Analiza matematyczna II - omówienie, Skrypty z Mathematical Analysis

Pobierz Analiza matematyczna II - omówienie i więcej Skrypty w PDF z Mathematical Analysis tylko na Docsity!

Analiza matematyczna II

(skrypt wykładu)

Wydział MIiM UW, 2011/

wersja z dnia: 5.01.

Spis treści

Zamiast wstępu

1. Ten tekst powstał w roku akademickim 2011–12, jako dość wierny, bieżący zapis wykładu z Analizy Matematycznej II. Proszę pamiętać, że jest to wciąż materiał w budowie: mogą w nim być błędy, zarówno literówki, jak i poważniejsze usterki; mogą stopniowo pojawiać się pewne (niezbyt wielkie) zmiany układu treści. Wszelkie uwagi Czytelników (zgłaszanie błędów, a także sugestie, co zmienić, gdzie warto napisać dokładniejsze wyjaśnienie, gdzie umieścić dodatkowy rysunek itp.) są mile widziane. Z góry za nie serdecznie dziękuję.
2. Część rysunków, zwłaszcza w rozdziałach 1, 2, 6 i 7, wykonałem w programie Ma- thematica (skądinąd: dostępnym dla wszystkich użytkowników laboratorium kom- puterowego Wydziału MIM), zastanawiając się, jak w sposób możliwie czytelny, po- glądowy i nietrywialny zilustrować jakieś pojęcie, twierdzenie, lub przykład niety- powego (na pierwszy rzut oka) zachowania funkcji wielu zmiennych. Gorąco zachęcam Czytelników do samodzielnego eksperymentowania z podobnymi wykresami i rysunkami – jestem przekonany, że każdy, kto naprawdę sam je wy- konuje, pogłębia zarówno swoją wyobraźnię, jak i zrozumienie tematu. To ma sens także dlatego, że Analiza II różni się istotnie od Analizy I: mniej jest w niej ważnych twierdzeń, natomiast istotnie więcej niełatwych pojęć, wymagających spokojnego ‘przetrawienia’ oraz dobrych intuicji geometrycznych (i obycia z algebrą liniową).
3. Co jakiś czas publikuję nową wersję skryptu na stronie

http://www.mimuw.edu.pl/~pawelst/am2/

(w zakładce z notatkami). W roku akademickim 2013–14, gdy ponownie prowadzi- łem wykład z Anaizy Matematycznej II, poprawki miały głównie charakter redak- cyjny (literówki, drobne zmiany etc.), tzn. nie dotyczyły ani samego układu, ani wy- boru treści.

Paweł Strzelecki

• iv –

Rozdział 1

Ciągłość funkcji wielu zmiennych

Zajęcia z Analizy Matematycznej II poświęcone są funkcjom wielu zmiennych rzeczywi- stych. Dlatego zaczniemy od opisania najważniejszych z punktu widzenia podstaw Ana- lizy własności przestrzeni Rn^ i pewnych klas jej podzbiorów. Dzięki temu będziemy mo- gli później zobaczyć, że uogólnienia pewnych pojęć, które poznaliśmy dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, są w gruncie rzeczy jasne i naturalne (choć, dla n > 3 , mogą zda- niem Czytelnika mieć dość abstrakcyjny charakter). Podkreślmy jednak, że nawet z punktu widzenia w miarę naturalnych zastosowań matematyki nie warto ograniczać studiowania funkcji f : Rn^ → Rm^ do ‘fizycznych’ przy- padków n, m ∈ { 1 , 2 , 3 }. Na przykład, opis temperatury, ciśnienia, prędkości wiatru i wil- gotności powietrza w punktach pewnego obszaru przestrzeni R^3 i w czasie t ∈ (t 0 , t 1 ) – a więc, po ludzku mówiąc, możliwie wierne prognozowanie pogody – wymaga w istocie, jak widać, konstrukcji pewnego przekształcenia z podzbioru przestrzeni R^4 w przestrzeń R^6 : temperatura, ciśnienie i wilgotność powietrza to trzy liczby, a prędkość wiatru jest wekto- rem o trzech współrzędnych. Choćby dlatego, ale i ze względów teoretycznych, będziemy zajmować się funkcjami f : Rn^ → Rm^ dla dowolnych m, n naturalnych.

