Pobierz 8. Pochodna funkcji i więcej Streszczenia w PDF z Matematyka tylko na Docsity!

MATEMATYKA 1 71

8. Pochodna funkcji

8.1. Pochodna i jej interpretacja geometryczna.

Definicja 8.1. Niech f bÍdzie funkcjπ okreúlonπ w otoczeniu ustalonego punktu x 0

œ R. Wyraøenie

f ( x 0

• h ) ≠ f ( x 0

h

okreúlone dla dostatecznie ma≥ych |h| ” = 0, nazywamy ilorazem róønicowym funkcji f w punk-

cie x 0

. Jeøeli istnieje skoÒczona granica ilorazu róønicowego przy h æ 0, to nazywamy jπ pochodnπ

funkcji f w punkcie x 0

i oznaczamy

(72) lim

hæ 0

f ( x 0 + h ) ≠ f ( x 0 )

h

= f

Õ

( x 0 )

O funkcji f mówimy wówczas, øe jest róøniczkowalna w punkcie x 0

Interpretacja geometryczna pochodnej. Rozwaømy wykres pewnej funkcji f przedstawiony na

Rysunku 42. Poprowadümy przez punkty P 0 = ( x 0 , f ( x 0 )) oraz Ph = ( x 0 + h, f ( x 0 + h )) prostπ

Rysunek 42. Interpretacja geometryczna pochodnej pewnej funkcji f ( x ).

(zwanπ siecznπ wykresu ) i oznaczmy przez – h

kπt miÍdzy dodatniπ pó≥osiπ x -ów a siecznπ P 0

P

h

tzn. kπt, o jaki naleøy obróciÊ dodatniπ pó≥oú x -ów, aby przyjÍ≥a po≥oøenie równoleg≥e do siecznej

(przypominamy, øe kπt – h

ma miarÍ dodatniπ, gdy obracamy w kierunku przeciwnym do ruchu

wskaz ˙owek zegara oraz miarÍ ujemnπ, gdy obrót jest zgodny z ruchem wskazówek zegara). Graniczne

po≥oøenie siecznej P 0

P

h

gdy h æ 0 nazywamy stycznπ do wykresu funkcji f w punkcie P 0

Jeøeli przez – oznaczymy kπt miÍdzy dodatniπ pó≥osiπ x -ów a stycznπ, to ze wzoru (72) wynika, øe

f

Õ ( x 0

) = tg –.

Twierdzenie 8.1. Jeøeli funkcja f jest róøniczkowalna w punkcie x 0 to jest w tym punkcie ciπg≥a.

Przyk≥ad 8.1. Niech

f ( x ) = |x|.

Funkcja |x| jest ciπg≥a w punkcie x 0

= 0 (por. Przyk≥ad 6.15) ale nie jest w tym punkcie róønicz-

kowalna. Istotnie, zbadajmy wartoúÊ ilorazu róønicowego tej funkcji przy h æ 0:

f ( x 0

• h ) ≠ f ( x 0

h

|x 0

• h| ≠ |x 0

h

| 0 + h| ≠ | 0 |

h

|h|

h

1 dla h > 0

≠ 1 dla h < 0

72 DR KATARZYNA SZULC

Rysunek 43. Wykres funkcji f ( x ) = |x|.

Zatem nie istnieje jednoznaczna granica ilorazu róønicowego funkcji f ( x ) = |x| w punkcie x 0

= 0 a

wiÍc funkcja ta nie jest róøniczkowalna w zerze. Ponadto z Rysunku 43 widaÊ, øe w punkcie (0 , 0)

nie istnieje styczna do wykresu funkcji.

8.2. Dzia≥ania na funkcjach róøniczkowalnych. W dalszej czÍúci wyk≥adu bÍdziemy zak≥adali,

øe funkcje f, g sπ okreúlone w pewnym otoczeniu punktu x 0

œ R.

