Algebra liniowa: Wyznaczniki, macierze odwrotne i wartości własne, Notatki z Algebra

Pobierz Algebra liniowa: Wyznaczniki, macierze odwrotne i wartości własne i więcej Notatki w PDF z Algebra tylko na Docsity!

Algebra

notatki do przedmiotu

Edycja 2018/

• I Algebra Liniowa
• 1 Ciała, przestrzenie liniowe, liniowa niezależność, eliminacja Gaußa
  • 1.1 Ciała
  • 1.2 Przestrzenie liniowe
  • 1.3 Podprzestrzenie liniowe
  • 1.4 Kombinacje liniowe wektorów
  • 1.5 Liniowa niezależność wektorów.
  • 1.6 Metoda eliminacja Gaußa.
• 2 Baza przestrzeni liniowej, wymiar
  • 2.1 Baza przestrzeni liniowej
  • 2.2 Wyrażanie wektora w bazie
    • 2.2.1 Baza standardowa
  • 2.3 Wymiar przestrzeni liniowej
  • 2.4 Zastosowanie eliminacji Gaussa do liczenia wymiaru
  • 2.5 Warstwy
• 3 Przekształcenia liniowe
  • 3.1 Przekształcenia liniowe
  • 3.2 Jądro i obraz przekształcenia liniowego
• 4 Macierze
  • 4.1 Podstawowe operacje na macierzach
    • 4.1.1 Ważne i ciekawe macierze
    • 4.1.2 Zestawianie macierzy
    • 4.1.3 Mnożenie macierzy
    • 4.1.4 Transpozycja
  • 4.2 Wartości na wektorach jednostkowych
  • 4.3 Operacje elementarne
  • 4.4 Przekształcenie liniowe dla macierzy
  • 4.5 Rząd macierzy
  • 4.6 Obliczanie bazy jądra przekształcenia
  • 4.7 Macierz odwrotna
    • 4.7.1 Metoda algorytmiczna obliczania macierzy odwrotnej
  • 4.8 Jeszcze o eliminacji Gaußa
• 5 Przekształcenia liniowe i macierze
  • 5.1 Wyrażanie przekształcenia liniowego w bazie
  • 5.2 Macierz zmiany bazy
• 6 Wyznacznik
  • 6.1 Wyznacznik
  • 6.2 Własności i metody obliczania wyznacznika
  • 6.3 Wyznacznik a macierz odwrotna
  • 6.4 Wyznacznik przekształcenia 4 SPIS TREŚCI
• 7 Układy równań liniowych i ich rozwiązywanie
  • 7.1 Bazowy przypadek: n zmiennych, n równań, macierz odwracalna
  • 7.2 Ogólne układy równań liniowych
    • 7.2.1 Układy jednorodne
    • 7.2.2 Układy niejednorodne
  • 7.3 Metoda eliminacji Gaussa
• 8 Wartości własne
  • 8.1 Wartość własna, wektor własny
  • 8.2 Macierze podobne
  • 8.3 Wielomian charakterystyczny
  • 8.4 Krotności: algebraiczna i geometryczna.
  • 8.5 Przestrzenie niezmiennicze
  • 8.6 Macierze diagonalizowalne, przekształcenia diagonalne
  • 8.7 Macierz Jordana
  • 8.8 Macierze symetryczne
• 9 PageRank
  • 9.1 Macierze sąsiedztwa, ranking
  • 9.2 Macierze dodatnie, PageRank
  • 9.3 Grafy spójne
  • 9.4 Obliczanie rankingu
    • 9.4.1 Układ równań
    • 9.4.2 Metoda iteracyjna.
• 10 Iloczyn skalarny
  • 10.1 Standardowy iloczyn skalarny
  • 10.2 Ogólny iloczyn skalarny
  • 10.3 Baza ortonormalna
  • 10.4 Rzuty i rzuty prostopadłe.
  • 10.5 Algorytm Grama-Schmidta ortonormalizacji bazy
  • 10.6 Dopełnienie ortogonalne
  • 10.7 Zastosowania: geometria
    • 10.7.1 Reprezentacja przez dopełnienie ortogonalna
    • 10.7.2 Symetrie
• 11 Izometrie, macierze ortogonalne
  • 11.1 Izometrie
  • 11.2 Macierze ortogonalne
• 12 Macierze dodatnio określone
• II Algebra Abstrakcyjna
• 13 Grupy
  • 13.1 Automorfizmy
  • 13.2 Grupa
    • 13.2.1 Półgrupy
  • 13.3 Tabelka działań
  • 13.4 Homomorfizm, Izomorfizm
  • 13.5 Podgrupy
  • 13.6 Grupa cykliczna
• SPIS TREŚCI
  • 13.7 Grupa wolna
• 14 Grupy permutacji
  • 14.1 Rozkład permutacji na cykle
  • 14.2 Permutacje parzyste i nieparzyste.
  • 14.3 Wyznacznik
• 15 Działania grupy na zbiorze
  • 15.1 Mnożenie podzbiorów grupy
  • 15.2 Działanie grupy na zbiorze
  • 15.3 Lemat Burnside’a
• 16 Warstwy, Twierdzenie Lagrange’a
  • 16.1 Warstwy
• 17 Homomorfizmy i grupy ilorazowe, podgrupy normalne.
  • 17.1 Homomorfizmy
  • 17.2 Działanie na warstwach
  • 17.3 Naturalny homomorfizm G 7 → G/H
  • 17.4 Kongruencje, konstrukcja Z n
    • 17.4.1 Konstrukcja Z m
• 18 Pierścienie, ciała, arytmetyka modularna
  • 18.1 Pierścienie
  • 18.2 Arytmetyka modularna Z m
  • 18.3 Algorytm Euklidesa
  • 18.4 Elementy odwracalne
  • 18.5 Chińskie twierdzenie o resztach
  • 18.6 Zastosowanie: Algorytm szyfrowania Rabina
    • 18.6.1 Odtwarzanie
    • 18.6.2 Odtwarzanie implikuje rozkład liczby na czynniki
• 19 Wielomiany
  • 19.1 Pierścień wielomianów
  • 19.2 Ewaluacja (wartościowanie) wielomianów
  • 19.3 Dzielenie, podzielność i największy wspólny dzielnik wielomianów
• 20 Ciała skończone
  • 20.1 Konstrukcja ciał (skończonych)
• 21 Z∗ p jest cykliczne
  • 21.1 Rzędy elementów w grupie cyklicznej
  • 21.2 Rzędy elementów w Z∗ p

