Pobierz 11. Analiza danych jakosciowych i więcej Egzaminy w PDF z Analiza danych tylko na Docsity!
11. Analiza danych jako´sciowych
11.1 Porównywanie rozkładów dyskretnych
Du˙zo czasu sp˛edzili´smy nad tworzeniem testów i metod, które działaj ˛a przy zało˙zeniu pewnego rozkładu np. rozkładu normalnego. Jak ju˙z wiesz mo˙zemy sprawdzi´c ten warunek na histogramie lub, nawet lepiej, na wykresie kwantylowym. Jednak˙ze interpretacja takich wykresów jest rzecz ˛a dyskusyjn ˛a, w szczególno´sci w przypadkach granicznych jeden analityk mo˙ze uzna´c ˙ze zało˙zenie jest spełnione, a drugi ˙ze nie. Było to odrobin˛e subiektywne i nie byli´smy w stanie tego sprawdzi´c w sposób formalny. Na tych laboratoriach poznajemy testy do analizowania danych jako´sciowych, za- cznijmy wi˛ec od testu, który pozwala nam na sprawdzenie czy otrzymane dane maj ˛a okre´slony (oczywi´scie dyskretny) rozkład.
11.1.1 Test χ^2 (zgodno´s ´c z rozkładem)
Porównywanie rozkładów, oprócz sprawdzenia jaki´s warunków testów czy potwierdzania skuteczno´sci działania jakiej´s metody, mo˙ze by´c tak˙ze celem samym w sobie. Na przykładu wiele lat temu w Ameryce, kiedy dochodziło do ró˙znych przejawów rasizmu, stwierdzono, ze w wi˛˙ ezieniach osadza si˛e du˙zo ludzi o czarnym kolorze skóry, bo wyroki s ˛a niesłusznie wydawane na korzy´s´c białych obywateli. Krytykowano wymiar sprawiedliwo´sci, poniewa˙z uwa˙zano ˙ze w´sród osób uprawnionych do zasiadania w ławie przysi˛egłych, a wi˛ec i wydawania wyroków, była wi˛ekszo´s´c białych! Ławy przysi˛egłych nie reprezentowały wi˛ec całego społecze´nstwa, ale cz˛esto interesy białych. W takiej sytuacji chcieliby´smy porówna´c czy osoby uprawnione do zasiadania w ławie przysi˛egłych s ˛a prób ˛a losow ˛a pochodz ˛ac ˛a z dyskretnego rozkładu prawdopodobie´nstwa zdefiniowanego na kolorze skóry wszystkich mieszka´nców USA. Patrz ˛ac na populacj˛e USA (mamy o niej informacj˛e z tzw. spisów powszechnych) wiemy ile procent mieszka´nców nale˙zy do rasy białych, czarnych, latynoskiej itd. Wiemy wi˛ec jaki jest rozkład kolorów skóry w tej populacji i chcemy sprawdzi´c czy kolor skóry w´sród przysi˛egłych jest taki
2 Laboratorium 11. Analiza danych jako´sciowych
sam.
Przykład 11.1 Pobrano prób˛e losow ˛a prost ˛a z ludzi zasiadaj ˛acych w ławie przysi˛egłych, a nast˛epnie zliczono ich pod wzgl˛edem koloru skóry^1. Charakterystyk˛e próbki opisuje poni˙zsza tabela:
Biały Czarny Latynos Inny Suma Próba losowa (obserwowane) 205 26 25 19 275
Ze spisu powszechnego w populacji USA wiemy, ˙ze rozkład tej zmiennej wygl ˛ada nast˛e- puj ˛aco: Biały Czarny Latynos Inny Suma Rozkład prawdopodobie´nstwa 0.72 0.07 0.12 0.09 1. Je˙zeli próba miałaby rzeczywi´scie taki rozkład jak w tabelce wy˙zej to ilu przysi˛egłych z ka˙zdej rasy by´smy si˛e spodziewali w próbie o liczno´sci n = 275? Oczywi´scie b˛edzie to liczba obserwacji pomno˙zona przez prawdopodobie´nstwo^2. Dla przykładu spodziewaliby- ´smy si˛e, ˙ze w próbie o rozmiarze n = 275 b˛edzie 275 · 0. 72 = 198 białych.
