Pobierz algebra z geometrią odwracanie macierzy i injektywność ... i więcej Schematy w PDF z Algebra tylko na Docsity!

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ

ODWRACANIE MACIERZY I

INJEKTYWNOŚĆ ENDOMORFIZMÓW

Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski

Wykład 16, 28.02.

Typeset by Jakub Szczepanik.

Odwracanie macierzy to podawanie rozwiązań układów równań liniowych. Ze wzoru det(AB) = det(A) det(B) wnioskujemy natychmiast, że wyznacznik macierzy odwracalnej musi być odwracalny: 1 = det(I) = det(AA −^1 ) = det(A) det(A −^1 ) = det(A −^1 ) det(A). Okazuje się, że przeciwna implikacja też jest prawdziwa. Przy pomocy det(A) −^1 możemy napisać jawny wzór na A −^1. W tym celu zdefiniujmy najpierw:

(^1) Dopełnieniem algebraicznym elementu A ij macierzy A ∈ M n (k) nazywamy wyznacznik macierzy (n − 1) × (n − 1) otrzymanej przez skreślenie i-tego wiersza i j-ej konlumny pomnożony przez ( − 1) i + j^. (^2) Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz A t^ zdefiniowaną przez A tij = A ji , ∀ i, j ∈ { 1 , ..., n }. Zauważmy, że definicja A t^ nie potrzebuje żadnych warunków na macierz A.

Dowód:

det(A) = det(A 1 , ..., A n ) = det(A 1 , ...,

∑^ n

j =

e j A ji , ..., A n )

= ( − 1) i−^1

∑^ n

j =

A ji det(e j , A 1 , ..., A i− 1 , A i +1, ..., A n )

= ( − 1) i−^1

∑^ n

j =

A ji det(e j , A 1 − e j A j 1 , ∨i ..., An − e j A jn )

= ( − 1) i−^1

∑^ n

j =

A ji ( − 1) j−^1 det

( 1 0 0 A (^) ∨j ∨i

)

∑^ n

j =

( − 1) i + j^ A ji

∑

σ∈Sn σ (1)=

sgn(σ)

∏^ n

k =

( 1 0 0 A (^) ∨j ∨i

)

kσ ( k )

∑^ n

j =

A ji ( − 1) i + j^

∑

χ∈Sn− 1

sgn(χ)

n ∏ − 1

k =

( A (^) ∨j ∨i

) kχ ( k ) =

∑^ n

j =

A ji A˜ ji. (^) 

Wniosek (Rozwinięcie Laplace’a względem wiersza)

det(A) = det(A t ) =

∑^ k

j =

A tji ( − 1) j + i^ det

( A t^ ∨j ∨i

)

∑^ n

j =

A ij ( − 1) i + j^ det

(( A (^) ∨j ∨i

) t )

∑^ n

j =

A ij ( − 1) i + j^ det

( A (^) ∨j ∨i

)

∑^ n

j =

A ij A˜ ij.

Twierdzenie

∃ det(A) −^1 ⇒ A −^1 := A˜ t det(A)

Przykład a b c d

ad−bc

d −b −c a. Zaiste, 1 ad−bc

d −b −c a a b c d =^

1 ad−bc

( da − bc db − bd − ca + ac − cb + ad

) = 1 00 1 oraz 1 ad−bc

a b c d d −b −c a =^ 1 ad−bc

( ad − bc − ab + ba cd − dc − cb + da

) = 1 00 1.

Uwaga: Wyznacznik jest homomorfizmem z grupy Aut(V ) w grupę wszystkich odwracalnych elementów pierścienia k. Jeśli k jest ciałem, oznacza to grupę k \ { 0 }.

Przykład

Odwzorowanie C 3 z 7 −→j (^) − Re Im^ z^ z ImRe^ zz ∈ M 2 (R) jest homomorfizmem pierścieni takim, że ∀ z ∈ C :^ | z | =

√ det(j(z)). Podpierścień H :=

{ (^) z 1 z 2 − (^) z^12 z 1 ∈^ M 2 (C)

∣∣ ∣ z 1 , z 2 ∈^ C

} jest nieprzemiennym ciałem

kwaternionów. Tu też | h | =

√ det(h), ∀ h ∈ H. Teraz naszym celem jest detekcja dalszych własności endomorfizmów przy pomocy wyznaczników. (^) 7/

Twierdzenie

Niech dim k V < ∞ i f ∈ End(V ). Jeśli f jest surjekcją, to jest bijekcją.

Dowód: Z surjektywności f i wolności V wynika istnienie f^ ˜ ∈ End(V ), takiego że f ◦ f˜ = id. Stąd det(f ) det( f˜ ) = 1. Pamiętając o izomorfizmie pierścieni End(V ) ∼ = Mdim k V (k), z poprzedniego twierdzenia wnioskujemy, że f jest bijekcją.

Twierdzenie

Niech dim k V = n < ∞ i f ∈ End(V ). Ker f = 0 ⇔ det(f ) nie jest dzielnikiem zera ani zerem (λ det(f ) = 0 ⇒ λ = 0).

Przykład

Macierz 11 − 11 rozpatrywana nad:

(^1) Z/ 4 Z ma niezerowe jądro 11 − 11 22 = 00 , (^2) Z ma zerowe jądro ( (^1) − 1 1 1

mn = m−n m + n = 0^ ⇒^ m^ =^ n^ = 0

) , ale nie jest odwracalna bo det 11 − 11 = z nie jest odwracalny w Z; (^3) Q jest odwracalna bo ( det 11 − 11

) − 1 = 12 ∈ Q.