Docsity
Docsity

Przygotuj się do egzaminów
Przygotuj się do egzaminów

Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity


Otrzymaj punkty, aby pobrać
Otrzymaj punkty, aby pobrać

Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium


Informacje i wskazówki
Informacje i wskazówki

12. działanie momentu skręcającego, Ćwiczenia z Mechanika

Podstawy teorii skręcania swobodnego prętów sprężystych. Rozważmy jednorodny, izotropowy, liniowo-sprężysty pręt pryzmatyczny poddany czystemu skręca-.

Typologia: Ćwiczenia

2022/2023

Załadowany 23.02.2023

Glass_Duo
Glass_Duo 🇵🇱

4.5

(21)

240 dokumenty

Podgląd częściowego tekstu

Pobierz 12. działanie momentu skręcającego i więcej Ćwiczenia w PDF z Mechanika tylko na Docsity! Część 2 12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 1 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r. Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna 12 DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 12.1. ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE 12.1.1. Podstawy teorii skręcania swobodnego prętów sprężystych Rozważmy jednorodny, izotropowy, liniowo-sprężysty pręt pryzmatyczny poddany czystemu skręca- niu (rys. 12.1). Problem skręcania rozwiążemy w sposób wskazany w 1855 roku przez de Saint-Venanta. Przyjmujemy mianowicie, że przekroje pręta nie ulegają odkształceniom postaciowym, tzn. w procesie deformacji zachowują swój pierwotny kształt. Zgodnie z powyższą hipotezą kinematyczną dwa przekroje oddalone od siebie o x1 obracają się względem siebie wokół podłużnej osi pręta o kąt skręcenia ψ. Uwzględnimy jednak możliwość deplanacji (spaczenia) przekrojów, które przed odkształceniem były płaskie. Dopuszczamy więc możliwość wystąpienia przemieszczeń u1 wzdłuż osi pręta x1. Okazuje się, że przy powyższych założeniach uzyskuje się ścisłe rozwiązanie problemu skręcania na gruncie teorii sprę- żystości. Rys. 12.1 Zasadnicze rozważania przeprowadzimy w zapisie wskaźnikowym. Z podanych wyżej założeń kine- matycznych dla bardzo małych wartości kąta skręcenia wynikają następujące związki: ( )u t x x u x x x u x x x 1 2 3 2 3 1 3 3 2 1 2 = ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = ⋅ = ⋅ θ ψ θ ψ θ , , . , (12.1) gdzie t(x2, x3) jest tzw. funkcją deplanacji, kąt θ ψ= d dx/ 1 i nazywa się jednostkowym kątem skręcenia. Ponieważ pręt jest jednorodny i pryzmatyczny, więc podczas czystego skręcania (M = const) jednostko- wy kat skręcenia ma wartość stałą θ ψ= ( ) /l l , gdzie l jest długością pręta. Rozważany problem nosi nazwę skręcania swobodnego. Określenie to wiąże się z założeniem, że wszystkie przekroje pręta mają swobodę deplanacji. Dlatego rozwiązanie tak sformułowanego zagadnie- nia ma charakter przybliżony. W praktyce istnieje wiele takich przypadków, w których skręcanie swo- bodne nie występuje. Mamy tu na myśli np. pełne utwierdzenie pręta na podporze, gdzie przekrój musi Część 2 12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 2 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r. Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna pozostać płaski, tzn. u1 = 0. Podobna sytuacja występuje w środkowym przekroju pręta, który jest obcią- żony skupionym momentem skręcającym w połowie długości. W tych przypadkach powinno się stosować teorię skręcania nieswobodnego. W praktyce efekty skręcania nieswobodnego trzeba uwzględniać tylko w przekrojach cienkościennych. Problematykę tę omówimy w rozdziale 13. (por. również p. 12.1.6). Wzory (12.1) pozwalają obliczyć odkształcenia ze związków geometrycznych (por. wzór (2.6)): ( ) ( ) ε ε ε ε ε θ ε