Część I

Algebra Liniowa

10 ROZDZIAŁ 1. CIAŁA, PRZESTRZENIE LINIOWE, LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ELIMINACJA GAUßA

3. Dodawanie w V jest łączne: ∀ u,v,w ∈V( u + v ) + w = u + ( v + w ) W związku z tym dodawanie w V zapisujemy bez nawiasów.
4. W V istnieje wyróżniony wektor ~ 0 : ∃ ~ 0 ∈V∀ v ∈V ~ 0 + v = v
5. Dla każdego elementu v istnieje element przeciwny − v : ∀ v ∈V∃− v ∈V(− v ) + v = ~ 0
6. Xdefiniowane jest mnożenie (lewostronne) elementów V przez elementy z F: · : F × V → V
7. Zachodzi rozdzielność mnożenia względem dodawania (skalarów): ∀ α,β ∈F∀ v ∈V( α + β ) · v = αv + βv
8. Zachodzi rozdzielność mnożenia względem dodawania (wektorów): ∀ α ∈F∀ v,u ∈V α · ( v + u ) = αv + αu
9. Mnożenie jest łączne: ∀ α,β ∈F∀ v ∈V α · ( β · v ) = ( αβ ) · v
10. Mnożenie przez „jedynkę” z ciała zachowuje wektor ∀ v ∈V 1 · v = v

Elementy V nazywamy wektorami , zaś elementy F: skalarami.

Uwaga. Mnożymy tylko przez skalary, wektory możemy tylko dodawać.

Przykład 1.3_._ 1. R n , C n , { 0 }, Q n , Z np , każde nad odpowiednim ciałem: R, C, dowolnym, Q, Z p.

