Algebra liniowa - rozwiązywanie układów liniowych, Ćwiczenia z Algebra liniowa

Pobierz Algebra liniowa - rozwiązywanie układów liniowych i więcej Ćwiczenia w PDF z Algebra liniowa tylko na Docsity!

Ćwiczenie 3. MatLab : Algebra

liniowa. Rozwiązywanie układów

liniowych

Wszystko proszę zapisywać komendą diary do pliku o nazwie: imie nazwisko_

1. Definiowanie macierzy i odwoływanie się do elementów:

Definicji macierzy można dokonać na kilka sposobów: − przez wymienienie elementów, − przez wygenerowanie elementów, − przez zbudowanie z innych macierzy, − poprzez zastosowanie dwóch lub więcej wyżej wymienionych technik razem.  Elementy w wierszu macierzy muszą być oddzielane spacją lub przecinkami.  Średnik lub znak nowego wiersza kończy wiersz macierzy i powoduje przejście do następnego. Zaleca się wcześniejsze generowanie macierzy przez rezerwowanie pamięci, gdy jej rozmiar jest znany. W tym celu można stosować instrukcje: Tab.

eye(n) macierz jednostkowa nxn;

eye(n, m) z jedynkami na głównej przekątnej

ones(n) macierz jedynek nxn;

ones(n,m) macierz jedynek nxm;

zeros(n) macierz zerowa nxn;

pascal(n) tworzenie macierzy trójkąta Pascala (trójkąt arabski)

magic(n) macierz o równej sumie wierszy i kolumn o elementach od 1 do

n^

rand(n) macierz nxn liczb pseudolosowych z przedziału <0,1> o rozkładzie jednostajnym;

randn(n) macierz nxn liczb pseudolosowych o rozkładzie normalnym ze średnią 0 i wariancją 1

tril(A) tworzy z macierzy A macierz dolnie trójkatną.

triu(A) tworzy z macierzy A macierz górnie trójkatną.

Odwołanie do elementów macierzy:

• podanie zakresu wierszy i kolumn (od,do) za pomocą operatora dwukropka, na przykład:

Tab 2. A(i,:) i-ty wiersz macierzy A

A(:,j) j-ta kolumna macierzy A

A(:) Cała macierz w postaci wektora kolumnowego

A(:,:) Cała macierz (dwuwymiarowa)

A(i,j:k) Elementy i-tego wiersza macierzy A o numerach od j do k (kolumny od j do k)

A(i:j,k:l) Elementy od i-tego do j-tego wiersza oraz od k-tej do l-tej kolumny

A(X,i:j) Wszystkie elementy w kolumnach od i do j i wierszach macierzy A o numerach określonych przez elementy wektora X

2. Operacje na macierzach: długość, przekątna, maksimum, minimum, dodawanie, mnożenie, iloczyn skalarny, potęgowanie macierzy, operacje tablicowe.

Tab3. cumprod (^) wyznacza nowy wektor zgodnie ze wzorem:

dla wejściowego wektora. (macierz jest czytana kolumnami) cumsum (^) analogicznie, wyznacza sumy elementów zgodnie

ze wzorem [n m]=size(A) przypisuje zmiennej n liczbę wierszy, a zmiennej m liczbę kolumn; n=size(A,1) przypisuje zmiennej n liczbę wierszy macierzy A;

m=size(A,2) przypisuje zmiennej m liczbę kolumn macierzy A; length(x) zwraca długość wektora x lub dłuższy z wymiarów macierzy. diag(A) zwraca wektor z elementów na przekątnej macierzy

max(A) element maksymalny w kolumnie min(A) element minimalny w kolumnie mean(A) średnia elementów z kolumny median(A) mediana std odchylenie standardowe, sum suma prod iloczyn, j.w. linspace(x1,x2) wektor równomiernych liczb generuje wektor wierszy składających się ze

linspace(x1,x2,n) 100 punktów z równym odstępem miedzy x1 a x

• gdy jest n określamy ilość punktów między x1 a x

b) Operacje tablicowe^1 – wykonywane na każdym z elementów macierzy. Symbol zwykłej operacji poprzedzony jest kropką.

