Pobierz Analiza matematyczna 3 - zestaw zadań i więcej Zadania w PDF z Analiza matematyczna tylko na Docsity!
MAT1331 Analiza Matematyczna 2
Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej
Opracowanie: Ewa Pitner, I rok, Matematyka Stosowana
Zadanie nr 6 z listy 4.
Sprawdzić zbieżność całek niewłaściwych
(a)
0
dx 1 − x^30 ; (b)
1
xe−x^ ln x dx; (c)
1
ln^2 x x sin x dx.
Rozwiązanie
(a) •
0
dx 1 − x^30 to całka niewłaściwa drugiego rodzaju, dla której punktem osobliwym jest punkt x = 1, ponieważ punkt ten nie znajduje się w dziedzinie funkcji podcałkowej.
- Aby sprawdzić zbieżność tej całki, skorzystamy z kryterium ilorazowego. Przypomnijmy teraz to kryterium w formie, z której będziemy korzystać.
Kryterium ilorazowe Założenia:
∀a≤x<b f (x) ≥ 0 ∧ g(x) > 0; istnieje skończona granica lim x→b−
f (x) g(x) = λ > 0.
Teza: całka
∫ (^) b
a
g(x)dx jest zbieżna ⇔ całka
∫ (^) b
a
f (x)dx jest zbieżna.
- Funkcja podcałkowa jest postaci f (x) =
1 − x^30 , a = 0, b = 1. Szukamy funkcji g(x), dla
której spełnione są założenia kryterium i dla której łatwo sprawdzimy, czy całka
0
g(x)dx jest zbieżna.
1 − x.^ Mamy
lim x→ 1 −
f (x) g(x) = lim x→ 1 −
1 − x 1 − x^30
[
]
H = lim x→ 1 −
− 30 x^29
Ponadto ∫ (^1)
0
dx 1 − x = − lim T → 1 −
∫ T
0
−dx 1 − x = − lim T → 1 − [ln | 1 − x|]T 0 = −(−∞ − 0) = +∞,
tzn. całka
0
dx 1 − x jest rozbieżna do^ +∞. Zatem na podstawie kryterium ilorazowego wnio- skujemy, że całka
0
dx 1 − x^30 również jest rozbieżna do +∞.
(b) • W tym przykładzie do sprawdzenia zbieżności całki użyjemy kryterium porównawczego.
Kryterium porównawcze Załóżmy, że funkcje f (x) i g(x) spełniają nierówność
∀x≥a 0 ≤ f (x) ≤ g(x).
Wówczas:
jeśli całka
a
g(x)dx jest zbieżna, to całka
a
f (x)dx też jest zbieżna;
jeśli całka
a
f (x)dx jest rozbieżna, to całka
a
g(x)dx też jest rozbieżna.
- Wiemy, że ∀x≥ 1 0 ≤ ln x < x ⇒ ∀x≥ 1 0 ≤ xe−x^ ln x < x^2 e−x.
Zatem wystarczy, że pokażemy, że całka
1
x^2 e−xdx jest zbieżna, a z tego wywnioskujemy
zbieżność całki
1
xe−x^ ln x dx na podstawie kryterium porównawczego.
- Dla ułatwienia najpierw obliczymy całkę nieoznaczoną
x^2 e−xdx. Wykorzystamy metodę całkowania przez części.
x^2 e−xdx =
f^ =^ x
(^2) f ′ (^) = 2x
g′^ = e−x^ g = −e−x
(^) = −x^2 e−x^ + 2
xe−xdx =
f^ =^ x^ f^
g′^ = e−x^ g = −e−x
= −x^2 e−x^ − 2 xe−x^ + 2
e−xdx = −e−x(x^2 + 2x + 2) + c
- Przejdziemy teraz do obliczenia całki niewłaściwej
1
x^2 e−xdx.
1
x^2 e−xdx = (^) T →lim+∞
∫ T
1
x^2 e−xdx = (^) T →lim+∞[−e−T^ (T 2 + 2T + 2) + 5e−^1 ] =
= − lim T →+∞
T 2 + 2T + 2
eT^
+^5
e
[ ∞
] H
= lim T →+∞
2 T + 2
eT^
+^5
e
[ ∞
] H
= lim T →+∞
eT^
+^5
e
=^5
e
Zatem całka
1
x^2 e−xdx jest zbieżna.
- Stąd na podstawie kryterium porównawczego wnioskujemy, że badana całka jest zbieżna.