Biały Czarny Latynos Inny Suma Rozkład prawdopodobie´nstwa 0.72 0.07 0.12 0.09 1. Warto´sci oczekiwane dla n = 275 198 19.25 33 24.75 275
! Zwró´c uwag˛e, ˙ze w tabelce mamy liczby niecałkowite i jest to w tym przypadku zupełnie poprawne! Zawsze natomiast sprawd´z czy suma wszystkich pół równa si˛e tyle samo w warto´sciach oczekiwanych i w warto´sciach uzyskanych z próby.
Zestawmy teraz otrzymane przez nas warto´sci oczekiwane z tym co rzeczywi´scie mamy w próbie.
Biały Czarny Latynos Inny Suma Próba losowa (obserwowane) 205 26 25 19 275 Warto´sci oczekiwane dla n = 275 198 19.25 33 24.75 275
Czy tego typu odchylenia mogły wzi ˛a´c si˛e z przypadku? Tj. wynikaj ˛a tylko z tego, ˙ze próba jest losowa? Sformułujmy hipotezy:
H 0 : rozkłady s ˛a takie same (nic si˛e nie dzieje)
H 1 : rozkłady s ˛a ró˙zne
oraz przyjmijmy próg istotno´sci α = 0 .05.
(^1) Zadanie pochodzi z [1] (^2) Pami˛etasz wzór na warto´s´c oczekiwan ˛a w rozkładzie binomialnym? E X = np. Sukces definiujemy tutaj jako wylosowanie konkretnej rasy, a jako pora˙zk˛e wylosowanie dowolnej innej. W rzeczywisto´sci korzystamy z rozkładu multinomialnego, który jest poza zakresem kursu.
4 Laboratorium 11. Analiza danych jako´sciowych
Rysunek 11.1: Przy testach χ^2 interesuje nas prawdopodobie´nstwo w prawym ogonie rozkładu
albo dlatego, ˙ze test miał zbyt mał ˛a moc (np. zbyt mała próba)! Prawdopodobnie przedział ufno´sci na ró˙znic˛e pomi˛edzy [p 1 , p 2 , ...] a [p^01 , p^02 , ...] miałby tu wi˛ekszy sens [3].
! Na kolokwium nie bawimy si˛e (niestety?) w takie filozofowanie ;)
11.1.2 Dlaczego χ^2?
Podobnie jak w przypadku testu na korelacj˛e, nie b˛edziemy wyprowadza´c całego testu od pocz ˛atku, a wyprowadzimy go sobie tak troch˛e od ko´nca, w celu zdobycia intuicji sk ˛ad on si˛e bierze. Gdyby´smy porównywali rozkład zmiennej binarnej tj. zmiennej o dwóch mo˙zliwych warto´sciach to, oczywi´scie mogliby´smy wykona´c test χ^2 , ale mogliby´smy te˙z zauwa˙zy´c, ˙ze zeby porówna´˙ c cały rozkład wystarczy porówna´c jedn ˛a proporcj˛e (prawdopodobie´nstwo). Dlaczego? No bo drugie prawdopodobie´nstwo to po prostu 1 − p, je´sli wi˛ec wiemy ˙ze p s ˛a równe to 1 − p te˙z s ˛a równe! Jednak˙ze dla zaprezentowanej sytuacji znamy ju˙z od dawna test na proporcj˛e: test Z. Poka˙zemy, ˙ze test ten jest szczególnym przykładem testu χ^2 dla binarnej zmiennej dyskretnej. Przypomnijmy sobie, ˙ze statystyka testowa w te´scie Z dla proporcji wygl ˛adała nast˛epu- j ˛aco: Z =
n+ − np √ np( 1 − p)
gdzie p to było prawdopodobie´nstwo wynikaj ˛ace z hipotezy zerowej, n+ to liczba sukcesów. Oczywi´scie, n to liczba obserwacji i n = n+ + n− czyli liczba pora˙zek plus liczba sukcesów. Jak pewnie pami˛etasz warunkiem stosowalno´sci tego testu było u˙zycie Centralnego Twierdzenia Granicznego, aby zastosowa´c rozkład normalny dla sumy zmiennej losowych. U˙zywali´smy wtedy heurystycznej zasady: oczekiwana liczba sukcesów i oczekiwana liczba pora˙zek musi by´c wi˛eksza ni˙z 5. Zauwa˙z, ˙ze jest to dokładnie to samo zało˙zenie jak zało˙zenie testu χ^2! Przypadek? Nie s ˛adz˛e.... Rozpiszmy wi˛ec wzór statystyki χ^2 dla naszego konkretnego przypadku (statystyka
11.1 Porównywanie rozkładów dyskretnych 5
b˛edzie miała 1 stopie´n swobody).