1.1 Topologia w Rn. Zbiory otwarte, domknięte i zwarte

Przestrzeń kartezjańska n-wymiarowa, Rn, to iloczyn n kopii prostej rzeczywistej R. Ele- menty przestrzeni Rn^ będziemy zamiennie nazywać punktami lub wektorami i oznaczać je x = (x 1 ,... , xn), y = (y 1 ,... , yn) itp., starając się – w skrypcie, nie na tablicy – kon- sekwentnie używać pogrubionych liter dla zasygnalizowania, że chodzi o punkt w Rn, niepogrubionych zaś dla oznaczenia współrzędnych punktu.

Norma i iloczyn skalarny

Definicja 1.1 ( iloczyn skalarny ). (Standardowym) iloczynem skalarnym w Rn^ nazy- wamy funkcję

Rn^ × Rn^3 ( x , y ) 7 −→ 〈 x , y 〉 :=

∑^ n

i=

xiyi ∈ R.

Jak wiadomo z wykładów Algebry Liniowej, iloczyn skalarny jest dwuliniowy (liniowy względem każdej zmiennej z osobna), symetryczny (tzn. 〈 x , y 〉 = 〈 y , x 〉 dla wszystkich

©c MIM UW, 2011/12 3

Nierówność trójkąta łatwo wyprowadzić z nierówności Schwarza: ponieważ 〈 x , y 〉 ≤ |〈 x , y 〉| ≤ ‖ x ‖ · ‖ y ‖, więc jest

( ‖ x ‖ + ‖ y ‖

− ‖ x + y ‖^2 = ‖ x ‖^2 + 2‖ x ‖ · ‖ y ‖ + ‖ y ‖^2 −

‖ x ‖^2 + 2〈 x , y 〉 + ‖ y ‖^2

‖ x ‖ · ‖ y ‖ − 〈 x , y 〉

Dowód stwierdzenia jest zakończony. 

Uwaga 1.4. Ogólnie, normą w Rn^ nazywa się każdą funkcję ‖·‖ : Rn^ → [0, ∞), która speł- nia warunki (i)–(iii) Stwierdzenia 1.3. Zauważmy, że w dowodzie tego stwierdzenia wy- starczyło korzystać ze związku ‖ x ‖^2 = 〈 x , x 〉 i z tego, że przekształcenie ( x , y ) 7 → 〈 x , y 〉 jest dwuliniowe, symetryczne i dodatnio określone. Nie było ważne, że chodzi akurat o standardowy iloczyn skalarny. Ponadto, normy można definiować w dowolnych przestrzeniach liniowych, także nie- skończonego wymiaru. Przykład, bardzo ważny zarówno w analizie, jak i w topologii, to tzw. norma supremum ‖f ‖∞ = sup x∈I

|f (x)| ,

określona na przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na odcinku domkniętym I ⊂ R. Czy- telnik zna tę normę z wykładów Analizy I (patrz rozdział o zbieżności jednostajnej). Inne przykłady norm spotkamy wielokrotnie później.

Wniosek 1.5. Dla każdego przekształcenia dwuliniowego, symetrycznego i dodatnio okre- ślonego Rn^ × Rn^3 ( x , y ) 7 −→ 〈 x , y 〉 ∈ R

funkcja x 7 → ‖ x ‖ = 〈 x , x 〉^1 /^2 jest normą na przestrzeni Rn_._

Można podać inne przykłady norm.

Przykład 1.6. Dla p ∈ [1, ∞) połóżmy

‖ x ‖p =

( (^) ∑n

i=

|xi|p

) 1 /p ,

a dla p = ∞ niech ‖ x ‖∞ = max i=1,...,n

|xi|.

Zadanie 1.7. Wykazać, że ‖ x ‖p jest normą dla każdego p ∈ [1, ∞].

Wskazówka. Dla dowodu nierówności trójkąta przypomnieć sobie nierówność Höldera i zauważyć, że |xi + yi|p^ ≤ |xi| · |xi + yi|p−^1 + |yi| · |xi + yi|p−^1.

Zadanie 1.8. Czy dla p 6 = 2 norma ‖ · ‖p pochodzi od pewnego (niekoniecznie standardo- wego) iloczynu skalarnego na Rn?

Wskazówka. W każdym równoległoboku suma kwadratów długości obu przekątnych jest równa sumie kwadratów długości wszystkich boków. Zapisać to twierdzenie w języku normy i spróbować je wykorzystać.

4 wersja robocza z dnia: 5 stycznia 2016

Kule. Zbiory otwarte i domnkięte.

Definicja 1.9. Kulą otwartą o środku x ∈ Rn^ i promieniu r > 0 nazywamy zbiór

B( x , r) = { y ∈ Rn^ : ‖ y − x ‖ < r}.

