Pobierz Algebraiczne zagadnienia własne: definicje, twierdzenia, wnioski i więcej Prezentacje w PDF z Matematica Generale tylko na Docsity!
Algebraiczne zagadnienia własne
Definicja: Liczb
ę^ λ
i niezerowy wektor
x^ nazywamy
warto
ści
ą^ własn
ą^ i wektorem własnym
macierzy
A∈
C
n x n
, je
śli spełniaj
ą^ równo
ść
A x
=^
λ x
Twierdzenie: Jeś
li x
, x 1
, ..., x 2
sk ą^ wektorami własnymi macierzy A odpowiadaj
ącymi ró
żnym warto
ściom własnym
λ^1
,^ λ
λk
to wektory x
, x 1
, ..., x 2
sk ą^ liniowo niezale
żne.
Twierdzenie: Układ równa
ń^ A x
=^
λ x
A^
-^ λ
I)^
x = 0
ma niezerowe rozwi
ązanie
x^
wtedy i tylko wtedy, gdy det
( A
-^
λI) = 0.
Wniosek: Warto
ści własne macierzy A s
ą^ pierwiastkami wielomianu charakterystycznego
pA (λ)
≡^
det
( A
-^
λI)
Definicja: Macierze A i B s
ą^ podobne
, je
śli istnieje taka nieosobliwa macierz S,
że B = S
-1^ A S
Twierdzenie: Macierze podobne maja te same warto
ści własne
Definicja: Macierz A jest
hermitowska
je śli A = A
H^ (aij
= a
*^ , i, j = 1, 2, ..., n)ji
Twierdzenie: Wszystkie warto
ści własne macierzy hermitowskiej s
ą^ rzeczywiste oraz istnieje baza ortonormalna zło
żona z jej
wektorów własnych.Twierdzenie:
(Gerszgorin)
Ka
żda warto
ść^
własna macierzy A
∈^
n x nC
le
ży co najmniej w jednym z kół płaszczyzny zespolonej o
środku w
aii
i
promieniu:
n = ∑= j^ ≠ ij
ij
i^
a
R^
1
Twierdzenie: Jeś
li k kół Gerszgorina tworzy obszar spójny rozł
ączny z pozostałymi kołami, to w obszarze tym le
ży dokładnie k
warto
ści własnych macierzy A (licz
ąc ich krotno
ści).
Metoda pot
ęgowa.
Niech A
∈^
n x nC
b ędzie macierz
ą^ diagonalizowaln
ą^ oraz jej warto
ści własne spełniaj
ą
|λ^1
λ|^2
≥^
|λ^3
|≥^
...^
≥^ |
λ|n
Metoda pot
ęgowa wyznaczaj
ąca
λ^1
i kierunek wektora własnego v
polega na konstrukcji ci 1
ągu wektorów {x
}k
xk^
= A x
k-
= A
k^ x
0
Przybli
żenie pocz
ątkowe x
przedstawiamy jako kombinacj 0
ę^ liniow
ą
∑=
n i
vii
c
x^
1 0
wektorów własnych v
macierzy A. Wtedyi
∑
∑
∑
=
=
=^
n i
i k i i
k
n i
i k i i
n i
i k i
k k^
v
c
vc
v c v A c x A
x^
2
1
(^11) 1
1
1 0
λ λ
λ
λ
Poniewa
ż^
∞ →^
0 k λ 1
dla |
λ^1
|^ ≠
1 proces iteracyjny wymaga normalizacji wektorów x
.k
0
=^ =
−
k
y
y
x
Ax
x y
k k k
k
k Ciąg przybli
żeń
dominuj
ącej warto
ści własnej
λ^1
mo
żna wyznacza
ć^ za pomoc
ą^ tzw. ilorazów Rayleigh’a
(^
)
(^
)^
1
,^ ,
λ
σ^
→∞→
=^
k k k
k k
k^
x x
Ax x
Deflacja Niech
λi
bę dzie warto
ści
ą^ własn
ą^ macierzy A
∈^ C
n x n
, a v
jest odpowiadaji
ącym jej wektorem własnym.