χ^2 = (^) ∑ i
(Oi − Ei)^2 Ei
(n+ − np+)^2 np+
(n− − np−)^2 np−
W przypadku u˙zywania rozkładu dwupunktowego zwykle oznaczali´smy prawdopodobie´n- stwo sukcesu jako p, a prawdopodobie´nstwo pora˙zki jako ( 1 − p) - powró´cmy do tych oznacze´n.
χ^2 =
(n+ − np)^2 np
(n− − n( 1 − p))^2 n( 1 − p)
[n = n+ + n− czyli n− = n − n+ ]
(n+ − np)^2 np
(n − n+ − n( 1 − p))^2 n( 1 − p)
[przemnó˙z nawias]
(n+ − np)^2 np
(n − n+ − n + np)^2 n( 1 − p)
[skró´c n]
(n+ − np)^2 np
(−n+ + np)^2 n( 1 − p)
(n+ − np)^2 np
(n+ − np)^2 n( 1 − p)
[ł ˛aczymy ułamek]
(n+ − np)^2 ( 1 − p) + (n+ − np)^2 p np( 1 − p)
(n+ − np)^2 ( 1 − p + p) np( 1 − p)
(n+ − np)^2 np( 1 − p)
Jak widzisz po prostych przekształceniach dostali´smy wzór na statystyk˛e χ^2 , który jest taki sam jak wzór na Z^2 w te´scie w rozkładzie dwupunktowym.
Cwiczenie 11.1^ ´ Wykonaj ´cwiczenie 1, 2 i 3 z karty pracy.
11.1.3 Zastosowanie: wykrywanie j ˛ezyka
Warto w tym miejscu wspomnie´c, ˙ze porównywanie ze sob ˛a dwóch rozkładów ma du˙ze znaczenie praktyczne. W szczególno´sci warto wspomnie´c o problemie wykrywania j˛e- zyka (ang. language identification, language guessing). W praktyce taki system widzimy np. w systemie Google Translate gdzie istnieje opcja „Wykryj j˛ezyk”. Po wpisaniu (zawsze prawdziwego) zdania „Kocham statystyk˛e!” system automatycznie ustala j˛ezyk na j˛ezyk polski i tłumaczy go na wybrany inny j˛ezyk. Problem polega wi˛ec na automatycznym wykryciu j˛ezyka danego dokumentu np. strony internetowej czy ksi ˛a˙zki. Okazuje si˛e, ˙ze mo˙zna to bardzo prosto zrobi´c wykorzystuj ˛ac test χ^2 oraz rozkład liter! Ka˙zdy j˛ezyk ma swoj ˛a specyfik˛e i tak np. w j˛ezyku angielskim ok. 9% znaków w tek´scie to litera „t” (zgadnij dlaczego: pomy´sl sobie o takim słówku jak „the” i jak cz˛esto ono wyst˛epuje) podczas gdy w j˛ezyku polskim to zaledwie 2%. Oczywi´scie, porównywanie cz˛estotliwo´sci wyst˛epowania jednej litery to zdecydowanie za mało (litera „t” wyst˛epuje równie˙z w j˛ezyku tureckim z prawdopodobie´nstwem 2%), ale gdy porównamy cały rozkład liter^4 to mo˙zemy całkiem nie´zle okre´sli´c j˛ezyk dokumentu. Budowa rozkładu liter w tek´scie polega na zliczaniu ich wyst˛epowaniu w danym dokumencie (zakładam, ˙ze wiesz jak to zrobi´c ;), nast˛epnie z Internetu mo˙zna pobra´c
