Pobierz Analiza matematyczna I - wykłady i więcej Skrypty w PDF z Matematica Generale tylko na Docsity!

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Wydział Matematyki i Informatyki

Krzysztof Frączek

Analiza Matematyczna I

Wykład dla studentów I roku kierunku informatyka

Toruń 2016

Spis treści

• 1 Liczby rzeczywiste
• 2 Ciągi liczbowe
• 3 Szeregi liczbowe
  • 3.1 Szeregi o wyrazach nieujemnych
• 4 Dowolne szeregi rzeczywiste c.d.
  • 4.1 Iloczyn szeregów
• 5 Granica funkcji
• 6 Ciągłość funkcji
• 7 Pochodna funkcji
  • 7.1 Wzór Taylora
  • 7.2 Przybliżone rozwiązywanie równań
• 8 Całka nieoznaczona
  • 8.1 Całkowanie funkcji wymiernych
  • 8.2 Całkowanie pewnych funkcji niewymiernych
• 9 Całka Riemanna
  • 9.1 Zastosowania geometryczne całki Riemanna
  • 9.2 Całki niewłaściwe
• 10 Ciągi i szeregi funkcyjne
  • 10.1 Szeregi funkcyjne
  • 10.2 Różniczkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych
  • 10.3 Całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych
• 11 Przybliżone metody całkowania

1 LICZBY RZECZYWISTE 2

Uwaga 2_._ Niech x ∈ X. Wówczas isnieje y ∈ X taki, że x + y = 0. Zauważmy, że taki, element jest tylko jeden. Rzeczywiści załóżmy, że x + y ′^ = 0. Wówczas

y = y + 0 = y + (x + y ′ ) = (y + x) + y ′^ = 0 + y ′^ = y ′.

Ten jedyny element przeciwny do x będziemy oznaczać − x. Podobnie jeśli x 6 = 0 istnieje jedyny element, który będziemy oznaczać przez x −^1 lub (^1) x , taki, że x · x −^1 = 1. Wykorzystując te oznaczenia definiujemy nowe działania w zbiorze X: odejmowanie i dzielenie. Różnicą dwóch liczb x, y ∈ X nazywamy liczbę

x − y = x + ( − y).

Jeśli y 6 = 0, to ilorazem x i y nazywamy liczbę

x y

= x · y −^1.

Definicja. Niepusty podzbiór A ⊂ X nazywa się

• ograniczonym z góry , gdy ∃M ∈X ∀x∈A x ¬ M. Liczba M jest wówczas nazywana ograniczeniem górnym zbioru A.
• ograniczonym z dołu , gdy ∃m∈X ∀x∈A m ¬ x. Liczba m jest wówczas nazywana ograniczeniem dolnym zbioru A.
• ograniczonym , gdy ∃m,M ∈X ∀a∈A m ¬ x ¬ M.

Uwaga 3_._ Będziemy stosować następującą notację

x < y ⇐⇒ x ¬ y ∧ x 6 = y

oraz x y ⇐⇒ y ¬ x.

Definicja. Dla dowolnego niepustego podzbioru A ⊂ X definiujemy jego kres górny (supremum) , dalej oznaczany przez sup A oraz kres dolny (infimum) , dalej oznaczany przez inf A w sposób następujący:

• Jeśli A nie jest ograniczony z góry, to sup A = + ∞. Jeśli A jest ograniczony z góry, to

M = sup A, jeśli ∀x∈A x ¬ M ∧ ∀ε> 0 ∃a∈A M − ε < a ¬ M.

• Jeśli A nie jest ograniczony z dołu, to inf A = −∞. Jeśli A jest ograniczony z dołu, to

M = inf A, jeśli ∀x∈A m ¬ x ∧ ∀ε> 0 ∃a∈A m ¬ a < m + ε.