θ 11 22 33 23 12 2 3 13 3 2 0 1 2 1 2 = = = = = ⋅ − = ⋅ +         , , , , . t x t x (12.2) Stan odkształcenia obrazuje macierz: e =           0 0 0 0 0 12 13 21 31 ε ε ε ε . (12.2a) Z kolei ze związków fizycznych (wzory (5.4)) otrzymujemy naprężenia: σ σ σ σ σ θ σ θ 11 22 33 23 12 2 3 13 3 2 0= = = = = ⋅ − = ⋅ −     , ( , ), ( , ), G t x G t x (12.3) a macierz naprężeń przyjmuje postać: s =           0 0 0 0 0 12 13 21 31 σ σ σ σ . (12.3a) Wykorzystamy jeszcze równania różniczkowe równowagi naprężeń (wzór (1.9)) dla pręta nieważkie- go (Gi = 0): σ ji j, = 0 : σ σ σ σ σ σ σ σ σ 11 1 21 2 31 3 12 1 22 2 32 3 13 1 23 2 33 3 0 0 0 , , , , , , , , , , , , + + = + + = + + =      które po uwzględnieniu równań (12.3) prowadzą do zależności: σ σ σ σ 21 2 31 3 12 1 13 1 0 0 0 , , , , , , . + = = =      (12.4) Równania (12.4)2 i (12.4)3 są spełnione tożsamościowo. Pozostaje więc tylko równanie (12.4)1. Po pod- stawieniu wzoru (12.3) do (12.4)1 otrzymujemy równanie różniczkowe Laplace'a na funkcję deplanacji: t t, ,22 33 0+ = lub ∇ = ∇ = +2 2 2 2 2 2 3 20t x x , . gdzie ∂ ∂ ∂ ∂ (12.5) Funkcja deplanacji t(x2, x3) jest więc funkcją harmoniczną. Część 2 12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 5 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r. Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna skąd σ σ 12 13 2 3 = dx dx . Z ostatniej zależności (por. rys. 12.3c) wynikają następujące wnioski: − wektor naprężenia t1 = σ12·e2 + σ13·e3 jest w każdym punkcie styczny do warstwicy F(x2,x3) = const; warstwice funkcji F są więc trajektoriami naprężeń stycznych, − wartość wypadkowego naprężenia stycznego obliczona z zależności ( ) ( )τ σ σ1 12 2 13 2 3 2 2 2= + = +F F, , pozwala traktować to naprężenie jako moduł gradientu funkcji naprężeń F, τ1 = grad( )F . Jeśli uda się nam wyznaczyć funkcję naprężeń, możemy obliczyć jednostkowy kąt skręcenia z definicji momentu skręcającego: ( ) ( )M = ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ = = − − ∫∫ ∫∫ σ σ13 2 12 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 3 2 3 x x dA F x F x dA F x dx dx F x dx dx AA AA , , , , . Po wykonaniu całkowania przez części oraz uwzględnieniu, że Fc = 0 otrzymujemy: ( )M = ∫2 2 3F x x dA A , . (12.10) Moment skręcający równa się więc podwójnej objętości ograniczonej powierzchnią F(x2, x3) oraz płasz- czyzną przekroju. Jeżeli do rozwiązania stosujemy funkcję deplanacji t(x2, x3), a nie funkcję naprężeń F(x2, x3), to waru- nek brzegowy (12.8) po wykorzystaniu równań (12.3) prowadzi do zależności: ( ) ( )t x n t x n, , .2 3 2 3 2 3 0− + + = (12.11) Funkcja t(x2,x3) musi być tak obrana, by na konturze przekroju spełniała warunek (12.11). Drugi sposób rozwiązania problemu skręcania polega więc na wyznaczeniu funkcji deplanacji t(x2, x3), która spełnia równanie Laplace'a (12.5) i warunek brzegowy (12.11) w każdym punkcie konturu przekroju. 12.1.2. Skręcanie pręta o przekroju eliptycznym Kontur przekroju pręta jest opisany równaniem: (a) y a z b 2 2 2 2 1 0+ − = , gdzie a i b (a ≥ b) są głównymi osiami sprzężonymi elipsy (por. rys. 12.4). Rys. 12.4 Część 2 12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 6 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r. Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna Zastosujemy funkcję naprężeń o następującej postaci: (b) ( )F y z m y a z b , ,= ⋅ + −       2 2 2 2 1 gdzie m jest pewną stałą. Z budowy wzoru (b) wynika, że warunek brzegowy na konturze przekroju jest spełniony (Fc = 0). Stałą m obliczymy przez podstawienie funkcji F(y, z) do równania różniczkowego (12.7): ∇ = +    = −2 2 22 1 1 2F m a b Gθ , skąd m G a b a b = − ⋅ + θ 2 2 2 2 . Wobec tego (c) F y z G a b a b y a z b ( , ) .