(^4) W praktyce budujemy rozkłady 3-literowych zlepek liter – patrz implementacja w Apache Tika
11.2 Testowanie niezale˙zno´sci zmiennych 7
Mo˙zemy te˙z to obliczy´c innym sposobem: estymujemy z danych, ˙ze
P(dziecko pali) =
P(obydwoje rodzice pal ˛a) =
Jakie jest wi˛ec prawdopodobie´nstwo, ˙ze dziecko pali i miało obydwu pal ˛acych rodzi- ców P(dziecko pali, obydwoje rodzice pal ˛a), korzystaj ˛ac z hipotezy zerowej mówi ˛acej o niezale˙zno´sci? Skoro zmienne s ˛a niezale˙zne to wiemy, ˙ze rozkład ł ˛aczny jest po prostu przemno˙zeniem prawdopodobie´nstw pojedynczej zmiennej^7!
P(dziecko pali, obydwoje rodzice pal ˛a) =
Skoro tak to korzystamy ze wzoru np na warto´s´c oczekiwan ˛a i otrzymujemy
1780 · 1004 53752
Zauwa˙z, ˙ze całe te obliczenia sprowadziły si˛e do prostego wyliczenia: suma w wierszu razy suma w kolumnie przez liczb˛e obserwacji. W ten sposób mo˙zemy wypełni´c cał ˛a tabel˛e warto´sci oczekiwanych
dziecko/ rodzice oboje pal ˛a jedno pali nie pal ˛a suma pali 332,49 418,22 253,29 1004 nie pai 1447,51 1820,78 1102,71 4371 suma 1780 2239 1356 5375
! Zawsze sprawdzaj swoj ˛a tablic˛e warto´sci oczekiwanych poprzez sprawdzenie czy sumy w wierszach i kolumnach si˛e nie zmieniły!
Dalej wystarczy obliczy´c warto´s´c statystyki testowej
χ^2 =
k ∑ i= 1
w ∑ j= 1
(Oi j − Ei j)^2 Ei j
Statystyka ta jednak nie b˛edzie miała ju˙z, jak poprzednio, k − 1 stopni swobody, bo musimy jeszcze jako´s wzi ˛a´c pod uwag˛e liczb˛e wierszy. Skoro w kolumnach mamy k − 1 stopni swobody, a w wierszach w − 1 to razem b˛edziemy mieli (k − 1 )(w − 1 ) stopni swobody. Zauwa˙z, ˙ze mamy k · w składników w statystyce χ^2 (ka˙zdy składnik d ˛a˙zy przy du˙zym rozmiarze próby do Z^2 ), ale np. znaj ˛ac liczb˛e obserwacji w wierszu to po zobaczeniu w − 1 zawarto´sci komórek tabeli dokładnie wiemy ile b˛edzie wynosiła ta ostatnia (tracimy niezale˙zno´s´c). Z tego powodu tracimy jeden stopie´n swobody – analogiczne rozumowanie mo˙zna zaaplikowa´c do kolumn. Po sprawdzeniu w lub w tabelach statystycznych okazuje si˛e, ˙ze p-warto´s´c jest mniejsza ni˙z 0 , 001 , a wi˛ec odrzucamy hipotez˛e zerow ˛a i akceptujemy alternatyw˛e. Palenie dzieci jest zale˙zne od tego czy rodzice pal ˛a (nie okre´slili´smy jednak relacji przyczynowo- skutkowej).