1 LICZBY RZECZYWISTE 3

Twierdzenie 1.1. Niech A ⊂ X będzie zbiorem niepustym. Jeśli A jest ograniczony z góry, to istnieje M ∈ X taki, że M = sup A_. Jeśli_ A jest ograniczony z dołu, to istnieje m ∈ X taki, że m = sup A_._

Dowód. Załóżmy, że A 6 = ∅ i jest ograniczony z góry. Niech

B = { x ∈ X : A ¬ x } (zbiór wszystkich ograniczeń górnych dla A).

Wtedy B 6 = ∅ oraz A ¬ B. Z aksjomatu ciągłości wynika, że istnieje M ∈ X taki, że A ¬ M ¬ B.

Pokażemy, że M = sup A. Po pierwsze a ¬ M dla wszystkich a ∈ A. Weźmy dowolne ε > 0. Gdyby dla każdego a ∈ A było a ¬ M − ε, to mielibyśmy M − ε ∈ B. Ponieważ M ¬ B, więc M ¬ M − ε, a stąd 0 ¬ − ε, zatem sprzeczność. Wynika stąd, że istnieje a ∈ A takie, że M − ε < a, co dowodzi, że M = sup A. Dowód drugiej części twierdzenia jest analogiczny.

Definicja. Dowolny zbiór X wraz z działaniami +, · : X × X → X oraz relacją ¬⊂ X × X spełniający aksjomaty liczb rzeczywistych nazywamy zbiorem liczb rze- czywistych.

Oczywiście istnieje wiele tego typu zbiorów, ale w pewnym sensie są one „takie same”, tzn. izomorficzne.

Twierdzenie 1.2. Załóżmy, że (X, +, · , ¬ ) oraz ( X,˜ +˜,˜ · , ¬ ˜) spełniają aksjomaty liczb rzeczywistych. Wówczas istnieje bijekcja f : X → X˜ taka, że

∀x,y∈X f (x + y) = f (x) +˜f (y),

∀x,y∈X f (x · y) = f (x)˜ · f (y), ∀x,y∈X x ¬ y = ⇒ f (x) ¬ ˜f (y)

oraz jeśli A ⊂ X jest zbiorem ograniczonym z góry, to f (A) ⊂ X˜ jest ograniczony z góry oraz sup f (A) = f (sup A).

Ponieważ zbiór liczb rzeczywistych jest opisany jednoznacznie, możemy więc sto- sować literę R jako oznaczenie zbioru liczb rzeczywistych. Odpowiedź na pytanie, czy istnieje zbiór R spełniający aksjomaty liczb rzeczywistych wymaga skonstruowania takiego zbioru. Takie konstrukcje pochodzą od Cantora i Dedekinda, a ich podstawą jest aksjomatycznie wprowadzony zbiór liczb naturalnych.

1 LICZBY RZECZYWISTE 5

Ćwiczenie. Pokazać, że dla dowolnych a, b ∈ R oraz n ∈ N mamy

(a + b) n^ =

∑^ n

k =

( n k

) a k^ · b n−k ,

gdzie

( n k

) = (^) k !( nn−! k )! , 0! = 1, k! = 1 · 2 ·... · k dla k 1.

Lemat 1.5. Dla każdego x ∈ R istnieje n ∈ N taka, że x ¬ n_._

Dowód. Przypuśćmy, że istnieje takie x ∈ R, że n < x dla wszystkich n ∈ N. Stąd zbiór N jest ograniczony z góry. Niech y = sup N. Zatem istnieje n ∈ N taka, że y − 1 < n ¬ y. Zatem y < n + 1, co stoi w sprzeczności z faktem, że y jest ograniczeniem górnym zbioru N.

Przykład. Niech A = { 1 /n : n ∈ N }. Ponieważ 0 < 1 /n ¬ 1, więc jest to zbiór ograniczony. Ponadto 1 ∈ A, więc jest elementem największym, a zatem sup A = 1. Ponadto, inf A = 0, ponieważ 1/n > 0 dla dowolnego n ∈ N oraz dla dowolnego ε > 0, z poprzedniego lematu, istnieje n ∈ N takie, że 1/ε < n. Wówczas A 3 1 /n < ε.