Zbiór B( x , r) = { y ∈ Rn^ : ‖ y − x ‖ ≤ r} to kula domknięta o środku x i promieniu r.

Dla n = 1 kule są po prostu przedziałami: norma euklidesowa w R to wartość bez- względna liczby, zaś warunki |y − x| < r i y ∈ (x − r, x + r) są równoważne. Kule w normie euklidesowej na płaszczyźnie R^2 to koła: warunek (y 1 − x 1 )^2 + (y 2 − x 2 )^2 < r^2 oznacza, że y = (y 1 , y 2 ) leży wewnątrz okręgu o środku w punkcie x = (x 1 , x 2 ) i promieniu r > 0.

Definicja 1.10. Zbiór Ω ⊂ Rn^ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu x ∈ Ω istnieje promień r > 0 taki, że B( x , r) ⊂ Ω.

Inaczej mówiąc, zbiór otwarty to taki zbiór, który wraz z każdym swoim punktem zawiera pewną kulę otwartą wokół tego punktu.

Przykład 1.11. Cała przestrzeń Rn^ jest zbiorem otwartym (dla każdego x ∈ Ω = Rn można wziąć w warunku z definicji np. r = 2011). Zbiór pusty jest otwarty; warunek z definicji jest wtedy pusto spełniony. Kula otwarta B( a , r) jest zbiorem otwartym: jeśli x ∈ B( a , r) i 0 < ρ < r − ‖ x − a ‖, to kula B( x , ρ) ⊂ B( a , r), gdyż dla y ∈ B( x , ρ) mamy z nierówności trójkąta

‖ y − a ‖ ≤ ‖ y − x ‖ + ‖ x − a ‖ < ρ + ‖ x − a ‖ < r − ‖ x − a ‖ + ‖ x − a ‖ = r.

(Proszę samodzielnie zrobić rysunek, ilustrujący to oszacowanie). 

Stwierdzenie 1.12 ( własności zbiorów otwartych ).

(i) Jeśli zbiory ⋃ Ωi ⊂ Rn , gdzie i ∈ I , a I jest dowolnym zbiorem, są otwarte, to zbiór

i∈I

Ωi jest otwarty.

(ii) Jeśli zbiory Ω 1 , Ω 2 ,... , ΩN ⊂ Rn^ są otwarte, to zbiór

⋂^ N

i=

Ωi jest otwarty.

Zauważmy od razu, że własność (ii) nie zachodzi dla nieskończonych rodzin zbiorów otwartych: przecięcie wszystkich kul B( 0 , 1 /j) ⊂ Rn, gdzie j = 1, 2 ,.. ., jest zbiorem jed- nopunktowym { 0 }, a zbiór jednopunktowy w Rn^ nie jest otwarty (bo każda kula otwarta w Rn^ jest zbiorem nieskończonym).

Dowód. Wykażemy najpierw pierwszą własność. Jeśli x ∈

i∈I Ωi, to^ x^ ∈^ Ωi^0 dla pewnego i 0 ∈ I. Ponieważ zbiór Ωi 0 jest otwarty, więc istnieje r > 0 takie, że B( x , r) ⊂ Ωi 0. Zatem, B( x , r) ⊂

i∈I Ωi, a więc zbiór^

i∈I Ωi^ jest otwarty. Jeśli x ∈

i=1,...,N Ωi, to^ x^ ∈^ Ωi^ dla każdego^ i^ = 1,^2 ,... , N^. Zatem, wobec otwartości Ωi, znajdziemy liczby ri > 0 (gdzie i = 1, 2 ,... , N ) takie, że B( x , ri) ⊂ Ωi. Niech r > 0 będzie najmniejszą^1 spośród liczb r 1 , r 2 ,... , rN. Mamy

B( x , r) ⊂ B( x , ri) ⊂ Ωi dla każdego i = 1, 2 ,... N ,

a więc B( x , r) ⊂

i=1,...,N Ωi.^  (^1) Tu właśnie korzystamy z tego, że zbiorów Ωi jest tylko skończenie wiele!

6 wersja robocza z dnia: 5 stycznia 2016

Stwierdzenie 1.18. Następujące warunki są równoważne:

(i) Zbiór F ⊂ Rn^ jest domknięty.

