Pobierz Algebra liniowa II pierwsze kolokwium, schematy zadań i więcej Schematy w PDF z Algebra liniowa tylko na Docsity! Zadanie 1. Odwzorowanie liniowe f : Mzyą(R) > C?(R) dane jest wzorem:
i([2 3])-0+5+5e-0-0-%0e0%w)
a) Wyznacz macierz A = M;(B4, By) odwzorowania w bazach:
8, -( : al oj. [3 | h 3 ) B = (1 +4,0),(1— 4,0),(0,1+1),(0,1 — 1).
b) Korzystając z macierzy A wyciągnij wnioski, czy f jest monomorfiztnem, epimorfizmem, izomorfizmem. Każdą
z odpowiedzi uzasadnij.
10 11
©) Macierz € = M,(Bą, B;z) = : 8 + i jest macierzą odwzorowania g : C?(R) + Mą,ą(R) w bazach
=11 0 0
kanonicznych:
a-(fo olo o][0][80)) zecoodeoow.
Korzystając z odpowiednich macierzy przejścia wyznacz macierz D = M) 'fog(B4, B2) odwzorowania f o g.
Zadanie 4 Zbadaj diagonalizowalność endomorfizmu / : R[z]; > R[z]3, którego macierz w bazie kanonicznej
B=(1,z,z?, z*) jest następująca:
o6
—2m 0 0 0
0 1+m 2 0
0 1 24m 0
m? o 0 m
W wybranym przypadku, gdy endomorfizm jest diagonalizowalny, podaj macierz f w postaci diagonalnej, podaj
bazę, w której macierz f ma postać diagonalną oraz przepis odwzorowania f.
Zadanie 3.
a) Czy poniższe odwzorowania są liniowe? Uzasadnij odpowiedź dla każdego z nich.
1) f: M2x2(R) + R*, f(4) = (det4,tr A);
2) jiCR) R”, f(2) = (le, argz).
b) Niech f: R + R będzie dowolnym odwzorowaniem liniowym oraz g: R$ + R3 odwzorowaniem takim, że
9(2,y,2) = (z,y + f(2), z — f(v)). Wyznacz kerg.
Zadanie 4.
a) Niech f: R[z] + R* będzie odwzorowaniem liniowym takim, że:
A=
ker f = (u €R/ea: w(1) -w(-1)=0 A zu/(1) +u(0) = o) ,
im f =lin((0,1,1),(1,0,1)) oraz f(e*+a—1) =(0,1,1).
Skonstruuj odwzorowanie ie wyznaczając jego przepis, Czy f jest odwzorowaniem odwracalnym? Odpowiedź
uzasadnij,
b) Dany jest endomorfizm h: Max2(R) -+ Max2(R), Wiadomo, że 4, = a e i A = h I są wek-
torami własnymi odpowiadającymi wartości własnej 4, = —1. Ponadto zachodzi (| > A ) = ( oraz
(| ń ż |)- [ Ą 0 ih Uzasadnij, że h jest diagonalizowalny, a następnie oblicz wartość Ąh999 ([ : ę ):
, Podane odnaoronanie to odwżoro-
| RA AdaNÓM ker M4! ich PA
| lobiy niani LONIOWE
| ś w ł | lub | k nk AR
niej ipb |
m ; ,5 * (38) R,
ady icz NE 15.35)
Mał 0 BE I | Ł4WEE a
JSBRT
lócdł |||.
Ko A r. A M.
LĄD
+
4. tęlu ki: sa RAL | Gl Ma
ht
BI dj