Twierdzenie 8.2 (o pochodnych sumy, róønicy i iloczynu). Jeøeli funkcje f, g sπ róøniczkowalne

w punkcie x 0

oraz c œ R jest sta≥π, to funkcje

f + g, f ≠ g, cf, f · g

sπ równieø róøniczkowalne w punkcie x 0

oraz zachodzπ wzory:

( f + g )

Õ ( x 0

) = f

Õ ( x 0

) + g

Õ ( x 0

( f ≠ g )

Õ ( x 0

) = f

Õ ( x 0

) ≠ g

Õ ( x 0

( cf )

Õ ( x 0

) = cf

Õ ( x 0

( f g )

Õ ( x 0

) = f

Õ ( x 0

) g ( x 0

) + f ( x 0

) g

Õ ( x 0

Twierdzenie 8.3 (o pochodnej ilorazu). Jeøeli funkcje f, g sπ róøniczkowalne w punkcie x 0 oraz

g ( x 0 ) ” = 0 to

f

g

Õ

( x 0 ) =

f

Õ ( x 0

) g ( x 0

) ≠ f ( x 0

) g

Õ ( x 0

[ g ( x 0 )]

2

Twierdzenie 8.4 (o pochodnej funkcji z≥oøonej). Zak≥adamy, øe

(i) funkcja f jest okreúlona w otoczeniu punktu x 0 œ R ,

(ii) funkcja g jest okreúlona w otoczeniu punktu y 0 = f ( x 0 ) ,

(iii) f jest róøniczkowalna w punkcie x 0 ,

(iv) g jest róøniczkowalna w punkcie y 0 ,

Wówczas funkcja

h = f ¶ g

jest róøniczkowalna w punkcie x 0

oraz

h

Õ ( x 0

) = g

Õ ( f ( x 0

)) · f

Õ ( x 0

74 DR KATARZYNA SZULC

7. Funkcja logarytmiczna

f ( x ) = log a

x, f

Õ ( x ) =

x ln a

f ( x ) = ln x, f

Õ ( x ) =

x

8. Funkcje cyklometryczne

f ( x ) = arc sin x, f

Õ

( x ) =

Ô

1 ≠ x

2

, dla ≠ 1 < x < 1 ,

f ( x ) = arc cos x, f

Õ ( x ) =

Ô

1 ≠ x

2

, dla ≠ 1 < x < 1 ,

f ( x ) = arc tg x, f

Õ ( x ) =

1 + x

2

, dla x œ R

f ( x ) = arc ctg x, f

Õ ( x ) =

1 + x

2

, dla x œ R

Przyk≥ad 8.2. Wyznaczymy pochodnπ funkcji

f ( x ) =

x

n

, n œ N , x ” = 0_._

Pochodnπ tÍ moøna obliczyÊ dwoma sposobami:

1 sposób. Zapiszmy funkcje f w postaci

f ( x ) = x

≠n

wówczas, korzystajπc ze wzoru na pochodnπ funkcji potÍgowej o wyk≥adniku naturalnym

otrzymamy

f

Õ

( x ) = ≠nx

≠n≠ 1

=

≠n

x

n +

2 sposób. Moøna zastosowaÊ wzór na pochodnπ ilorazu i wówczas dostaniemy

f

Õ ( x ) =

0 · x

n ≠ 1 · nx

n≠ 1

( x

n )

2

≠nx

n≠ 1

x

2 n

= ≠nx

n≠ 1 ≠ 2 n = ≠nx

≠n≠ 1

≠n

x

n +

Przyk≥ad 8.3. Obliczymy teraz pochodnπ funkcji

f ( x ) = e

cos x .

Jest to funkcja z≥oøona f ( x ) = g ( h ( x )) gdzie funkcjπ zewnÍtrznπ jest g ( x ) = e

x a funkcjπ wewn-

tÍtrznπ jest h ( x ) = cos x. Korzystajπc z twierdzenia o pochodnej funkcji z≥oøonej otrzymamy:

f

Õ ( x ) = ( e

cos x )

Õ

· (cos x )

Õ = e

cos x · ( ≠ sin x ) = ≠e

cos x sin x

8.4. Ekstrema funkcji.

Definicja 8.2. Niech f bÍdzie funkcjπ okreúlonπ w pewnym otoczeniu U punktu x 0 œ R. Mówimy,

øe funkcja f ma

maksimum (lokalne) w punkcie x 0 , jeøeli

f ( x ) ˛ f ( x 0 ) dla kaødego x œ U ;

minimum (lokalne) w punkcie x 0

, jeøeli

f ( x ) ˇ f ( x 0

) dla kaødego x œ U.

