Docsity
Zaloguj sięZarejestruj się
Docsity
Przygotuj się do egzaminów
Przygotuj się do egzaminów

Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity

Otrzymaj punkty, aby pobrać
Otrzymaj punkty, aby pobrać

Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium

Informacje i wskazówki
Informacje i wskazówki
Sprzedaj na Docsity
Sprzedaj na Docsity
Zaloguj sięZarejestruj się

Przygotuj się do egzaminów

Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity

Znajdź dokumenty

Przygotuj się do egzaminów dzięki dokumentom udostępnionym na Docsity przez studentów, takich jak ty

Szukaj dokumentów Store

Najlepsze dokumenty w sprzedaży, umieszczone przez studentów, którzy ukończyli studia

Przeszukaj wszystkie materiały do ​​nauki
Docsity AINEW

Streszczaj swoje dokumenty, zadawaj im pytania, przekształcaj je w quizy i mapy myśl

Otrzymaj punkty, aby pobrać

Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium

Udostępniaj dokumenty
download point icon20 Punktów

Za każdy zamieszczony dokument

Wszystkie sposoby na zdobycie darmowych punktów
Zdobądź punkty już teraz

Wybierz plan Premium z odpowiednią dla Ciebie ilością punktów

Możliwości studiowania

Wybierz swój przyszły program studiów

Dotrzyj do najlepszych uniwersytetów na świecie już teraz. Szukaj wśród tysięcy uczelni i oficjalnych partnerów

Społeczność

Ranking uczelni

Odkryj najlepsze uniwersytety w twoim kraju, według użytkowników Docsity

Bezpłatne poradniki

Nasze e-booki ratujące uczniów i studentów!

Pobierz bezpłatnie nasze przewodniki na temat technik studiowania, metod panowania nad stresem, wskazówki do przygotowania do prac magisterskich opracowane przez wykładowców Docsity

Analiza II - opracowane treści z wykładów, Publikacje z Analiza matematyczna

Politechnika Warszawska (PW)Analiza matematyczna

Opracowanie z zakresu tematu

Typologia: Publikacje

2019/2020

Załadowany 16.07.2020

Polanski_R
Polanski_R 🇵🇱

4.6

(107)

353 dokumenty

1 / 3

Toggle sidebar

Ta strona nie jest widoczna w podglądzie

Nie przegap ważnych części!

bg1
Wykład 5
Wiadomości wstępne
Łuk (zwykły) na płaszczyźnie (krótko: łuk) jest to zbiór wszystkich punktów (x, y) o współrzęd-
nych x=x(t), y=y(t), gdzie x(t) i y(t) są funkcjami ciągłymi, określonymi na przedziale hα;βi;
bez punktów wielokrotnych tzn. dla różnych wartości parametru t∈(α;β) otrzymujemy różne
punkty na łuku.
Układ: x=x(t), y =y(t), t ∈ hα;βi–przedstawienie parametryczne łuku.
Punkty A(x(α), y(α)) i B(x(β), y(β)) – końce łuku.
Łuk jest otwarty, jeżeli A6=B.
Łuk jest zamknięty (in. jest krzywą zamkniętą,krzywą Jordana), jeżeli A=B.
Łuk gładki – taki łuk, dla którego pochodne x0(t) i y0(t) są ciągłe na przedziale hα;βioraz nie
są w żadnym punkcie tego przedziału jednocześnie równe 0.
Łuk kawałkami gładki jest to skończona suma łuków gładkich.
Łukowi można nadać kierunek od Ado B(ozn. d
AB) lub na odwrót ( d
BA). Łuk, któremu nadano
kierunek, nazywamy łukiem skierowanym.
Definicja 1. Przedstawienie parametryczne i kierunek łuku są zgodne, jeśli kierunek łuku jest
zgodny z kierunkiem wzrostu parametru t. W przeciwnym wypadku przedstawienie parametrycz-
ne i kierunek łuku są niezgodne.
Uwaga 1. Jeżeli przedstawienie parametryczne x=x(t), y =y(t), t ∈ hα;βijest niezgodne z
nadanym mu kierunkiem, to przedstawienie
x=x(−t), y =y(−t), t ∈ h−β , −αi
będzie z tym kierunkiem zgodne.
Obszar w R2nazywamy obszarem jednospójnym, jeżeli należy do niego wnętrze każdej zawartej
w nim krzywej Jordana. Warunek ten oznacza, że obszar jest ”bez dziur”.
Niech Dbędzie obszarem normalnym względem obu osi współrzędnych, a krzywa Jordana K
jego brzegiem. Jeżeli kierunek na krzywej Kjest określony tak, że poruszając się po Kobszar
Djest po lewej stronie, to krzywa Kjest skierowana dodatnio względem swego wnętrza D. W
przeciwnym razie jest skierowana ujemnie względem swego wnętrza D.
Całka krzywoliniowa skierowana w R2
Niech d
AB – łuk zwykły skierowany o przedstawieniu parametrycznym x=x(t), y =y(t), t ∈
hα;βizgodnym z kierunkiem tego łuku oraz para uporządkowana [P(x, y); Q(x, y)] funkcji okre-
ślonych na tym łuku.
Analiza 2 (ANAL2) dr Ewa Stankiewicz-Wiechno 2015
pf3

Podgląd częściowego tekstu

Pobierz Analiza II - opracowane treści z wykładów i więcej Publikacje w PDF z Analiza matematyczna tylko na Docsity!

