Politechnika Białostocka
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze
kierunek: Automatyka i Robotyka rok ak. 2009/2010
Oznaczenia: N={1,2,3,...}Natural
Z={0,±1,±2,±3,...}Zahl
Q=(p
q:p, q ∈Z∧q6= 0)Quotient
R= zbiór liczb rzeczywistych. Real
1 Przekształcenia wyrażeń algebraicznych, wzory skró-
conego mnożenia.
Definicja 1.1. Wyrażeniem algebraicznym nazywamy jedną lub kilka wielkości algebraicznych:
liczb, symboli literowych, połączonych znakami działań, takimi jak dodawanie „+”, odejmowanie
„−”, mnożenie „·”, dzielenie „:”, potęgowanie „(·)n”, pierwiastkowanie „ n
√·” itp. oraz różnego
rodzaju nawiasami. Nawiasy pozwalają ustalić kolejność wykonywania działań arytmetycznych.
Przykłady wyrażeń algebraicznych: a2−3
b−a,√a+√b2
a−b,√x+ 1
x√x+x+√x:1
x2−√x.
Definicja 1.2. Tożsamość algebraiczna to taka równość dwu wyrażeń algebraicznych, że po
wstawieniu dowolnych wartości liczbowych w miejsce symboli literowych równość jest prawdziwa.
Podstawowe tożsamości algebraiczne - WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA:
(a±b)2=a2±2ab +b2(1)
(a±b)3=a3±3a2b+ 3ab2±b3(2)
(a+b+c)2=a2+b2+c2+ 2ab + 2ac + 2bc (3)
a2−b2= (a−b)(a+b) (4)
a3−b3= (a−b)(a2+ab +b2) (5)
a3+b3= (a+b)(a2−ab +b2) (6)
a4−b4= (a−b)(a+b)(a2+b2) (7)
an−bn= (a−b)(an−1+an−2b+···+abn−2+bn−1), n > 1, n ∈N(8)
(a+b)n=
n
X
k=0 n
k!an−kbk,gdzie n∈N, n
k!=n!
(n−k)!k!.(9)
Definicja 1.3. Przekształceniem tożsamościowym nazywamy dowolne przekształcenie danego
wyrażenia algebraicznego, które produkuje wyrażenie tożsamościowo mu równe.
Przekształceniem wyrażeń algebraicznych nazywamy sprowadzenie ich do równoważnych (na ogół
prostszych) postaci, np. w celu skrócenia danego wyrażenia, usunięcia niewymierności z mi-
anownika itp.:
a(a−b)−a2
ab −a2=b
a−b,√a
√a−√b=√a√a+√b
a−b.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
1