Mówimy, øe funkcja f ma w punkcie x 0

extremum (lokalne) , jeøeli ma w tym punkcie maksimum

(lokalne) lub minimum (lokalne).

MATEMATYKA 1 75

Uwaga 8.2. Terminów maksimum lokalne i minimum lokalne uøywa siÍ dla podkreúlenia, øe chodzi

o zachowanie siÍ funkcji w pewnym otoczeniu punktu x 0. Dla najwiÍkszej i najmniejszej wartoúci

funkcji w ca≥ym przedziale, czyli jej kresu górnego i dolnego uøywa siÍ nazwy maksimum globalne i

minimum globalne

Przyk≥ad 8.4. Niech

f ( x ) =

Y

_

_

_

_

_

_

]

_

_

_

_

_

_

[

5 x dla 0 ˛ x ˛ 1 ,

8 ≠ 3 x dla 1 < x ˛ 2 ,

2 dla 2 < x ˛ 3 ,

x ≠ 1 dla 3 < x ˛ 4 ,

11 ≠ 2 x dla 4 < x ˛ 5 ,

5 x ≠ 24 dla 5 < x ˛ 6_._

Funkcja f ma maksima lokalne w punktach x = 1, x = 4, natomiast minima lokalne znajdujπ

Rysunek 44. Wykres funkcji f ( x ).

siÍ w punkcie x = 5 oraz w przedziale x œ [2; 3]. Zauwaømy, øe funkcja f jest ciπg≥a w przedziale

domkniÍtym [0; 6], wobec tego zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa osiπga w tym przedziale swoje

kresy: dolny w punkcie x = 0 oraz górny w punkcie x = 6, oraz

m = 0 = f (0) , M = 6 = f (6).

Punkty x = 0 i x = 6 nie sπ jednak punktami ekstremalnymi, gdyø funkcja f nie jest okreúlona w

ich otoczeniu.

Twierdzenie 8.6. Niech f bÍdzie funkcjπ okreúlonπ w otoczeniu punktu x 0_. Jeøeli f ma w punkcie_

x 0 ekstremum i jest w tym punkcie róøniczkowalna, to

f

Õ ( x 0 ) = 0_._

8.5. Znak pochodnej a monotonicznoúÊ funkcji.

Twierdzenie 8.7. Niech f bÍdzie funkcjπ róøniczkowalnπ w przedziale ( a, b ) (ograniczonym lub

nie). Wówczas

(i) f

Õ ( x ) = 0 dla x œ ( a, b ) to f jest funkcjπ sta≥π,

(ii) f

Õ ( x ) ˇ 0 dla x œ ( a, b ) to f jest funkcjπ rosnπcπ w przedziale ( a, b ) ,

(iii) f

Õ ( x ) > 0 dla x œ ( a, b ) to f jest funkcjπ úciúle rosnπcπ w przedziale ( a, b ) ,

(iv) f

Õ ( x ) ˛ 0 dla x œ ( a, b ) to f jest funkcjπ malejπcπ w przedziale ( a, b ).

(v) f

Õ ( x ) < 0 dla x œ ( a, b ) to f jest funkcjπ úciúle malejπcπ w przedziale ( a, b ) ,

MATEMATYKA 1 77

(iii) lim

xæŒ

f ( x ) = lim

xæŒ

g ( x ) = Œ.

Wówczas

(76) lim

xæŒ

f ( x )

g ( x )

= lim

xæŒ

f

Õ ( x )

g

Õ ( x )

o ile istnieje granica po prawej stronie wzoru (76) (skoÒczona lub niew≥aúciwa).