Deflacj
ą
nazywamy skonstruowanie takiej macierzy B, która ma te same warto
ści własne co macierz A oprócz
λi
Niech P b
ędzie tak
ą^ nieosobliw
ą^ transformacj
ą,^ że^
P v
= ei
,^1
e^1
≡^ (1, 0, 0, ..., 0)
Poniewa
ż^ A v
=i λi^
vi^
to (PAP
-1) P v
=i λi^
P v
, czyli (PAPi
-1) e
λi^
e^1
= −
(^0) ... 0 1
b B
PAP
λ^ i
gdzie b jest wektorem, za
ś^ B
∈^
(n-1) x (n-1)C
Teraz wektorem własnym odpowiadaj
ącym
λi^
jest e
, oraz z równo 1
ści
det(P A P
-1^ –
λ^
I) = (
λ–i^
λ) det(B –
λ^
I)
wynika,
że B ma pozostałe warto
ści własne macierzy A.
Jak maj
ąc warto
ści i wektory własne macierzy B otrzyma
ć^ wektory własne macierzy A?
Załó
żmy,
że Bw
=j λwj
j^
oraz PAP
-1u
=j λuj
.j
Przewidujemy,
że wektor własny u
ma postaj
ć^
j j^
v w u^
,^
gdzie v jest szukan
ą^ liczb
ą.
Z równania
^ =
j j j
i
v w
v w
b B
λ^0 ...^0
otrzymujemy,
że
λv + (b, wi
) =j
λj v , czyli v = (b, w
) / (j
λ-j^
λ)i
oraz wektorem własnym macierzy A odpowiadaj
ącym warto
ści własnej
λj^
jest v
= Pj
-1^ u
.j
Macierz
T
∈ ij
R
n x n
(i^
≠^ j) obrotu o k
ąt^ θ^ w płaszczy
źnie rozpi
ętej przez wersory
ei^
i^ e
ma posta j
ć
−
=
1 ... 1 cos ... ... ... sin
... 1
...
...
...
...
...
1 ...
sin ... ... ... cos 1 ... 1
θ
θ
θ
θ
T^ ij
i ró
żni si
ę^ od macierzy jednostkowej tylko elementami t
= tii
= cosjj
θ, oraz t
= -tij
= sinji
θ.
Ką
t obrotu
θ^
otrzymujemy z warunku:
a’pq
= a’
qp^
= (a
qq^
)cospp
θ^ sin
θ^ +a
(cospq
-sin
Stą
d^
tan(
θ) = 2 a
pq^
/ (a
pp^
)qq
Dobieramy |
θ|^ ≤^ π
/4 gdy a
≠pp aqq
oraz
θ^
=^
±^ π/4 dla a
= app
w zaleqq
żno
ści od znaku a
.pq
Macierz A
k+
ró żni si
ę^ od A
tylko elementami:k
a’pp
= a
, a’pq
= aqq
qq^
,pq
a’jp
= a’
= apj
)^ pj
dla j = 1, 2, ..., n,
j
≠^
p
a’jq
= a’
= aqj
)^ qj
dla j = 1, 2, ..., n,
j
≠^
q
gdzie:
t^ ≡
cos
θ^ / sin
θ,^
r^ ≡
sin
θ^ / (1 + cos
θ).
Aby otrzyma
ć^ wektory własne, trzeba oblicza
ć^ macierze
Vk
= Q
Q 1
...Q 2
= Vk
Qk-
,^ k
k = 1, 2, ...
(V
I)
Gdzie Q
jest obrotem Tk
wykonywanym w k-tym kroku.pq
Kolumny macierzy V
dk ążą
do wektorów własnych v
odpowiadaji
ących warto
ściom własnym
λi^
Do otrzymania maksymalnej, mo
żliwej dokładno
ści wystarcza na ogół 5n
2 obrotów.
Przy u
życiu transformacji Householdera, je
śli A
A, to dla k = 2, 3, ..., n-1 obliczamy
Ak
= P
(k)^
Ak-
(P
(k))
-^
= P
(k)^
Ak-
(k)P
gdzie P
(k)^
są^
przekształceniami Householdera postaci:
)(
=^
k
n
k
P
I
P^
k
k
Macierz
Tk k k
k^
u u K I P^
) ~( ~ 1
~^
)( )(
)(
− =^
dobieramy tak, aby mno
żenie P
(k)^
przez A
k-
wyzerowało elementy (k+1, k-1), (k+2, k-1), ..., (n, k-1) macierzy A
k-^
W ten sposób po n-2 krokach otrzymujemy A
n-^
w postaci Hessenberga.