= − ⋅ + ⋅ + −      θ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 Na podstawie wzoru (12.10) otrzymujemy: M = = + − −         = = + − −    ∫ ∫∫∫2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 FdA G a b a b dA a y dA b z dA d G a b a b A a J b J A AAA z y θ θ( ) . Dla elipsy momenty bezwładności Jy i Jz oraz pole przekroju wynoszą: J b a J ba A aby z= = =1 4 1 4 3 3π π π, , , co po podstawieniu do równania (d) prowadzi do zależności: (e) M = + ⋅ πa b a b G 3 3 2 2 θ . Gdy uwzględnimy wartość iloczynu Gθ obliczoną ze wzoru (e), to na podstawie wzoru (c) otrzymamy ostateczną postać funkcji naprężeń F(y, z) : (f) F y z ab y a z b ( , ) .= − + −       M π 2 2 2 2 1 Naprężenia styczne zmieniają się liniowo. Wynika to z zależności (12.6): (g) τ ∂ ∂ τ ∂ ∂ xy xz F z ab z F y a b y = = − ⋅ = − = ⋅       2 2 3 3 M M π π , . Dosyć istotne dla dalszych rozważań jest to, że moment skręcający przenoszony przez naprężenia τxy jest równy M/ 2 . Taką samą część momentu przenoszą oczywiście naprężenia τxz. Wniosek ten wynika z następującego obliczenia: (h) ( ) ( ) M M M M M M M M ( ) z xz xz z AA y xy xy y AA y dA a b y dA a b J z dA a b z dA ab J τ τ τ τ = ⋅ = = ⋅ = = − ⋅ = = ⋅ =        ∫∫ ∫∫ 2 2 1 2 2 2 1 2 3 2 3 3 2 3 π π π π , .( ) Część 2 12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 7 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r. Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna Warto również zwrócić uwagę, że pola każdego z wykresów naprężeń wypadkowych τ x są zawsze jed- nakowe A a b a ab b abxτ = ⋅ = ⋅ =2 2 2 22 2 M M M π π π . Największe naprężenia występują więc w punktach konturu leżących najbliżej środka ciężkości przekroju (tzn. w punktach B i D na rys. 12.5). Ponieważ a ≥ b, więc (i) τ x sab Wmax ,= =2 2 M M π gdzie W abs = π 2 2/ i oznacza tutaj tzw. wskaźnik wytrzymałości na skręcanie. Aby wyznaczyć przemieszczenia, trzeba określić funkcję deplanacji t(y, z). Funkcję tę najwygodniej obliczymy z jednego z równań (12.3): ∂ ∂ τ θ θ t y G z G ab z z a b a b zxy= + = − ⋅ + = − − + ⋅2 3 2 2 2 2 M π . Po scałkowaniu tego równania otrzymamy: t y z a b a b yz C( , ) .= − − + ⋅ + 2 2 2 2 Stałą C wyznaczymy z uwzględnieniem wymagania, by punkty leżące na osi pręta nie doznawały prze- mieszczeń. Inaczej mówiąc przyjmujemy, że oś pręta nie wydłuża się i nie skraca. Mamy więc t(0,0) = 0, skąd C = 0. (j) t y z a b a b yz( , ) = − − + ⋅ 2 2 2 2 . Z równania (e) można obliczyć jednostkowy kąt skręcenia: (k) ( ) θ = +    M G a b a bπ 3 3 2 2/ , a ze wzorów (12.1) współrzędne wektora przemieszczenia: (l) ( ) ( ) ( ) u u t G a b a b yz u v x x G a b a b xz u w x x G a b a b xy 1 3 3 2 2 2 1 3 3 3 2 2 3 1 2 3 3 2 2 = = ⋅ = − −    ⋅ = = − ⋅ = − +    ⋅ = = ⋅ = +    ⋅              θ θ θ M M M π π π / , / , / . Rys. 12.5 Część 2 12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 10 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r. Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna Naprężenia obliczymy z zależności (12.6): (p) ( ) ( ) τ ∂ ∂ θ τ ∂ ∂ θ xy xz F z m y a z G a y a z F y m y a y z G a y a z = = − − = + ⋅ − = − = − + ⋅ −     = + −           18 3 3 9 3 2 3 3 2 2 3 2 2 2 2 , . Po podstawieniu zależności (o) naprężenia określają są wzory: (q) ( ) ( ) ( ) ( ) τ τ xy s xz s aJ y a z a y a z a J y a y z a y a y z = − = − = + ⋅ −    = + ⋅ −            M M M M 3 3 5 3 3 2 2 3 2 5 2 3 5 2 2 5 2 2 / , / . Wykresy naprężeń stycznych przedstawia rys. 12.7b. Maksymalne naprężenia styczne występują w punk- tach leżących najbliżej środka ciężkości (punkty A, B, C): (r) τ τx xz s s a W W a max , , .