2. Zbiory funkcji: RR, RQ, QR, ZR p , RN. Zbiory funkcji o skończenie wielu (przeliczalnie wielu) wartościach niezerowych. Ale nie: zbiory funkcji o skończenie wielu wartościach równych 1.
3. R, C nad Q.
4. Zbiory ciągów o wartościach w R, Z p ,... (czyli zbiory funkcji RN, ZN p ,... )
5. Zbiory wielomianów o współczynnikach z F nad F. Zbiory wielomianów określonego stopnia. Zbiory wielomianów zerujących się w jakichś punktach.
6. Punkty w R^2 spełniające równanie 2 x + y = 0. Punkty w R^3 spełniające równanie 2 x + y = 0 , x − y + 3 z = 0. Ale nie 2 x + y = 1 , x − y + 3 z = 0. Też mają dużo oczekiwanych własności.

Fakt 1.4. 1. ∀ ~v ∈V 0 · ~v = ~ 0

2. ∀ α ∈F α · ~ 0 = ~ 0 3. ∀ ~v ∈V ,α ∈F α · v = ~ 0 ⇐⇒ v = ~ 0 ∨ α = 0 4. ∀ ~v ∈V(−1) v = − _v

5. wektor przeciwny jest dokładnie jeden
6. wektor zerowy jest dokładnie jeden 7...._

1.3. PODPRZESTRZENIE LINIOWE 11

1.3 Podprzestrzenie liniowe

Definicja 1.5 (Podprzestrzeń liniowa). Dla przestrzeni liniowej V jej podzbiór W ⊆ V jest podprzestrze- nią liniową , gdy jest przestrzenią liniową nad tym samym ciałem i działania są określone tak, jak w V. Zapisujemy to jako W ≤ V.

Taki zbiór musi być niepusty (ale może zawierać tylko ~ 0 ).

Przykład 1.6_._ 1. cała przestrzeń V jest swoją podprzestrzenią;

2. { ~ 0 } jest podprzestrzenią;
3. w R n^ zbiór wektorów mających 0 na ustalonych współrzędnych;
4. dla zbioru wszystkich wielomianów o współczynnikach z F, zbiór wielomianów o stopniu najwyżej k ;
5. dla zbioru wszystkich wielomianów o współczynnikach z F, zbiór wielomianów przyjmujących wartość 0 w ustalonym zbiorze punktów;
6. w R n^ zbiór wektorów spełniających równania x 1 + 2 x 2 = 0 i x 3 − x 2 = 0.

Lemat 1.7. Niepusty podzbiór przestrzeni liniowej jest podprzestrzenią wtedy i tylko wtedy gdy jest zamknięty na dodawanie i mnożenie przez skalary.

Dowód. Podprzestrzeń liniowa jest niepusta, zamknięta na dodawanie i mnożenie przez skalary. Załóżmy, że ∅ 6 = U ⊆ V jest zamknięta na dodawanie i mnożenie przez skalary. Chcemy pokazać, że jest przestrzenią liniową; w oczywisty sposób zawiera się w V. Dodawanie i mnożenie w U określamy tak jak w V. Ze względu na zamkniętość na dodawanie i mnożenie, jest to dobra definicja. Dla każdego elementu istnieje przeciwny: wystarczy pomnożyć przez − 1. Wektor zerowy jest w U : otrzymujemy go jako sumę v + (− v ) (tu korzystamy z tego, że U jest niepusty); alternatywnie jako 0 · v dla dowolnego v , ponownie korzystamy z niepustości. Wszystkie pozostałe własności (łączność, przemienność) itp. są równościami pomiędzy pewnymi elementami U (to są elementy U , bo jest ono zamknięte na mnożenie i dodawanie). Ale te równości zachodzą w V, a działania w U są takie same, jak w V, czyli zachodzą też w U.

Podprzestrzenie liniowe można generować używając pewnych standardowych operacji: przecięcia, sumy, iloczynu kartezjańskiego.

Definicja 1.8 (Suma, przecięcie, iloczyn kartezjański przestrzeni liniowych). Niech W , W′^ ≤ V. Wtedy ich suma to W + W′^ = { w + w ′^ : w ∈ W , w ′^ ∈ W′}.

Dla dowolnego zbioru podprzestrzeni liniowych {W i } i ∈ I , gdzie W i ≤ V dla każdego i ∈ I , przecięcie zdefiniowane jest naturalnie jako

⋂ i ∈ I W i^ (jako zbiór).

∏ Dla dowolnego zbioru przestrzeni liniowych^ {V i } i ∈ I^ nad tym samym ciałem produkt kartezjański i ∈ I V i^ zdefiniowany jest naturalnie. Działania zdefiniowane są po współrzędnych.