• Macierze muszą być tych samych wymiarów -Dodawanie oraz odejmowanie tablicowe i macierzowe są tożsame. B.\A ==A./B A.\B==B./A 3. Wyznacznik, macierz transponowana, macierz odwrotna, suma elementów w macierzy

 wyznacznik macierzy: det(A),  macierz odwrotna: inv(A),  macierz transponowana: A' suma elementów:  sum(A) lub sum(A,1)– wynikiem jest wektor składający się z sum kolumn macierzy A.

natomiast aproksymować nieznaną funkcję będziemy inną funkcją postaci np.

gdzie wartości i są nieznane. Wyznaczyć je możemy metodą najmniejszych kwadratów, która to minimalizuje sumę kwadratów błędów przy rozwiązywaniu każdego z równań.

Rozwiązanie problemu w Matlabie: Zdefiniowanie danych: t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]'; y=[.82 .72 .63 .60 .55 .50]';

Wyznaczenie wartości współczynników i :

E=[ ones(size(t)) exp(-t) ]; c=E\y

Otrzymujemy przybliżenie

które następnie możemy wizualizować na wykresie:

T=(0:0.1:2.5)' Y=[ones(size(T)) exp(-T)]*c plot(T,Y,'-',t,y,'o')

4.3 Układ nieoznaczony

W tym przypadku mamy do czynienia z większą liczbą zmiennych niż równań w układzie. Jest to zagadnienie programowania liniowego. Przy znajdywaniu rozwiązań parametrycznych wykorzystywany jest rozkład QR.

Przykładowo dane są macierze zdefiniowane losowo:

R=fix(10rand(2,4)); b=fix(10rand(2,1));

zamieniamy format wyświetlania danych na ułamkowy:

format rat

a następnie wyznaczamy

p=R\b Z=null(R,'r')

wtedy mnożenie da macierz zerową, lub bliską zerowej. Następnie każdy wektor w postaci:

dla dowolnego wektora q, spełnia równanie , a więc jest rozwiązaniem równania wejściowego.

Ćwiczenia

Zad.1. a) Wykonaj następujące operacje zwykłe na macierzach:

b) Wykonaj powyższe operacje korzystając z operacji tablicowych. Zobacz jaka jest różnica.

c) Zapisz stworzoną przez Ciebie macierz i oblicz jej drugą potęgę dla obu rodzajów operatorów potęgowania.

• obliczyć macierz odwrotną oraz wyznacznik:

a)

b)

c)

Zad.2.

Powyższa macierz jest macierzą Durera – magicznym kwadratem. Jeśli dodasz do siebie wszystkie liczby z dowolnego wiersza lub kolumny, czy też z jednej z dwóch głównych przekątnych, otrzymasz zawsze ten sam wynik. Sprawdź, korzystając z funkcji sum i transpozycji, to w MATLAB-ie.

Zad.3. Z podanej macierzy 4x4 wypisz po 3 macierze 3x oraz 2x2.

Zad.4. Dla 100 elementowego wektora A oblicz: a) sumę elementów b)średnią elementów c) medianę d)odchylenie standardowe e)liczbę elementów

Zad.5. Dla macierzy A o wymiarach 5x5 oblicz sumę wszystkich elementów.

Zad.6. Stwórz wektor 9 liczb z przedziału od 5 do 15, które są posortowane i ułożone równomiernie.

Zad.7. W wektorze Kwoty =[30, 25, 20, 34, 32] są umieszczone sumy pieniężne dla poszczególnych dni tygodnia. Wyznacz skumulowany wektor sum, w którym są przechowywane sumy wartości kwot z poprzednich dni.