Lemat 1.6. (zasada minimum). W każdym niepustym podzbiorze zbioru liczb natu- ralnych istnieje element najmniejszy.

Dowód. Przypuśćmy, że B ⊂ N niepustym podzbiorem, który nie posiada elementu najmniejszego. Niech A := { n ∈ N : n < B }.

Wówczas 1 ∈ A, w przeciwnym przypadku 1 byłaby elementem najmniejszym w B. Załóżmy, że k ∈ A. Gdyby k + 1 ∈ / A, to istniałaby liczba m ∈ B taka, że m ¬ k + 1. Niech b będzie dowolnym elementem z B. Wówczas k < b, a co za tym idzie m ¬ k + 1 ¬ b. Zatem m jest elementem najmniejszym w B. Stąd k + 1 ∈ A. Na mocy zasady indukcji matematycznej mamy A = N, a stąd N < B, co przeczy lematowi 1.5.

Definicja. Zbiór liczb całkowitych Z definiujemy następująco:

Z = N ∪ { 0 } ∪ {− n : n ∈ N }.

Zbiór liczb wymiernych Q definiujemy następująco:

Q =

{ (^) m

n

: m ∈ Z, n ∈ N

} .

Jeśli liczba należy do zbioru R __ Q to nazywamy ją niewymierną.

1 LICZBY RZECZYWISTE 6

Twierdzenie 1.7. (zasada Archimedesa). Jeśli x ∈ R , to istnieje n ∈ Z taka, że n ¬ x < n + 1_._

Dowód. Niech x ∈ R. Na mocy lematu 1.5 istnieje liczba całkowita m takie, że x + 1 < m. Niech B = { n ∈ N : m ¬ x + n }.

Zbiór B jest niepusty na postawie lematu 1.5. Niech p będzie elementem najmniej- szym zbioru B. Wówczas

m ¬ x + p oraz m > x + p − 1 ,

stąd m − p ¬ x < m − p + 1.

Oznaczenia. Dla dowolnej liczby x ∈ R liczbę całkowitą n spełniającą n ¬ x < n + 1 nazywamy częścią całkowitą liczby x oraz oznaczmy symbolem [x]. Liczbę { x } = x − [x] nazywamy częścią ułamkową liczby x. Wówczas 0 ¬ { x } < 1.

Twierdzenie 1.8. (o gęstości zbioru liczb wymiernych w R .) Dla dowolnych x, y ∈ R , x < y istnieje liczba wymierna q taka, że x < q < y_._

Dowód. Na mocy lematu 1.5 istnieje liczba naturalna n taka, że

1 y − x

< n = ⇒ y − x >

n

Niech m = [nx] + 1. Wtedy m − 1 ¬ xn < m.

Stąd m n

n

¬ x <

m n

Zatem

x <

m n

¬ x +

n

< x + (y − x) = y.

Oznaczenia.

A + B = { a + b : a ∈ A, b ∈ B } , − A = {− a : a ∈ A }.

Twierdzenie 1.9. Niech A, B ⊂ R będą zbiorami niepustymi. Wówczas

(i) sup(A + B) = sup A + sup B ;

1 LICZBY RZECZYWISTE 8

Ponieważ A ¬ B, więc x = sup A ¬ y = inf B. Udowodnimy, że x = y. Gdyby x < y, to jeśli x < z < y, to z n^ > α (w przeciwnym razie z ∈ A) oraz z n^ < α (w przeciwnym razie z ∈ B), co prowadzi do sprzeczności. Stąd

β := y = x = sup A = inf B.