Metody wyznacznikowe. Metody wyznacznikowe pozwalaj
ą^ na obliczenie warto
ści wielomianu charakterystycznego macierzy p(
λ)^
≡^ det(H-
λI) oraz jego pochodnej dla dowolnej warto
ści
λ, gdzie H jest macierz
ą^ w postaci Hessenberga lub trójdiagonalnej
symetrycznej. Metoda Hymana Dodanie do pierwszego wiersza macierzy H –
λI dowolnej kombinacji liniowej pozostałych jej wierszy nie zmienia
wyznacznika tej macierzy.W metodzie Hymana do pierwszego wiersza macierzy
− − − − = −
−
λ
λ
λ
λ
λ
nn nn
n n n h h
h
h h
h
h
h h
h h h h I H (^1) ,
3
33 32
2
23
22 21
1
13
12
11
0
0
0
...
...
...
...
...
...
0
... ...
dodajemy wiesze o numerach i = 2, 3, ..., n pomno
żone liczby q
= qi
(λi ) dobrane tak, aby po dodaniu tylko ostatni
element pierwszego wiersza h
pozostał niezerowy.1n
Wynika st
ąd,
że
p(
λ) = det(H –
λI) = (-1)
n+
h^21
h 32
... h
n, n-
h’
1n
tzn.
że zera wielomianu p(
λ) s
ą^ równe zerom wielomianu q
n+
(λ),
którego warto
ści mo
żemy oblicza
ć^ z powy
ższej zale
żno
ści rekurencyjnej (je
śli przyjmiemy h
n+1,n
≡^
Ró
żniczkuj
ąc te zale
żno
ści rekurencyjne mo
żemy otrzyma
ć^ równie
ż^ warto
ści pochodnej p’(
λ), co pozwala na
zastosowanie jednej z metod wyznaczania zer funkcji nieliniowej.
W przypadku macierzy trójdiagonalnej
, dla dowolnej liczby
λ^
elementy ci
ągu p
(λi ) okre
ślone przez:
p(^0
λ) =1, p(^1
λ) = a
λ,
p(i
λ) = (a
(i- λ) – b
2 pi
(i- λ)^
dla i = 2, 3, ..., n
są^
równe kolejnym minorom głównym macierzy T –
λI.
Stą
d:^
p(λ
) = det(T –
λI) = p
(λn
Podobnie jak w przypadku macierzy Hessenberga, ró
żniczkuj
ąc powy
ższe zale
żno
ści rekurencyjne mo
żemy
otrzyma
ć^ równie
ż^ warto
ści pochodnej p’(
λ), co pozwala na zastosowanie jednej z metod wyznaczania zer funkcji
nieliniowej.
Twierdzenie:
1.^
Jeś
li^ A
ma warto
ści własne
λi
ró żni
ące si
ę^ co do modułu to
A
( dla k k
) d
ąż y do postaci trójk
ątnej górnej i
elementy diagonalne d
ążą
do warto
ści własnych uporz
ądkowanych rosn
ąco co do modułu.
2.^
Jeś
li A ma warto
ść^
własn
ą^ | λi
| o krotno
ści p to
Ak
( dla k
) d
ąży do postaci trójk
ątnej górnej i elementy
diagonalne d
ążą
do warto
ści własnych z wyj
ątkiem diagonalnego bloku (podmacierzy) rz
ędu p którego warto
ści
własne d
ążą
do |
λi
3.^
Pozadiagonalne elementy
Ak
dążą
do zera proporcjonalnie do
k i j
k ij
a^
λ λ )(
Dla przy
śpieszenia zbie
żno
ści stosuje si
ę^ technik
ę^ „przesuni
ęć
zamiast macierzy
A^
w metodzie QR rozpatrujemy macierz
( A – s
I ).k
Ak
- s
I,= Qk
Rk k
Ak+
= R
Qk
+ sk
I^ k
(= Q
T^ Ak
Qk
)k
Zbie
żno
ść^
jest teraz proporcjonalna do
k k j
k i
k ij
s s
a^
−^ −
)(
Optymaln
ą^ warto
ści
ą^ dla s
jest sk
~k λ^1
gdzie
λ^1
jest najmniejsz
ą^ warto
ści
ą^ własn
ą.