(^7) Dla zmiennych niezale˙znych P(A, B) = P(A)P(B).
8 Laboratorium 11. Analiza danych jako´sciowych
Cwiczenie 11.2^ ´ Wska˙z tablice kontyngencji, które pokazuj ˛a zmienne zale˙zne i nieza- le˙zne w ´cwiczeniu 4 na karcie pracy. Oblicz dla nich warto´s´c statystyki χ^2.
Definicja 11.2 — Test na niezale˙zno´s ´c χ^2. Hipoteza zerowa: zmienne s ˛a niezale˙zne Hipoteza alternatywna: zmienne s ˛a zale˙zne Zało˙zenia: próba losowa prosta (niezale˙zne obserwacje, w szczególno´sci brak wielokrotnego wyboru: 1 obserwacja zwi˛eksza licznik tylko w jednej komórce tabeli kontyngencji) i ∀i, jEi j > 5. Statystyka testowa: χ^2 = (^) ∑ki= 1 ∑wj= 1 (Oi j−Ei j)^2 Ei j o rozkładzie^ χ
(^2) z (k − 1 ) · (w − 1 )
stopniami swobody, gdzie Ei j = (suma w i-tym wierszu)suma·(suma w j-tej kolumnie) , a k to liczba kolumn i w to liczba wierszy.
Cwiczenie 11.3^ ´ Wykonaj ´cwiczenie 5 na karcie pracy.
Cwiczenie 11.4^ ´ Wykonaj ´cwiczenie 6 na karcie pracy.
11.2.2 Zastosowanie: wyszukiwarka kolokacji
Jednym z zastosowa´n testu χ^2 na niezale˙zno´s´c zmiennych jest automatyczne wykrywa- nie kolokacji pomi˛edzy słowami. Chcieliby´smy wykry´c cz˛este kolokacje przymiotnika „kosmiczny” np. „prom kosmiczny”, „statek kosmiczny” czy „teleskop kosmiczny” albo przymiotnika „bezczelny” („bezczelny smarkacz”, ”wyj ˛atkowo bezczelny”). Jednak do dyspozycji mamy jedynie bardzo du˙z ˛a kolekcj˛e tekstów w j˛ezyku polskim. Oczywi´scie to czego potrzebujemy to miara zwi ˛azku zale˙zno´sci mi˛edzy wyst˛epowa- niem poszczególnych słów. Je´sli słowa s ˛a mocno (pozytywnie) zale˙zne, a ich współwy- st˛epowania nie mo˙zna wyja´sni´c losowo´sci ˛a w zbiorze danych to jest to silna przesłanka ze słowa ł ˛˙ acznie wyst˛epuj ˛a znacznie cz˛e´sciej ni˙z ka˙zdy z osobna. Czyli wykryli´smy kolokacj˛e. Jak skonstruowa´c macierz dla takiego testu? Przede wszystkim zdefiniujmy najpierw zmienne których u˙zyjemy w te´scie na niezale˙zno´s´c. U˙zyjemy tutaj przykładu „bezczelny smarkacz”. Rozwa˙zamy wszystkie pary wyst˛epuj ˛acych obok siebie słów (X,Y ) (profe- sjonalnie tak ˛a par˛e nazywamy bigramem), gdzie X = 1 je˙zeli losowe słowo jest słowem „bezczelny” i X = 0 w przeciwnym przypadku. Analogicznie, Y = 1 je˙zeli drugim losowym słowem w parze jest „smarkacz”. Interesuje nas czy podana para zmiennych jest od siebie zale˙zna to znaczy czy np. wiedz ˛ac, ˙ze pierwszym słowem w parze jest „bezczelny” (X = 1 ) mo˙zemy powie- dzie´c ˙ze prawdopodobie´nstwo Y = 1 jest wi˛eksze/mniejsze ni˙z zwykle (konkretnie czy P(Y |X = 1 ) = P(Y )). Teraz konstrukcja macierzy jest ju˙z raczej oczywista:
X/Y 1 0 0 Ile jest par (¬ bezczelny, ¬smarkacz) Ile jest par (¬ bezczelny, smarkacz) 1 Ile jest par ( bezczelny, ¬smarkacz) Ile jest par (bezczelny, smarkacz)
Przykład 11.3 Rozwa˙z bardzo mały zbiór tekstów: „Bezczelny smarkacz! Jak ´smiał?”,
10 Laboratorium 11. Analiza danych jako´sciowych
otrzymaniem 0 przez drug ˛a zmienn ˛aa. aWzór nie jest taki skomplikowany jak si˛e wydaje: w liczniku masz mno˙zenie po przek ˛atnych, a mianownik to mno˙zenie sumy w pierwszym wierszu razy suma w drugim wierszu razy suma w pierwszej kolumnie razy suma w drugiej. Obydwa wzory daj ˛a t˛e sam ˛a warto´s´c bezwzgl˛edn ˛a, jednak druga definicja pozwala tak˙ze na warto´sci ujemne. Z tego powodu w literaturze mo˙zna znale´z´c informacj˛e, ˙ze współczynnik ten przyjmuje warto´sci od -1 do 1 (analogiczny zakres warto´sci z korelacj ˛a Pearson’a), a czasami ˙ze od 0 do 1. Współczynnik Yule’a w tej drugiej definicji jest o tyle ciekawy, ˙ze ma on bezpo´sredni ˛a zale˙zno´s´c pomi˛edzy omawianymi tutaj współczynnikami miar zale˙zno´sci mi˛edzy zmien- nymi nominalnymi a współczynnikiem korelacji. Dlaczego? Poniewa˙z współczynnik ten jest to˙zsamy z współczynnikiem korelacji Pearson’a policzonym dla dwóch zmiennych binarnych. Wynikaj ˛a z tego analogiczne zasady interpretacji: 0 oznacza niezale˙zno´s´c, warto´s´c 1 oznacza idealn ˛a bezpo´sredni ˛a relacj˛e, a warto´s´c − 1 idealn ˛a relacj˛e przeciwn ˛a. Za- uwa˙z, ˙ze zmiana zakodowania warto´sci binarnej (inne okre´slenie sukcesu) zmieni znak współczynnik Yule’a. Przykład 11.4 — * Równowa˙zno´s ´c φ Yule’a i korelacji Pearson’a dla zmiennych binarnych. Mamy dwie zmienne binarne X i Y zaobserwowali´smy:
X 1,1,0,0,1, Y 0,0,1,1,1,
Utworzona z tych obserwacji tabela kontyngencji wygl ˛ada nast˛epuj ˛aco:
X/ Y 0 1 0 1 2 1 2 1
! U˙zywamy tutaj^ χ
(^2) jako miar˛e zale˙zno´sci, nie jako test statystyczny nie musimy wi˛ec sprawdza´c warunków testu.