Ponieważ 0 < (^) 1+ αα ∈ A, więc β > 0. Udowodnimy, że β n^ = α. Przypuśćmy, że β n^ < α. Wówczas β ∈ A oraz β / ∈ B. Weźmy

ε = min((α − β n )/(n(2β) n−^1 ), β).

Wówczas istnieje b ∈ B takie, że β + ε > b. Wtedy b < 2 β. Ponadto

b n^ = b n^ + β n^ − β n^ = b n^ + β n^ − b n

( β − b b

) n ¬

¬ b n^ + β n^ − b n

[( β − b b

) n + 1

] = β n^ + (b − β)b n−^1 n <

< ε(2β) n−^1 n + β n^ ¬ (α − β n ) + β n^ = α,

co prowadzi do sprzeczności z faktem, że b ∈ B. W podobny sposób można wyeli- minować przypadek α < β n. Zatem β n^ = α. Udowodnimy teraz, że β jest jedną liczbą rzeczywistą dodatnią, której n–ta po- tęga jest równa α. Przypuśćmy, że c > 0 oraz c n^ = α. Wówczas c ∈ A ∩ B. Ponieważ β = sup A, więc c ¬ β oraz ponieważ β = inf B, więc c ¬ β. Stąd c = β.

Definicja. Jeśli α > 0, to jedyną liczbą dodatnią rzeczywistą β taką, że β n^ = α na- zywamy pierwiastkiem n –tego stopnia z α i oznaczamy symbolem n

α. Przyjmujemy również, że n

Ćwiczenie. Pokazać, że

2 jest liczbą niewymierną.

Ćwiczenie. Udowodnić, że dla dowolnych x, y ∈ R, x < y istnieje liczba niewymierna r taka, że x < r < y.

Definicja. Wartością bezwzględną liczby rzeczywistej a nazywamy liczbę

| a | =

{ a gdy 0 ¬ a − a gdy a < 0.

Lemat 1.11. Dla dowolnych a, b ∈ R , 0 ¬ b mamy

(i) −| a | ¬ a ¬ | a |;

(ii) | a | ¬ b ⇐⇒ − b ¬ a ¬ b ;

(iii) b ¬ | a | ⇐⇒ a ¬ − b ∨ b ¬ a_._

2 CIĄGI LICZBOWE 9

Lemat 1.12. (nierówność trójkąta). Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzi nierówność | a + b | ¬ | a | + | b |.

Dowód. Z lematu 1.11 (i) mamy −| a | ¬ a ¬ | a | oraz −| b | ¬ b ¬ | b |. Dodając obie nierówności stronami otrzymujemy − ( | a + | b | ) ¬ a + b ¬ | a | + | b |. Z lematu 1.11 (ii) wynika, że | a + b | ¬ | a | + | b |.

Lemat 1.13. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzi nierówność

|| a | − | b || ¬ | a − b |.

Dowód. Z nierówności trójkąta mamy

| a | = | (a − b) + b | ¬ | a − b | + | b |

oraz | b | = | (b − a) + a | ¬ | b − a | + | a | = | a − b | + | a |.

Stąd −| a − b | ¬ | a | − | b | ¬ | a − b | ,

a co za tym idzie || a | − | b || ¬ | a − b |.

2 Ciągi liczbowe

Definicja. Ciągiem liczbowym będziemy nazywać dowolną funkcję x : N → R. Najczęściej zamiast x(n) będziemy pisać x n , a cały ciąg będziemy oznaczać przez { x n}n∈ N.

Przykład. 1. x n = (^1) n ; 1, 12 , 13 ,.. .;

2. x 1 = 1, x n +1 = 1 + (^) 1+^1 xn ; 1, 32 , 75 , 1712 , 4129 ,.. .;
3. x 1 = x 2 = 1, x n +2 = x n + x n +1; 1, 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 ,... – ciąg Fibonacciego;
4. 11 , 21 , 12 , 31 , 22 , 13 , 41 , 32 , 23 , 14 , 51 ,... – ciąg zawierający wszystkie dodatnie liczby wy- mierne. Ciąg ten powstaje w ten sposób, że w miejscach od n ( n 2 − 1)+1 do n ( n 2 +1) wpisujemy kolejno liczby n 1 , n− 2 1 ,... , (^) n−^21 , (^1) n.