Lemat 1.9. Suma, przecięcie oraz iloczyn kartezjański przestrzeni liniowych jest przestrzenią liniową. Suma przestrzeni liniowych W + W′^ jest najmniejszą przestrzenią liniową zawierająca jednocześnie W i W′. Przekrój przestrzeni liniowych

⋂ i W i^ jest największą przestrzenią liniową zawartą jednocześnie we wszystkich podprzestrzeniach W i.

Dowód pozostawiony jest jako ćwiczenie.

1.5. LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ WEKTORÓW. 13

Dowód. Zauważmy, że z Faktu 1.14 wiemy, że LIN(LIN( U )) jest najmniejszą przestrzenią liniową zawierającą LIN( U ). Ale LIN( U ) jest przestrzenią liniową, czyli LIN(LIN( U )) = LIN( U ). Co do drugiego punktu, z Faktu 1.15 mamy:

LIN( A ) ≤ LIN( A ∪ A ′) ≤ LIN(LIN( A )) = LIN( A ).

Otoczka liniowa jest niezmiennicza na kombinacje liniowe.

Lemat 1.17. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F , zaś v 1 ,... , vk ∈ V wektorami z tego ciała. Jeśli skalary α 1 ,... , αk ∈ F są niezerowe to

LIN( v 1 ,... , vk ) = LIN( α 1 v 1 ,... , αkvk ).

Dla i 6 = j oraz skalara α ∈ F

LIN( v 1 ,... , vk ) = LIN( v 1 ,... , vi − 1 , vi + αvj , vi +1 ,... , vk ).

Dowód. Dowód przy użyciu Lematu 1.16: niech U 1 = v 1 ,... , vk , U 2 = ( α 1 v 1 ,... , αkvk ), oraz U 3 = U 1 ∪ U 2. Wtedy U 1 ⊆ U 3 ⊆ LIN( U 1 ), czyli LIN( U 1 ) = LIN( U 3 ). Analogicznie U 2 ⊆ U 3 ⊆ LIN( U 2 ), co daje LIN( U 2 ) = LIN( U 3 ). Niech teraz U 4 = ( v 1 ,... , vi − 1 , vi + αvj , vi +1 ,... , vk ) oraz U 5 = U 1 ∪ { vi + αvj }. Analogicznie, U 1 ⊆ U 5 ⊆ LIN( U 1 ) oraz U 4 ⊆ U 5 ⊆ LIN( U 4 ) co daje LIN( U 1 ) = LIN( U 5 ) = LIN( U 4 ).

Lemat 1.18. Niech V : przestrzeń liniowa nad ciałem F , { v 1 , v 2_... , vk_ } ⊆ V : zbiór wektorów z V , zaś α 1 ,... , αk ∈ K : ciąg skalarów, gdzie α 1 6 = 0_. Wtedy_

LIN

({ (^) k ∑

i =

αivi, v 2_... , vk_

}) = LIN ({ v 1 , v 2_... , vk_ }). (1.2)

D-d pozostawiamy jako ćwiczenie.

1.5 Liniowa niezależność wektorów.

Definicja 1.19. Układ wektorów U jest liniowo niezależny gdy dla dowolnego k ≥ 0 , dowolnych różnych v 1 ,... , vk ∈ U oraz ciągu współczynników α 1 ,... , αk ∈ F

∑^ k

i =

αi · vi = ~ 0

implikuje α 1 = α 2 = · · · = αk = ~ 0_._

Uwaga. Uwaga, U traktujemy jako multizbiór: jeśli zawiera jakiś element m razy, to można go m razy użyć. W takim przypadku U jest liniowo zależny, bo v + (−1) · v = ~ 0.

Fakt 1.20. Niech V będzie przestrzenią liniową. Układ wektorów U ⊆ V jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy jeden z nich można przedstawić jako liniową kombinację pozostałych.

Dowód. Jeśli układ jest liniowo zależny, to istnieje niezerowa kombinacja

∑ i αiui^ = 0. Bez zmniejszenie ogólności, niech α 1 6 = 0. Wtedy v 1 = ∑ i> 1 −^ αi α 1 vi^ i jest żądane przedstawienie. Jeśli u 1 =

∑ i> 1 αiui^ to^

∑ i αiui^ dla^ α^1 =^ −^1 przedstawia^ ~^0.

