Pobierz Algorytmy grafy podstawa i więcej Schematy w PDF z Algorytmy zaawansowane tylko na Docsity!
Podstawy geometrii obliczeniowej
Tomasz M. Gwizdaªªa
Algorytmy geometryczne Podstawy Wspóªliniowo±¢, lewo, prawo
Wspóªliniowo±¢ punktów
yC − yA xC − xA
yB − yA xB − xA
xA(yB − yC )+xB (yC − yA)+xC (yA − yB ) = 0
det(A , B , C ) =
xA yA 1
xB yB 1
xC yC 1
Algorytmy geometryczne Podstawy Wspóªliniowo±¢, lewo, prawo
Lewo i prawo
Narysujmy odcinek pomi¦dzy punktami A( 1 , 1 ) i B( 4 , 4 )
oraz punkty C ( 5 , 1 ) i D( 1 , 5 )
Jak mo»na okre±li¢ poªo»enie punktów C i D wzgl¦dem odcinka AB?
Algorytmy geometryczne Podstawy Wspóªliniowo±¢, lewo, prawo
Lewo i prawo
det(A , B , C ) =
det(A , B , D) =
det(B , A , C ) =
det(B , A , D) =
Je±li det(A , B , C ) < 0 to punkt C jest z prawej strony odcinka AB Je±li det(A , B , C ) > 0 to punkt C jest z lewej strony odcinka AB
Odcinka, czy póªprostej lub wektora?
Notes
Notes
Notes
Notes
Podstawy Wspóªliniowo±¢, lewo, prawo
Wspóªliniowo±¢ punktów
Jak jednoznacznie okre±li¢, czy punkt C nale»y do odcinka AB?
Aby punkt C nale»aª do odcinka AB potrzeba i wystarcza, aby punkty te byªy wspóªliniowe, oraz
min(xA , xB ) ¬ xC ¬ max(xA , xB ) ∧ min(yA , yB ) ¬ yC ¬ max(yA , yB )
Algorytmy geometryczne Podstawy Przecinanie
Przecinanie si¦ odcinków
Jak wida¢ odcinek AB jest przecinany przez odcinki: K 1 L 1 K 2 L 2 K 3 L 3
Jak zapisa¢ reguª¦ przecinania?
Algorytmy geometryczne Podstawy Przecinanie
Przecinanie si¦ odcinków
det(A , B , L 1 ) < 0, det(A , B , K 1 ) > 0 det(K 1 , L 1 , A) < 0, det(K 1 , L 1 , B) > 0
det(A , B , L 2 ) < 0, det(A , B , K 2 ) > 0 det(K 2 , L 2 , A) = 0, det(K 2 , L 2 , B) > 0
det(A , B , L 3 ) = 0, det(A , B , K 3 ) > 0 det(K 3 , L 3 , A) < 0, det(K 3 , L 3 , B) = 0
det(A , B , L 4 ) < 0, det(A , B , K 4 ) < 0 det(K 4 , L 4 , A) < 0, det(K 4 , L 4 , B) > 0
Algorytmy geometryczne Podstawy Przecinanie
Przecinanie si¦ odcinków
Warunek przecinania si¦ odcinków mo»na sformuªowa¢ nast¦puj¡co:
Aby dwa odcinki si¦ przecinaªy nie mo»e mie¢ miejsca taka sytuacja,
»e oba kra«ce jednego z odcinków s¡ po tej samej stronie drugiego.
Oba wyznaczniki nie mog¡ mie¢ tego samego znaku.
Notes
Notes
Notes
Notes
Przecinanie i zamiatanie Algorytm zamiatania
Struktury
Wykorzystujemy dwie struktury danych:
▶ X, Harmonogram zdarze«
posortowany wzgl¦dem wspóªrz¦dnej x zbiór punktów
ko«cowych odcinków oraz punktów przeci¦¢ odcinków
aktywnych, które byªy s¡siadami w strukturze Y
▶ Y, Struktura stanu
zbiór zawieraj¡cy nazwy odcinków aktywnych
uporz¡dkowanych wzgl¦dem wspóªrz¦dnej y punktu
przeci¦cia z miotª¡, cz¦sto zbalansowane BST
Algorytmy geometryczne Przecinanie i zamiatanie Algorytm zamiatania
Przebieg
▶ W strukturze X umie±¢ uporz¡dkowane ko«ce wszystkich
odcinków
▶ Wybierz i usu« z X element minimalny. Je±li jest on:
▶ pocz¡tkiem odcinka - dodajemy nazw¦ do Y;
sprawdzamy przeci¦cia z s¡siadami w Y; je±li takie
istniej¡ umieszczamy wspóªrz¦dne przeci¦¢ w X
▶ ko«cem odcinka - usuwamy nazw¦ z Y
▶ punktem przeci¦cia odcinków - zamieniamy poªo»enia
odcinków w Y; sprawdzamy przeci¦cia na prawo od
miotªy z nowymi s¡siadami; je±li takie istniej¡
umieszczamy wspóªrz¦dne przeci¦¢ w X
▶ Te operacje powtarzamy a» do opró»nienia X
Algorytmy geometryczne Przecinanie i zamiatanie Algorytm zamiatania
Przykªad
Rozwa»my zbiór skªadaj¡cy si¦ z odcinków:
A[( 1 , 1 ) , ( 2 , 4 )]
B[( 1 , 3 ) , ( 4 , 0 )]
C [( 1. 5 , 2 ) , ( 3 , 2 )]
Punkty przeci¦cia
A z B ( 1_._ 5 , 2_._ 5 ) B z C ( 2 , 2 )
Algorytmy geometryczne Przecinanie i zamiatanie Algorytm zamiatania
Przykªad (1)