Definicja. Ciąg liczbowy { x n}n∈ N jest ciągiem

• rosnący , jeśli ∀n∈ N x n +1 > x n ;
• malejącym , jeśli ∀n∈ N x n +1 < x n ;

2 CIĄGI LICZBOWE 11

2. (^1) n → 0. Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Niech n 0 = [^1 ε ] + 1. Wtedy 1 ε < n^0 , co implikuje^ ε >^

1 n 0. Zatem dla^ n^ n^0 mamy ∣∣ ∣∣^1 n

∣∣ ∣∣ =^1 n

n 0

< ε.

Lemat 2.1. Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest również zbieżny do tej samej granicy.

Dowód. Załóżmy, że x n → x. Weźmy dowolny podciąg { x kn }n∈ N tego ciągu. Niech ε > 0. Wówczas istnieje N ∈ N taka, że | x n − x | < ε dla n N. Ponieważ ciąg { k n}n∈ N jest rosnący, więc istnieje n 0 ∈ N taka, że k n 0 N. Wówczas jeśli n n 0 , to k n k n 0 N , a stąd | x kn − x | < ε, co dowodzi, że x kn → x.

Lemat 2.2. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Dowód. Załóżmy, że x n → x. Weźmy ε = 1. Wówczas istnieje n 0 ∈ N takie, że | x n − x | < 1 dla n n 0. Stąd x − 1 < x n < x + 1 dla n n 0. Niech M będzie największą z liczb | x 1 | , | x 2 | ,... , | x n 0 | , | x | + 1. Wtedy dla każdego n ¬ n 0 mamy | x n| ¬ M. Jeśli n n 0 , to

− M ¬ −| x | − 1 ¬ x − 1 < x n < x + 1 ¬ | x | + 1 ¬ M.

Definicja. Mówimy, że ciąg { x n}n∈ N spełnia warunek Cauchy’ego , gdy

∀ε> 0 ∃n 0 ∈ N ∀m,n n 0 | x m − x n| < ε.

Ciągi spełniające warunek Cauchy’ego nazywane są również ciągami Cauchy’ego, lub ciągami podstawowymi lub ciągami fundamentalnymi.

Lemat 2.3. Każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy’ego.

Dowód. Załóżmy, że x n → x. Niech ε > 0. Wówczas istnieje n 0 ∈ N takie, że | x n − x | < ε/2 dla n n 0. Weźmy dowolne m, n n 0. Wtedy z nierówności trójkąta mamy

| x m − x n| = | (x m − x) + (x − x n ) | ¬ | x m − x | + | x − x n| <

ε 2

ε 2

= ε.

Twierdzenie 2.4. (o trzech ciągach) Jeśli a n → x , c n → x oraz a n ¬ b n ¬ c n dla dowolnego n ∈ N , to b n → x_._

2 CIĄGI LICZBOWE 12

Dowód. Weźmy ε > 0. Wówczas istnieją n 1 , n 2 ∈ N takie, że | a n − x | < ε dla n n 1 oraz | c n − x | < ε dla n n 2. Niech n 0 = max(n 1 , n 2 ). Wówczas dla n n 0 mamy

− ε < a n − x ¬ b n − x ¬ c n − x < ε.

Stąd | b n − x | < ε dla n n 0.

Uwaga 6_._ x n → 0 wtedy i tylko wtedy, gdy | x n| → 0.