Fakt 1.21. Niech V będzie przestrzenią liniową. Układ wektorów U ⊆ V jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje u ∈ U taki że

LIN( U ) = LIN( U \ { u }).

Jeśli U nie zawiera ~ 0 , to są przynajmniej dwa takie wektory. (Uwaga: traktujemy U jako multizbiór, tzn. jeśli zawiera dwa razy ten sam wektor, to wyborem u mogą być dwie różne „kopie” tego samego wektora.)

14 ROZDZIAŁ 1. CIAŁA, PRZESTRZENIE LINIOWE, LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ELIMINACJA GAUßA

1.6 Metoda eliminacja Gaußa.

Chcemy mieć usystematyzowany sposób znajdowania dla (skończonego) zbioru wektorów U jego mak- symalnego (względem zawierania) podzbioru niezależnego. Będziemy korzystać z uogólnienia Lematu 1.18.

Lemat 1.22 (Porównaj Lemat 1.18). Niech U = ( v 1 ,... , vk ) będzie układem wektorów, rozpatrzmy układy

U ′^ = ( v 1 ,... , vi − 1 , αvi, vi +1 ,... , vk ) dla α 6 = 0 , 1 ≤ i ≤ k U ′^ = ( v 1 ,... , vi − 1 , vi + αvj , vi +1 ,... , vk ) dla i 6 = j.

Wtedy U jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy gdy U ′^ jest liniowo zależny, wtedy i tylko wtedy gdy U ′′^ jest liniowo zależny.

Dowód. Jeśli U zawiera wektor ~ 0 to U jest zależny. Jeśli vi 6 = ~ 0 to U ′ , U ′′^ też zawierają ~ 0 i są zależne. Jeśli vi = ~ 0 to U ′^ dalej zawiera ~ 0 , natomiast U ′′^ zawiera vj oraz αvj , czyli zarówno U ′^ jak i U ′′^ są liniowo zależne. Jeśli U nie zawiera ~ 0 to korzystamy z Faktu 1.21: U jest zależny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje u ∈ U , taki że LIN( U ) = LIN( U \ { u }). W przypadku U ′^ wybieramy u tak, że nie jest to vi. Wtedy U ′^ również zawiera u. Wiemy, że LIN( U ) = LIN( U ′) oraz LIN( U \ { u }) = LIN( U ′^ \ { u }), obie rzeczy z Lematu 1.18. Jeśli LIN( U ) = LIN( U \ { u }) to również LIN( U ′) = LIN( U ′^ \ { u }), czyli U jest liniowo zależny. Dowód, że jeśli U ′^ jest liniowo zależny, to liniowo zależny jest U , przeprowadzamy analogicznie. W przypadku U ′′^ wybieramy u ∈ U tak, aby u 6 = vj. Jeśli u = vi to dla U ′′^ wybieramy u ′^ = vi + αvj i wtedy U \ { u } = U ′′^ \ { u ′}. Skoro LIN( U ) = LIN( U ′′) oraz LIN( U ) = LIN( U \ { u }), to również LIN( U ′′) = LIN( U ′′^ \ { u ′}), czyli U ′′^ jest liniowo zależny. Jeśli u 6 = vi to wtedy u ∈ U ′′^ i wybieramy też u dla U ′′. Wiemy, że LIN( U ) = LIN( U \ { u }), LIN( U ) = LIN( U ′′) oraz LIN( U \ { u }) = LIN( U ′′^ \ { u }), czyli też LIN( U ′′) = LIN( U ′′^ \ { u }). Czyli U ′′ jest liniowo zależny. Dowód, że jeśli U ′′^ jest liniowo zależny, to U jest liniowo zależny, przeprowadzamy analogicznie.

Skorzystamy też z prostej obserwacji.

Definicja 1.23 (Postać schodkowa). Układ wektorów v 1 ,... , vm ∈ F n^ jest w postaci schodkowej , jeśli istnieje ciąg pozycji 0 = i 0 < i 1 < i 1 < · · · < im takich że dla każdego j = 1 ,... , m :

• wektor vj ma na pozycji ij element niezerowy
• wektor vj ma na pozycjach < ij same 0.

Lemat 1.24. Jeśli układ wektorów w F n^ jest w postaci schodkowej, to jest niezależny.