X:
(^1) A , b , (^1) B , b , 1_._ (^5) C , b , (^2) A , e , (^3) C , e , (^4) B , e
Y:
X:
(^1) B , b , 1_._ (^5) C , b , (^2) A , e , (^3) C , e , (^4) B , e
Y: A( 1 )
Notes
Notes
Notes
Notes
Przecinanie i zamiatanie Algorytm zamiatania
Przykªad (2)
X:
1_._ (^5) C , b , (^2) A , e , (^3) C , e , (^4) B , e
Y: A( 1 ) , B( 3 )
X:
1_._ (^5) AB , 1_._ (^5) C , b , (^2) A , e , (^3) C , e , (^4) B , e
X:
1_._ (^5) C , b , (^2) A , e , (^3) C , e , (^4) B , e
Y: B( 2. 5 ) , A( 2. 5 )
Algorytmy geometryczne Przecinanie i zamiatanie Algorytm zamiatania
Przykªad (3)
X:
(^2) A , e , (^3) C , e , (^4) B , e
Y: C ( 2 ) , B( 2. 5 ) , A( 2. 5 )
X:
(^2) A , e , (^2) BC , (^3) C , e , (^4) B , e
X:
(^2) BC , (^3) C , e , (^4) B , e
Y: C ( 2 ) , B( 2. 5 )
Algorytmy geometryczne Przecinanie i zamiatanie Algorytm zamiatania
Przykªad (4)
X:
(^3) C , e , (^4) B , e
Y: B( 2 ) , C ( 2 )
X:
(^4) B , e
Y: B( 2 )
itd.
Algorytmy geometryczne Wypukªa otoczka Sortowanie wg. k¡ta promienia wodz¡cego
Cel
Procedura sortowania ze wzgl¦du na k¡t promienia wodz¡cego
poprowadzonego do danego punktu jest procedur¡
pomocnicz¡, wykorzystywan¡ w innych zagadnieniach.
Notes
Notes
Notes
Notes
Wypukªa otoczka Algorytm Grahama
Kolejne dwa punkty
WO: A, F, H
Wiemy te», »e do wypukªej otoczki b¦dzie nale»aª punkt F.
Algorytmy geometryczne Wypukªa otoczka Algorytm Grahama
Powtarzamy
Podstaw¡ algorytmu jest sprawdzenie, czy kolejny punkt znajduje si¦ po prawej, czy po lewej stronie odcinka ª¡cz¡cego dwa ostatnie punktu w strukturze WO. Wyró»niamy dwie mo»liwo±ci: ▶ (^) Punkt znajduje si¦ po lewej stronie odcinka lub jest z nim wspóªliniowy - kolejny punkt dodajemy do struktury WO ▶ Punkt znajduje si¦ po prawej stronie odcinka - kolejny punkt zast¦puje ostatni w strukturze WO (trzeba wtedy wykona¢ sprawdzenie tak»e dla poprzednich par punktów na li±cie, ewentualnie usuwaj¡c wcze±niejsze punkty z WO)
WO: A, F, C
Algorytmy geometryczne Wypukªa otoczka Algorytm Grahama
WO: A, F, C, E
Ten algorytm powtarzamy dla ka»dego punktu na posortowanej li±cie.
Algorytmy geometryczne Wypukªa otoczka Algorytm Grahama
WO: A, F, C, E
Notes
Notes
Notes
Notes
Wypukªa otoczka Algorytm Grahama
WO: A, F, C, B
Algorytmy geometryczne Wypukªa otoczka Algorytm Grahama
WO: A, F, C, B, D
Algorytmy geometryczne Wypukªa otoczka Algorytm Grahama
WO: A, F, C, B, D, G
Punkt G jest ostatnim analizowanym punktem.
Algorytmy geometryczne Drzewo BSP Kolejno±¢ renderowania obiektów
Poj¦cie
BSP Binary Space Partition, Binarny Podziaª Przestrzeni
Drzewo BSP jest struktur¡ umo»liwiaj¡c¡ okre±lenie kolejno±ci
rysowania obiektów tak, aby obiekt znajduj¡cy si¦ dalej nie
przekrywaª obiektów bli»szych.
Innymi popularnymi metodami takiego porz¡dkowania s¡
metody typu:
depth sort
z-sort
Notes
Notes
Notes
Notes
Drzewo BSP Drzewo BSP
Rysowanie
Kolejno±¢ rysowania musi by¢ taka, aby obiekty dalsze byªy
rysowane wcze±niej, czyli wybieramy zawsze najpierw prawe
poddrzewa i obiekty.
Zatem kolejno±¢ rysowania jest nast¦puj¡ca:
D, A, B, G, C, E, F
Algorytmy geometryczne Drzewo BSP Drzewo BSP
Problemy
1. Obiekty o du»ych rozmiarach, które trzeba dzieli¢
2. Zmiana poªo»enia obserwatora
Algorytmy geometryczne Drzewo BSP Drzewo BSP
Problemy
Zaªó»my, »e obserwator zmieniª
poªo»enie.
Przeanalizujmy drzewo BSP
zapisuj¡c w k6 ka»dym w¦¹le, czy
obserwator jest w podprzestrzeni
wskazywanej przez strzaªk¦ (p), czy
w drugiej (z).
Post¦pujmy teraz analogicznie, jak
w poprzedniej sytuacji, czyli
najpierw wybieramy to, co jest w
dopeªniaj¡cej podprzestrzeni
A B D F E C G
Notes
Notes
Notes
Notes