Twierdzenie 2.5. Załóżmy, że x n → x oraz y n → y_. Wtedy_

1. ax n → ax dla dowolnej liczby rzeczywistej a ; 2. x n + y n → x + y ; 3. x n y n → xy _;

4. x ynn → xy , gdy_ y 6 = 0 _;
5. |_ x n| → | x _|;
6. jeśli_ x n ¬ y n dla prawie wszystkich n ∈ N , to x ¬ y_._

Dowód. Niech ε > 0. Ad 1. Jeśli a = 0, to teza jest prawdziwa. Załóżmy więc, że a 6 = 0. Ponieważ x n → x, więc istnieje n 0 ∈ N takie, że | x n − x | < ε/ | a | dla n n 0. Stąd dla n n 0 mamy

| ax n − ax | = | a || x n − x | < | a |

ε | a |

= ε.

Ad 2. Z założenia istnieją n 1 , n 2 ∈ N takie, że | x n − x | < ε/2 dla n n 1 oraz | y n − y | < ε/2 dla n n 2. Niech n 0 = max(n 1 , n 2 ). Wówczas dla n n 0 mamy

| (x n + y n ) − (x + y) | = | (x n − x) + (y n − y) | ¬ | x n − x | + | y n − y | <

ε 2

ε 2

= ε.

Ad 3. Ponieważ ciąg { x n}n∈ N jest ograniczony, więc istnieje liczba M > 0 taka, że | x n| ¬ M dla dowolnych n ∈ N. Z założenia istnieją n 1 , n 2 ∈ N takie, że | x n − x | < ε M + |y| dla^ n^ n^1 oraz^ | y n^ −^ y |^ <^

ε M + |y| dla^ n^ n^2. Niech^ n^0 = max(n^1 , n^2 ). Wówczas dla n n 0 mamy

| x n y n − xy | = | x n y n − x n y + x n y − xy | = | x n (y n − y) + (x n − x)y | ¬ ¬ | x n|| y n − y | + | x n − x || y | < M

ε M + | y |

• | y |

ε M + | y |

= ε.

2 CIĄGI LICZBOWE 14

Twierdzenie 2.8. (Bolzano–Weierstrassa) Jeśli ciąg { x n}n∈ N jest ograniczony, po- siada podciąg { x kn }n∈ N zbieżny.

Dowód. Niech M > 0 będzie liczbą rzeczywistą taką, że | x n| ¬ M dla wszystkich n ∈ N. Niech

A = { a ∈ R : a ¬ x n dla nieskończenie wielu n ∈ N } = = { a ∈ R : ∀k∈ N ∃n k a ¬ x n}.

Wówczas − M ∈ A oraz A < M + 1. Niech x = sup A. Ustalmy ε > 0. Wtedy istnieje a ∈ A takie, że x − ε < a ¬ x. Zatem x − ε < x n dla nieskończenie wielu n ∈ N. Ponieważ x + ε / ∈ A, więc x + ε ¬ x n tylko dla skończonej liczby n ∈ N. Stąd x − ε < x n < x + ε dla nieskończenie wielu n ∈ N. Zatem ∀k∈ N ∃n k | x n − x | < ε. Korzystając z tego faktu dla ε = 1 otrzymujemy, że istnieje k 1 ∈ N takie, że | x k 1 − x | < 1. Następnie znajdziemy k 2 > k 1 takie, że | x k 2 − x | < 1 /2. Postępując w sposób indukcyjny dla dowolnej liczby naturalnej n znajdziemy k n > k n− 1 takie, że | x kn − x | < 1 /n. Ponieważ

0 ¬ | x kn − x | <

n

z twierdzenia o trzech ciągach otrzymamy, że | x kn − x | → 0, zatem x kn → x.

Twierdzenie 2.9. (Cauchy’ego) Ciąg liczbowy jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy’ego.