Dowód. Niech te wektory to v 1 ,... , vk. Rozważmy współczynniki α 1 ,... , αk takie że

∑ k i =1 αkvk^ =^ ~^0. Niech αi to najmniejszy niezerowy współczynnik. Wtedy liczba otrzymana na pozycji ji jest nieze- rowa: wektory v 1 ,... , vi − 1 są brane ze współczynnikami 0 , wektory vi +1 ,... , vk mają na pozycji ji same 0 , czyli wsþółczynnik na pozycji ji w sumie

∑ k i =1 αkvk^ to^ αi^ razy wartość w^ ( vj^ ) i^^6 = 0. Sprzeczność.

W ogólności chcemy przekształcić dowolny układ wektorów używając operacji jak w Lemacie 1. do zbioru wektorów w postaci schodkowej i wektorów ~ 0. Jeśli tych drugich nie ma, to wejściowy zbiór był niezależny, jeśli są, to był zależny.

16 ROZDZIAŁ 1. CIAŁA, PRZESTRZENIE LINIOWE, LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ELIMINACJA GAUßA

Rozdział 2

Baza przestrzeni liniowej, wymiar

2.1 Baza przestrzeni liniowej

Chcemy minimalny zbiór niezależny: bo po co więcej (i ma wiele innych, dobrych własności).

Definicja 2.1 (Baza). B jest bazą przestrzeni liniowej V gdy LIN( B ) = V oraz B jest liniowo niezależny.

Alternatywnie, mówimy, że B jest minimalnym zbiorem rozpinającym V.

Przykład 2.2_._ • W przestrzeni F n^ wektory (tzw. baza standardowa ): e 1 = (1 , 0 ,... , 0), e 2 = (0 , 1 , 0_... ,_ 0),

... , en − 1 = (0 ,... , 0 , 1 , 0) en = (0 ,... , 0 , 1).

• W przestrzeni wielomianów stopnia ≤ n : wielomiany { xi } ni =0.
• W przestrzeni ciągów o wyrazach w F, które mają skończenie wiele niezerowych wyrazów: { ei }, gdzie ei ma 1 na i -tej pozycji i 0 wszędzie indziej. Ta baza jest nieskończona. Bardziej interesują nas przestrzenie, które mają skończoną bazę. Prawie wszystko, co powiemy, jest też prawdą ogólnie, ale dowody są dużo bardziej techniczne. Naszym celem jest twierdzenie, że każda baza (przestrzeni skończenie wymiarowej) jest tej samej wielkości.

Definicja 2.3 (Przestrzeń skończenie wymiarowa). Przestrzeń jest skończenie wymiarowa , jeśli ma skoń- czony zbiór rozpinający.

Lemat 2.4 (Twierdzenie Steinitza o wymianie). Niech V będzie przestrzenią liniową, A ⊆ V liniowo niezależnym zbiorem wektorów, zaś B zbiorem rozpinającym V_. Wtedy albo A jest bazą, albo istnieje v_ ∈ B taki że A ∪ { vi } jest liniowo niezależny.

Dowód. Rozważmy, czy dla każdego v ∈ B mamy v ∈ LIN( A ).

Tak Z Lematu 1.16 mamy LIN( A ) = LIN( B ∪ A ) ≥ LIN( B ) = V_._ Czyli A jest bazą.

Nie Istnieje v ∈ B , taki że LIN( A ∪ { v }) 6 = LIN( A ). Załóżmy, że ten zbiór jest liniowo zależny. Wtedy istnieje kombinacja liniowa (^) ∑

j

αj uj + αv = 0

w której nie wszystkie współczynniki są zerowe, zaś u 1 , u 2_..._ ∈ A. Jeśli α 6 = 0 to to pokazuje, że v ∈ LIN( A ), co nie jest prawdą. Jeśli α = 0 to otrzymujemy, że A jest liniowo zależny, co z założenia nie jest prawdą, sprzeczność.

Twierdzenie 2.5. Każda przestrzeń (skończenie wymiarowa) V ma bazę. Każda baza przestrzeni (skończenie wymiarowej) V ma taką samą moc.

17

2.3. WYMIAR PRZESTRZENI LINIOWEJ 19

Tak więc mając dowolny układ wektorów możemy wyrazić je w dowolnej bazie i zastosować na nich eliminację Gaußa. Można w ten sposób udowodnić np. Twierdzenie 2.5: d-d na ćwiczeniach.