Sumy w wierszach i kolumnach s ˛a takie same i wynosz ˛a 3, w w zwi ˛azku z tym warto´sci oczekiwane w ka˙zdej z komórek wynosz ˛a 36 ·^3 = 1 , 5. W zwi ˛azku z tym χ^2 =
2 (^1 −^1 ,^5 )
2 1 , 5 +^2
( 2 − 1 , 5 )^2 1 , 5 =^
1 1 , 5 =^
2 3 , a współczynnik Yule’a^ φ^ =
3 6 =
1 9 =^
1
Przejd´zmy do obliczenia korelacji Pearson’a: x¯ = 0. 5 , y¯ = 0. 5 , s^2 X = 0. 3 , s^2 Y = 0. 3 czyli
r =
n − 1
∑(x^ −^ x¯)(y^ −^ y¯) √ s^2 x · s Y^2
11.3 Miary siły zale˙zno´sci zmiennych nominalnych 11
Mam nadziej˛e, ˙ze nie umkn ˛ał Twojej uwadze fakt, ˙ze współczynnik Yule’a mo˙zna obliczy´c jedynie dla zmiennych binarnych. Nawet przy korzystaniu ze wzoru ze statystyk ˛a χ^2 , dla zmiennych niebinarnych współczynnik ten mo˙ze osi ˛aga´c warto´sci wi˛eksze ni˙z 1, co znacznie utrudnia jego interpretacj˛e. Innym pomysłem mierzenia zale˙zno´sci jest współczynnik kontyngencji C Pearson’a. Definicja 11.4 — Współczynnik kontyngencji C Pearson’a. Współczynnik kontyn- gencji C Pearson’a jest wyra˙zony wzorem
C =
χ^2 χ^2 + n
Miara ta przyjmuje warto´sci od 0 (niezale˙zno´s´c dwóch zmiennych) do prawie 1 (bardzo silna zale˙zno´s´c). Współczynnik ten jest odporny na zmian˛e skali, to jest je˙zeli rozmiar próbki si˛e zwi˛ekszy, warto´s´c współczynnika kontyngencji Pearson’a nie zmieni si˛e dopóki warto´sci w tabeli b˛ed ˛a proporcjonalnie takie same.
Problemem tego współczynnika jednak jest jego zakres warto´sci jest on od 0 do prawie 1 - dokładnie
min(k− 1 ,w− 1 ) 1 +min(k− 1 ,w− 1 ). Czyli np. dla zmiennej binarnej i zmiennej o 3 warto´sciach warto´s´c maksymalna tego współczynnika to
min( 2 − 1 , 3 − 1 ) 1 +min( 2 − 1 , 3 − 1 ) =
1 2 =^0.^7071. Konieczno´s´c obliczania warto´sci maksymalnej i brak mo˙zliwo´sci porównywania wyników współczynnika C dla par zmiennych o ro˙znej liczbie warto´sci uznawane s ˛a za wady tej miary. Definicja 11.5 — Współczynnik V Cramera. Współczynnik V Cramera jest miar ˛a zale˙zno´sci mi˛edzy dwiema nominalnymi zmiennymi i jest wyra˙zony wzorem:
V =
χ^2 n · min(k − 1 , r − 1 )
Współczynnik V Cramera (podobnie jak współczynnik C) jest miar ˛a symetryczn ˛a: nie wa˙zne która zmienna jest w wierszach czy w kolumnach, równie˙z kolejno´s´c kolumn/wier- szy nie ma znaczenia, a wi˛ec miara ta nadaje si˛e do danych nominalnych (nie jest konieczne uporz ˛adkowanie). Przyjmuje ona warto´sci od 0 (brak zale˙zno´sci) do 1 (całkowita zale˙zno´s´c, znaj ˛ac warto´s´c pierwszej zmiennej znamy warto´s´c drugiej). Co wynika bezpo´srednio ze wzoru, dla tabel kontyngencji 2x2 jest on równowa˙zny współczynnikowi φ Yule’a.
Jednak˙ze, w miar˛e jak ro´snie liczba komórek w tabelce zwykle ro´snie te˙z warto´s´c statystyki χ^2 (jest wi˛ecej składników w sumie). Im wi˛eksza jest wi˛ec ró˙znica pomi˛edzy liczb ˛a kolumn i liczb ˛a wierszy tym szybciej warto´s´c współczynnika V b˛edzie rosła do 1, pomimo braku silnych przesłanek za znacz ˛ac ˛a korelacj ˛a. Miara te nie jest wi˛ec idealna i definiuje si˛e bardziej zaawansowane miary, cz˛esto nie oparte o statystyk˛e χ^2 np. λ Goodmana i Kruskala.
Cwiczenie 11.5^ ´ Wykonaj ´cwiczenie 7 na karcie pracy.