Wykład 5

Wiadomości wstępne

Łuk (zwykły) na płaszczyźnie (krótko: łuk) jest to zbiór wszystkich punktów ( x, y ) o współrzęd- nych x = x ( t ), y = y ( t ), gdzie x ( t ) i y ( t ) są funkcjami ciągłymi, określonymi na przedziale 〈α ; β〉 ; bez punktów wielokrotnych tzn. dla różnych wartości parametru t ∈ ( α ; β ) otrzymujemy różne punkty na łuku.

Układ: x = x ( t ) , y = y ( t ) , t ∈ 〈α ; β〉 – przedstawienie parametryczne łuku.

Punkty A ( x ( α ) , y ( α )) i B ( x ( β ) , y ( β )) – końce łuku.

Łuk jest otwarty, jeżeli A 6 = B.

Łuk jest zamknięty (in. jest krzywą zamkniętą, krzywą Jordana), jeżeli A = B.

Łuk gładki – taki łuk, dla którego pochodne x′ ( t ) i y′ ( t ) są ciągłe na przedziale 〈α ; β〉 oraz nie są w żadnym punkcie tego przedziału jednocześnie równe 0.

Łuk kawałkami gładki jest to skończona suma łuków gładkich.

Łukowi można nadać kierunek od A do B (ozn. AB ̂ ) lub na odwrót ( BA ̂ ). Łuk, któremu nadano kierunek, nazywamy łukiem skierowanym.

Definicja 1. Przedstawienie parametryczne i kierunek łuku są zgodne, jeśli kierunek łuku jest zgodny z kierunkiem wzrostu parametru t. W przeciwnym wypadku przedstawienie parametrycz- ne i kierunek łuku są niezgodne.

Uwaga 1. Jeżeli przedstawienie parametryczne x = x ( t ) , y = y ( t ) , t ∈ 〈α ; β〉 jest niezgodne z nadanym mu kierunkiem, to przedstawienie

x = x ( −t ) , y = y ( −t ) , t ∈ 〈−β , −α〉

będzie z tym kierunkiem zgodne.

Obszar w R^2 nazywamy obszarem jednospójnym, jeżeli należy do niego wnętrze każdej zawartej w nim krzywej Jordana. Warunek ten oznacza, że obszar jest ”bez dziur”.

Niech D będzie obszarem normalnym względem obu osi współrzędnych, a krzywa Jordana K jego brzegiem. Jeżeli kierunek na krzywej K jest określony tak, że poruszając się po K obszar D jest po lewej stronie, to krzywa K jest skierowana dodatnio względem swego wnętrza D. W przeciwnym razie jest skierowana ujemnie względem swego wnętrza D.

Całka krzywoliniowa skierowana w R^2

Niech AB ̂ – łuk zwykły skierowany o przedstawieniu parametrycznym x = x ( t ) , y = y ( t ) , t ∈ 〈α ; β〉 zgodnym z kierunkiem tego łuku oraz para uporządkowana [ P ( x, y ); Q ( x, y )] funkcji okre- ślonych na tym łuku.

Niech n ∈ N – ustalona liczba naturalna. Dzielimy przedział 〈α ; β〉 na n części punktami:

α = t 0 < t 1 < t 2 <... < tn− 1 < tn = β.

Odpowiadają temu punkty na łuku: A 0 , A 1 ,... An , gdzie Ak = ( x ( tk ) , y ( tk )) , k = 1 ,... n. W przedziale 〈tk− 1 ; tk〉 , k = 1 ,... , n wybieramy dowolnie punkt τk. Tworzymy sumę

Sn =

∑^ n

k =

( P ( x ( τk ) , y ( τk )) · ( x ( tk ) − x ( tk− 1 )) + Q ( x ( τk ) , y ( τk )) · ( y ( tk ) − y ( tk− 1 )))

Definicja 2. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału 〈α ; β〉 ciąg ( Sn ) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów τk , to wartość tej granicy nazywamy całką krzywoliniową skierowaną (zorientowaną) pary funkcji [ P ( x, y ); Q ( x, y )] po łuku AB ̂ i oznaczamy ∫̂

AB

P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy

Przy oznaczeniach [ P ( x, y ); Q ( x, y )] ozn = −−−−→ R ( x, y ) oraz [ dx, dy ] ozn = −→ dl : ∫̂

AB

P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy =

∫̂

AB

R ( x, y ) ◦

dl

Uwaga 2. Własności całki

∫̂

AB

R ( x, y ) ◦

dl = −

∫̂

BA

R ( x, y ) ◦

dl ,

∫̂

AB

k ·

R ( x, y ) ◦

dl = k ·

∫̂

AB

R ( x, y ) ◦

dl , k ∈ R,

∫̂

AB

R 1 ( x, y ) +

R 2 ( x, y )

) ◦

dl =

∫̂

AB

R 1 ( x, y ) ◦

dl +

∫̂

AB

R 2 ( x, y ) ◦

dl

Jeżeli całkę krzywoliniową obliczamy po łuku zamkniętym K , to zamiast symbolu

∫̂

AB

używamy

symbolu

∮

K

(zaznaczając ew. strzałką na kółeczku skierowanie krzywej).

Twierdzenie 1. (o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na całkę oznaczoną) Jeżeli funkcje P ( x, y ) , Q ( x, y ) są ciągłe na łuku gładkim AB ̂ o parametryzacji x = x ( t ) , y = y ( t ), t ∈ 〈α ; β〉 zgodnej z kierunkiem tego łuku, to

∫̂

AB

P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy =

∫^ β

α

( P ( x ( t ) , y ( t )) · x′ ( t ) + Q ( x ( t ) , y ( t )) · y′ ( t )) dt

Uwaga 3. Wartość całki krzywoliniowej skierowanej zależy (na ogół) od kształtu drogi całko- wania.