokąty niepewności pomiarowych). Obliczyć okres drgań wahadła i oszacować jego niepewność pomiarową (metodą naj- mniejszych kwadratów). Obliczyć moment bezwładności wahadła, a następnie moment kierujący D 1. Oszacować ich niepewności pomiarowe (metodą różniczki zupełnej lub metodą pochodnej logarytmicznej). W przypadku drgań torsyjnych tłumionych stałym momentem siły (tarciem ku- lombowskim) wykonać wykres zależności amplitudy od czasu. Obliczyć okres drgań wahadła (wraz z niepewnością pomiarową), porównać go z wartością otrzymaną dla wahadła nietłumionego. Wyznaczyć średnią różnicę dwóch kolejnych amplitud, a na- stępnie korzystając z wzoru (1.2.18) obliczyć moment siły tarcia i jego niepewność pomiarową (metodą różniczki zupełnej lub metodą pochodnej logarytmicznej). W przypadku tłumienia oporem wiskotycznym sporządzić wykres zależności am- plitudy od czasu oraz zależności logarytmu amplitudy od czasu. Obliczyć okres drgań wahadła, logarytmiczny dekrement tłumienia oraz współczynnik D 2. Sprawdzić, czy okres drgań wyznaczony eksperymentalnie jest zgodny z wartością obliczoną na pod- stawie wzoru (1.2.21).