2.2.1 Baza standardowa

Gdy pracujemy w F n^ to jedna baza jest lepsza, niż inne: baza standardowa , składająca się wektorów E^ ~i = (0 ,... , 0 , 1 ︸︷︷︸ i -te miejsce

Przykład 2.12_._ Rozważmy bazę B = {(1 , 1 , 1) , (0 , 1 , 1) , (0 , 0 , 1)} przestrzeni R^3 ; niech E~ 1 , E~ 2 , E~ 3 będą wektorami bazy standardowej. Wtedy ( E~ 1 ) B = (1 , − 1 , 0), ( E~ 2 ) B = (0 , 1 , −1) i ( E~ 3 ) B = (0 , 0 , 1). Używając tej reprezentacji łatwo pokazać, np. że dla v = (7 , 4 , 2) mamy ( v ) B = (7 , − 3 , −2), bo

( v ) B = (7 E~ 1 + 4 E~ 2 + 2 E~ 3 ) B = 7( E~ 1 ) B + 4( E~ 2 ) B + 2( E~ 3 ) B.

2.3 Wymiar przestrzeni liniowej

Definicja 2.13 (Wymiar przestrzeni liniowej). Dla przestrzeni skończenie wymiarowej V jej wymiar to moc jej bazy. Oznaczamy go jako dim(V).

Intuicja: to jest „ n ” w R n^ (lub ogólnie n w F n ).

Lemat 2.14. Jeśli V 1 , V 2 ≤ V są przestrzeniami skończenie wymiarowymi, to

dim(V 1 + V 2 ) = dim(V 1 ) + dim(V 2 ) − dim(V 1 ∩ V 2 ).

Dowód. Niech B będzie bazą V 1 ∩ V 2 lub puste, jeśli V 1 ∩ V 2 = { ~ 0 }. Rozszerzamy B do baz V 1 , V 2 , niech będą one B ∪ B 1 oraz B ∪ B 2. Pokażemy, że B ∪ B 1 ∪ B 2 jest bazą V 1 + V 2. Zauważmy, że generują one V 1 + V 2 : dla dowolnego v ∈ V 1 + V 2 mamy v = v 1 + v 2 dla pewnych v 1 ∈ V 1 oraz v 2 ∈ V 2. Wtedy v 1 ∈ LIN( B ∪ B 1 ) oraz v 2 ∈ LIN( B ∪ B 2 ), czyli v 1 , v 2 ∈ LIN( B ∪ B 1 ∪ B 2 ) i w takim razie v 1 + v 2 ∈ LIN( B ∪ B 1 ∪ B 2 ), bo jest ona zamknięta na sumę wektorów (to jest przestrzeń liniowa). Pozostało pokazać, że jest to zbiór liniowo niezależny. Rozpatrzmy dowolną kombinację liniową wektorów z B ∪ B 1 ∪ B 2 , niech B = b 1 ,... , bn , B 1 = bn +1 ,... , bn ′^ , B 2 = bn ′+1 ,... , bn ′′^. Wtedy taka kombinacja jest postaci ∑ n ′′

i =

αibi.

Przenieśmy na drugą stronę wektory odpowiadające B 2 :

∑^ n ′

i =

αibi =

∑^ n ′′

i = n ′+

(− αi ) bi.

Wektor po lewej stronie należy do V 1 , ten po prawej do V 2 , czyli należą do V 1 ∩ V 2. W takim mają jednoznaczne przedstawienie w bazie B , ono jest takie samo w bazach B ∪ B 1 oraz B ∪ B 2 , tj. takie przedstawienie w bazie B ∪ B 1 używa tylko wektorów z B , analogicznie dla B ∪ B 2. Jednocześnie, wektor po prawej stronie nie używa wektorów z B , czyli jest wektorem zerowym, czyli ma wszystkie współczynniki równe 0. W takim razie ten po lewej również jest ~ 0 i w takim razie ma wszystkie współczynniki równe 0.

Wzór ten służy głównie do liczenia wymiaru V 1 ∩ V 2 :

Fakt 2.15. Jeśli B 1 , B 2 są bazami dla V 1 , V 2 ≤ V to

V 1 + V 2 = LIN( B 1 ∪ B 2 )

W takim razie znamy dim(V 1 ) , dim(V 2 ) i umiemy policzyć moc bazy V 1 + V 2 , czyli znamy wymiar V 1 + V 2. Czyli umiemy policzyć wymiar V 1 ∩ V 2. (Przykład w kolejnym rozdziale.)