Dowód. Fakt, że zbieżność implikuje warunek Cauchy’ego udowodniliśmy wcześniej. Złóżmy zatem, że { x n}n∈ N spełnia warunek Cauchy’ego. Weźmy ε = 1. Wówczas istnieje n 0 ∈ N takie, że | x n − x m| < 1 dla n, m n 0. Stąd x n 0 − 1 < x n < x n 0 + 1 dla n n 0. Niech M będzie największą z liczb | x 1 | , | x 2 | ,... , | x n 0 − 1 | , | x n 0 | + 1. Wtedy dla każdego n < n 0 mamy | x n| ¬ M. Jeśli n n 0 , to

− M ¬ −| x n 0 | − 1 ¬ x n 0 − 1 < x n < x n 0 + 1 ¬ | x n 0 | + 1 ¬ M.

Z twierdzenia Bolzano–Weierstrassa istnieje podciąg { x kn }n∈ N, który jest zbieżny do x ∈ R. Pokażemy, że wówczas x n → x. Weźmy ε > 0. Wówczas istnieją liczby n 0 , n 1 ∈ N takie, że

| x n − x m| <

ε 2

dla m, n n 0 oraz

| x kn − x | <

ε 2

dla n n 1.

2 CIĄGI LICZBOWE 15

Niech N n 1 będzie liczbą naturalną taką, że k N n 0. Wówczas dla dowolnego n n 0 mamy

| x n − x | ¬ | x n − x kN | + | x kN − x | <

ε 2

ε 2

= ε.

Definicja. Powiemy, że ciąg { x n}n∈ N jest rozbieżny do plus nieskończoności , symbo- licznie

n lim →∞ x n^ = + ∞^ lub^ x n^ →^ + ∞ ,

jeśli ∀M ∈ R ∃n 0 ∈ N ∀n n 0 M < x n.

Powiemy, że ciąg { x n}n∈ N jest rozbieżny do minus nieskończoności , symbolicznie

n lim →∞ x n^ =^ −∞^ lub^ x n^ → −∞ ,

jeśli ∀M ∈ R ∃n 0 ∈ N ∀n n 0 x n < M.

Lemat 2.10. Niech { x n}n∈ N oraz { y n}n∈ N będą ciągami liczb rzeczywistych. Wów- czas

1. jeśli x n → + ∞, to − x _n → −∞;

2. jeśli_ x n → + ∞ oraz x n ¬ y n, to y n → + _∞;
3. jeśli_ x n → x ∈ R ∪ { + ∞} oraz y n → + ∞, to x n + y n → + _∞;
4. jeśli_ x n → + ∞ lub x n → −∞, to (^) x^1 n → 0_._

Dowód. Pierwsze dwie części lematu wynikają bezpośrednio z definicji. Ad 3. Ponieważ x n → x ∈ R ∪ { + ∞} , więc ciąg { x n}n∈ N jest ograniczony z dołu. Niech m ∈ R będzie jego ograniczeniem dolnym. Weźmy M ∈ R. Wówczas istnieje n 0 ∈ N takie, że M − m < y n dla n n 0. Stąd dla n n 0 mamy

x n + y n > m + (M − m) = M.

Ad 4. Weźmy ε > 0. Wówczas istnieje n 0 ∈ N takie, że x n > 1 /ε lub x n < − 1 /ε dla n n 0. Zatem dla n n 0 mamy | x n| > 1 /ε, a stąd

∣∣ ∣∣^1 x n

∣∣ ∣∣ = 1 | x n|

< ε.

2 CIĄGI LICZBOWE 17

a zatem x^2 n ¬ 2 /n. Ponieważ

0 ¬ x n ¬

√ 2 n

z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy x n → 0, a w konsekwencji n

n = 1 + x n → 1.