Przyk≥ad 8.7. Obliczymy

lim

xæŒ

ln x

x

Mamy tu nieoznaczonoúÊ typu

Œ

Œ

. Funkcje f ( x ) = ln x oraz g ( x ) = x spe≥niajπ za≥oøenia twierdzenia

8.10, zatem

lim

xæŒ

ln x

x

= lim

xæŒ

1

x

= lim

xæŒ

x

8.7. Zastosowanie pochodnej do badania ekstremów funkcji.

Przyk≥ad 8.8. Niech

f ( x ) = x

2 e

≠x

2

, x œ R_._

Zbadamy ekstrema funkcji f i narysujemy jej wykres. Zaczynamy od zróøniczkowania funkcji f i

znalezienia punktów, w których pochodna jest równa zeru. Mamy zgodnie z regu≥π róøniczkowania

iloczynu:

f

Õ ( x ) = 2 xe

≠x

2

• x

2 ( ≠ 2 x ) e

≠x

2

= 2 x (1 ≠ x

2 ) e

≠x

2

Poniewaø dla dowolnego x œ R

e

≠x

2

to równanie

f

Õ ( x ) = 0

jest równowaøne równaniu

2 x (1 ≠ x

2 ) = 0 ,

którego pierwiastkami sπ

x 1 = ≠ 1 , x 2 = 0 , x 3 = 1

Rysunek 45. Zmiana znaku wartoúci funkcji f

Õ ( x ).

78 DR KATARZYNA SZULC

Wobec tego

f

Õ ( x ) > 0 dla x < ≠ 1 oraz 0 < x < 1 ,

f

Õ ( x ) < 0 dla ≠ 1 < x < 0 oraz x > 1_._

Zatem zgodnie z twierdzeniem 8.7 f jest úciúle rosnπca w przedzia≥ach ( ≠Œ, ≠ 1], [0 , 1] oraz jest

úciúle malejπca w przedzia≥ach [ ≠ 1 , 0], [1 , Œ )

1

. Widzimy zatem, øe funkcja f ma maksimum lokalne

w punktach x = ≠ 1, x = 1 oraz minimum lokalne w punkcie x = 0, przy czym

f (0) = 0 , f ( ≠ 1) = f (1) =

e

Ponadto, przy x æ ±Œ mamy

lim

xæŒ

f ( x ) = lim

xæŒ

x

2 e

≠x

2

= lim

xæŒ

x

2

e

x

2

= lim

xæŒ

2 ⇢ x

2 ⇢ xe

x

2

= lim

xæŒ

e

x

2

= 0 = lim

xæ≠Œ

f ( x ).

Wykres funkcji przedstawia Rysunek 46. Zauwaømy, øe funkcja f jest parzysta a wiÍc jej wykres

Rysunek 46. Wykres funkcji f ( x ) = x

2 e

≠x

2

.

jest symetryczny wzglÍdem osi y -ów.

8.8. Zadania.

Zadanie 8.1. ObliczyÊ pochodnπ funkcji

f ( x ) = x

7

• 4 x

5

• 13 x

4

1. ≠ x + 19. f ( x ) =

1

3

x

3 ≠

3

2

x

4

13

5

x

5 ≠ 2 x

6

2..

f ( x ) = 5 x

15 ≠ x

2

1

3

3. x ≠ 2. f ( x ) =

x

3

f ( x ) = 9 x

7

• 3 x

≠ 5 ≠ 3 x

≠ 11

5.. f ( x ) =

4 x

5 ≠ 2

Ô

f ( x ) =

4 x

7

• 3 x

5 ≠ 2 x

4

• 7 x ≠ 2

3 x

4

7.. f ( x ) = 2

x + 1

x ≠ 1

f ( x ) = 4 x

3

Ô

9. x. f ( x ) =

3 x

2 ≠ 4 x

3

Ô

x

2

Ô

x

1 Zapisujπc przedzia≥y monotonicznoúci funkcji naleøy pamiÍtaÊ aby nie ≥πczyÊ ich znakiem sumy zbiorów ” fi ”

gdyø moøe to prowadziÊ do b≥Ídu. Istotnie, rozwaømy funkcjÍ postaci f ( x ) =

1

x

, która jest malejπca w przedzia≥ach

( ≠Œ, 0) oraz (0 , Œ ) ale nie jest malejπca w ( ≠Œ, 0) fi (0 , Œ ) bo biorπc x 1

< 0 < x 2

mamy f ( x 1

) < f ( x 2

) co przeczy

definicji funkcji malejπcej.