20 ROZDZIAŁ 2. BAZA PRZESTRZENI LINIOWEJ, WYMIAR

2.4 Zastosowanie eliminacji Gaussa do liczenia wymiaru

Gdy mamy dany zbiór A (skończony), to aby policzyć dim(LIN( A )) możemy zastosować eliminację Gaussa: wiemy, że po zakończeniu otrzymujemy zbiór wektorów liniowo niezależnych oraz wektory zerowe i generowana przestrzeń jest taka sama. Czyli otrzymany zbiór wektorów liniowo niezależnych to baza a jej liczność to liczba wymiarów przestrzeni.

Twierdzenie 2.16. Eliminacja Gaussa zastosowana do układu wektorów U zwraca bazę LIN( U ) (oraz wektory zerowe).

Dowód. Z Lematu 1.26.

Fakt 2.17. Jeśli po zakończeniu eliminacji Gaußa otrzymujemy zbiór złożony z k wektorów, to orygi- nalny zbiór zawierał dokładnie k wektorów niezależnych. W szczególności, oryginalny zbiór był nieza- leżny wtedy i tylko wtedy gdy nie otrzymaliśmy żadnego wektora ~ 0_. Jeśli w czasie eliminacji używaliśmy do eliminowania jedynie wektorów v_ 1 ,... , vn, które na końcu są niezerowe, to odpowiadające im wektory początkowe tworzą bazę przestrzeni rozpiętej przez wszystkie wektory.

Dowód. Komentarz: część z tych rzeczy już wiemy, ale można to prościej pokazać używając pojęcia wymiaru. Wiemy już, że metoda eliminacji zachowuje przestrzeń rozpiętą przez przechowywany przez nią układ wektorów. W szczególności wymiar (=moc bazy tej przestrzeni) nie zmienia się. Na końcu jest to liczba niezerowych wektorów, na początku: moc maksymalnego (względem zawierania) zbioru wektorów liniowo niezależnych. Jeśli na końcu było jakieś ~ 0 to początkowy zbiór miał mniejszy wymiar, niż liczba jego wektorów, czyli był liniowo zależny. Jeśli na końcu nie ma wektora ~ 0 , to wszystkie początkowe wektory były niezależne. Zauważmy, że są niezależne, bo gdy przeprowadzimy na nich eliminację Gaußa to uzyskamy te same wektory, co poprzednio, czyli niezerowe.

Przykład 2.18_._ Rozważmy przestrzeni liniowe S, T , zadane jako S = LIN({(1 , 6 , 5 , 5 , 3) , (1 , 2 , 3 , 2 , 2)}) oraz T = LIN({(3 , 4 , 5 , 3 , 3), (2 , 1 , 3 , 1 , 2)}). Obliczymy dim( S + T ) oraz dim( S ∩ T ) i podamy bazę S + T. Łatwo zauważyć, że podany zbiór generatorów S ma dwa wektory niezależne (są różne, a mają taką samą pierwszą współrzędną), podobnie T ma wymiar 2. Będziemy korzystać z zależności:

dim( S + T ) = dim( S ) + dim( T ) − dim( S ∩ T )

Czyli wystarczy, że policzymy wymiar S + T. Suma (mnogościowa) generatorów S oraz T generuje S + T , zastosujemy metodę eliminacji Gaussa w celu obliczenia wymiaru; odpowiednie rachunki zostały już przeprowadzone w Przykładzie 1.25.

  

  

(3)−(2)−(4) −−−−−−−→

  

  

(1)−(2) , (4)− 2 ·(2) −−−−−−−−−−−→

  

  

(1)−(3)+(4) −−−−−−−→

  

  

(4)+3·(3) −−−−−−→

  

  

Wymiar LIN( S + T ) wynosi więc 3. Tym samym wymiar LIN( S ) ∩ LIN( T ) wynosi 1. Co do bazy S + T zauważmy, że wektory uzyskane przez kombinacje liniowe generatorów S + T (czyli naszych wektorów zapisanych w wierszach) dalej należą do S + T , tym samym trzy wektory

(1 , 2 , 3 , 2 , 2) , (0 , 1 , − 1 , 0 , −1) , (0 , 0 , − 6 , − 3 , −5)