=     = = 3 0 2 5 3M Naprężenia w narożach są równe zeru. Pola wykresów wypadkowego naprężenia stycznego τx, odniesio- nych do dowolnej linii wychodzącej ze środka ciężkości przekroju, są takie same. Dla przykładu wzdłuż linii z = 0 pole dodatnich naprężeń τx = τxz odłożone na odcinku OA jest równe polu ujemnych naprężeń odłożonych na odcinku OD. Deplanację wyznacza się identycznie jak dla przekroju eliptycznego, a odpowiednie równanie funkcji t(y, z) jest następujące: (s) t y z a y z z( , ) .= −       ⋅ 3 2 3 2 2 Warstwice funkcji u(y, z) = θ⋅t(y, z) podano na rys. 12.7a. 12.1.5. Obliczanie naprężeń i kąta skręcania dla prętów o dowolnym przekroju. Przekrój prostokątny Dla prętów o dowolnym przekroju rozwiązanie ścisłe uzyskuje się za pomocą szeregów Fouriera. Istnieją również przybliżone metody wyznaczania funkcji naprężeń lub funkcji deplanacji. Na uwagę zasługuje również metoda różnic skończonych omówiona w dodatku. Bardzo dobre rezultaty daje przy- bliżona teoria skręcania swobodnego zbudowana na podstawie teorii płyt grubych [12,36]. Poza tym in- formacji o charakterze rozkładu naprężeń dostarczają analogie błonowa i hydrodynamiczna. Omówimy je w p. 12.2. Z punktu widzenia projektanta istotne jest wyznaczenie największego naprężenia stycznego |τx max | oraz jednostkowego kąta skręcania. Ogólnie biorąc, wartości te oblicza się według wzorów: τ x sWmax = M , (12.16) θ = M GJs . (12.17) Wskaźniki wytrzymałości na skręcanie Ws oraz momenty bezwładności na skręcanie Js dla różnych przekrojów zawierają poradniki i tablice do projektowania konstrukcji. Warunek wytrzymałościowy po- lega na spełnieniu nierówności: σ τ σred dop= ≤3 x max , Część 2 12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 11 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r. Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna skąd τ τx max ,≤ dop gdzie dop dop dopτ σ σ= ≈ ⋅1 3 0 6, , (12.18) przy czym σdop oznacza naprężenie dopuszczalne przy rozciąganiu (ściskaniu), a τdop − dopuszczalne naprężenia przy ścinaniu. Warunek sztywnościowy polega na ograniczeniu mak- symalnego całkowitego kąta skręcenia ψ : ψ θ ψ= ≤∫ ( )s ds s dop . (12.19) W praktyce poza przekrojami kołowym i pierścieniowym najczęściej stosujemy prostokątny przekrój pręta, dla którego obowiązują następujące zależności przybliżone: (t) J b n n W n n J b n h b s s s = − +    = + + ⋅ = >        1 3 0 63 0 052 1 0 35 1 4 4 3 3 , , , , , .przy czym Rys. 12.8 Rozkłady naprężeń ilustruje rys. 12.8, a deformacje pręta skręcanego o przekroju prostokątnym − rys. 12.9. Największe naprężenie styczne występuje na konturze przekroju w punkcie A, usytuowanym najbliżej środka przekroju, tzn. w połowie dłuższego boku. Interesujące jest, że dla 1 1 4513≤ <h b/ , funkcja deplanacji t(y, z) wykazuje cztery obszary wartości dodatnich i cztery obszary wartości ujem- nych, natomiast dla h b/ ,> 1 451 występują − podobnie jak w elipsie − po dwa takie obszary. Część 2 12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 12 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r. Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna Rys. 12.9 12.1.6. Uwagi o skręcaniu nieswobodnym Jeżeli choć jeden przekrój pręta niekołowego pozostaje płaski, to stan naprężenia w pręcie skręcanym różni się od podanego w poprzednich punktach i odpowiada skręcaniu nieswobodnemu. Dla ilustracji omówimy przykład pręta prostokątnego, w którym z warunku symetrii przekrój x = 0 pozostaje płaski (rys. 12.10). Rys. 12.10