6. Niech x n =

( 1 + (^1) n

) n

. Pokażemy, że ciąg { x n}n∈ N jest monotoniczny i ograni- czony, a zatem zbieżny. Z nierówności Bernoulliego otrzymujemy ( n(n + 2) (n + 1)^2

) n +

( n^2 + 2n (n + 1)^2

) n +

( 1 −

(n + 1)^2

) n + 1 −

n + 1

n n + 1

Zatem ( 1 +

n + 1

) n +

( n + 2 n + 1

) n +1 ( n + 1 n

) n

( 1 +

n

) n ,

tzn. ciąg { x n}n∈ N jest niemalejący. Ponadto

x n =

( 1 +

n

) n

∑^ n

k =

( n k

) 1 n k^

∑^ n

k =

k!

n(n − 1)... (n − k + 1) n k^

∑^ n

k =

k!

n − 1 n

n − 2 n

n − k + 1 n

∑^ n

k =

k!

( 1 −

n

) ( 1 −

n

)

...

( 1 −

k − 1 n

) <

∑^ n

k =

k!

Dla dowolnego k 2 mamy k! = 1 · 2 · 3 ·... · k 1 · 2 · 2 ·... · 2 = 2 k−^1. Stąd

x n <

∑^ n

k =

k!

∑^ n

k =

2 k−^1

2 n−^1

1 − (^) 21 n 1 −^12

1 −^12

W ten sposób pokazaliśmy, że ciąg { x n}n∈ N jest nierosnący i ograniczony, więc jest zbieżny. Jego granicę będziemy oznaczać literą e. e jest liczbą niewymierną oraz w przybliżeniu równą 2, 71828182845...

2 CIĄGI LICZBOWE 18

7. Niech y n =

∑^ n

k =

k!

n!

Wówczas ciąg jest zbieżny (jest rosnący i ograniczony z góry przez 3), zaś jego granicą jest e. Do tej pory udowodniliśmy, że x n ¬ y n dla dowolnej liczby naturalnej n. Ponadto pokażemy, że y n ¬ e dla każdego n ∈ N. Wówczas z twierdzenia o trzech ciągach będziemy wiedzieć, że y n → e. Ustalmy liczbę naturalną m ∈ N. Wówczas dla dowolnej liczby naturalnej n m mamy

x n =

∑^ n

k =

k!

( 1 −

n

) ( 1 −

n

)

...

( 1 −

k − 1 n

)

∑^ m

k =

k!

( 1 −

n

) ( 1 −

n

)

...

( 1 −

k − 1 n

) =: z n.

Ponieważ (^1) n → 0, więc

z n =

∑^ m

k =

k!

( 1 −

n

) ( 1 −

n

)

...

( 1 −

k − 1 n

) →

∑^ m

k =

k!

= y m.

Ponieważ z n ¬ x n dla prawie wszystkich n ∈ N, z n → y m oraz x n → e, więc y m ¬ e, co kończy dowód.

Oznaczenia. Niech a > 0 oraz x = nk ∈ Q. Wówczas oznaczmy a x^ = ( k

a) n. Łatwo sprawdzić, że a x + y^ = a x a y^ dla dowolnych x, y ∈ Q oraz

x ¬ y = ⇒ a x^ ¬ a y^ gdy a > 1 ,

x ¬ y = ⇒ a x^ a y^ gdy a ¬ 1.

Niech x ∈ R. Zatem istnieje rosnący ciąg { x n}n∈ N liczb wymiernych taki, że x n → x. Wówczas ciąg a xn^ jest monotoniczny i ograniczony, a zatem zbieżny. Oznaczmy a x^ := lim n→∞ a xn^. Ponadto a x^ nie zależy od wyboru ciągu { x n}n∈ N.

Twierdzenie 2.11. Jeśli x n → ±∞, to

( 1 + (^) x^1 n

) xn → e_._

Dowód. Najpierw załóżmy, że x n → + ∞. Łatwo zauważyć, że również [x n ] → + ∞ oraz [x n ] > 0 dla odpowiednio dużych n. Ponadto dla odpowiednio dużych n kolejno mamy [x n ] ¬ x n < [x n ] + 1 1 [x n ] + 1

x n

[x n ]

1 +

[x n ] + 1

x n

[x n ]