(ii) Dla każdego ciągu ( x j ) ⊂ F , który jest zbieżny, zachodzi warunek x = lim x j ∈ F_._

Dowód. Obu implikacji (i) ⇒ (ii) oraz (ii) ⇒ (i) dowiedziemy przez zaprzeczenie. Załóżmy najpierw, że F jest domknięty, ale warunek (ii) nie zachodzi. Istnieje wtedy ciąg ( x (^) j ) ⊂ F , który jest zbieżny do punktu x ∈ Ω = Rn^ \F. Z definicji zbioru domkniętego wynika, że Ω jest zbiorem otwartym, tzn. dla pewnego r > 0 kula B( x , r) jest zawarta w Ω (i oczywiście nie ma punktów wspólnych ze zbiorem F = Rn^ \ Ω). Jednak ‖ x (^) j − x ‖ → 0 , a więc ‖ x (^) j − x ‖ < r dla wszystkich j dostatecznie dużych; dla takich j mamy x (^) j ∈ B( x , r), tzn. x (^) j 6 ∈ F , sprzeczność. Na odwrót, załóżmy, że (ii) zachodzi, ale F nie jest domknięty. Wówczas zbiór Ω = Rn^ \ F nie jest otwarty. Zaprzeczając warunkowi, podanemu w Definicji 1.10, wskażemy taki punkt x ∈ Ω, że dla każdego j ∈ N kula B( x , 1 /j) zawiera pewien punkt x (^) j 6 ∈ Ω, tzn. punkt x (^) j ∈ F.^3 Wtedy ‖ x (^) j − x ‖ < 1 /j, a więc F 3 x (^) j → x ∈ Ω = Rn^ \ F. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem: warunek (ii) nie zachodzi. 

Uwaga 1.19. Czytelnik mógłby zadać pytanie: czy, zmieniając w definicjach normę eu- klidesową ‖ · ‖ ≡ ‖ · ‖ 2 na jakąś inną, otrzymalibyśmy w Rn^ tę samą rodzinę zbiorów otwartych (i tę samą rodzinę zbiorów domkniętych)? Okazuje się, że tak: to, czy zbiór jest otwarty, nie zależy od tego, jaką normą się posłużymy, określając kule w Definicji 1.10. Wrócimy do tej sprawy później, mówiąc o równoważności norm w Rn. Najpierw jednak potrzebne nam będą pojęcia zbioru zwartego i funkcji ciągłej.

Zbiory zwarte.

Mówiąc o własnościach funkcji ciągłych jednej zmiennej rzeczywistej, wprowadziliśmy bardzo ważną klasę zbiorów zwartych. Tak samo definiuje się zbiory zwarte w Rn.

Definicja 1.20. Zbiór K ⊂ Rn^ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego ciągu ( x (^) j ) ⊂ K można wybrać podciąg ( x (^) jk ) zbieżny do pewnego punktu x ∈ K.

Definicja 1.21. Zbiór A ⊂ Rn^ nazywa się ograniczony, jeśli zawiera się w pewnej kuli.

Stwierdzenie 1.22. Następujące warunki są równoważne:

(i) Zbiór K ⊂ Rn^ jest zwarty.

(ii) Zbiór K ⊂ Rn^ jest domknięty i ograniczony.

Dowód. Dla każdego zbioru zwartego zachodzi warunek (ii) Stwierdzenia 1.18 (gdyż do- wolny podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy, co cały ciąg). Dlatego zwartość pociąga za sobą domkniętość. Gdyby zbiór K był zwarty i nieograniczony, to dla każdego j znaleźlibyśmy punkt x (^) j ∈ K \ B( 0 , j). Bez zmniejszenia ogólności, przechodząc w razie potrzeby do podciągu

(^3) Można myśleć o tym tak: punkt x jest ‘świadkiem’, że zbiór Ω nie jest owtarty, natomiast punkt x (^) j jest ‘świadkiem’, że kula B( x , 1 /j) nie jest cała zawarta w Ω.

©c MIM UW, 2011/12 7

zbieżnego, można założyć, że x (^) j → x ∈ K. Wtedy jednak, z nierówności trójkąta i definicji granicy, j ≤ ‖ x (^) j ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ x (^) j − x ‖ → ‖ x ‖ < ∞ dla j → ∞.

To jest sprzeczność, gdyż lewa strona nie jest ograniczona. Załóżmy teraz, że zachodzi (ii). Niech ( x (^) j ) ⊂ K. Aby wskazać podciąg ( x (^) j ) zbieżny do pewnego punktu w K, posłużymy się Stwierdzeniami 1.18 i 1.17. Dla każdego numeru i = 1, 2 ,... , n ciąg współrzędnych (xj,i)j=1, 2 ,... jest ograniczonym ciagiem liczb rzeczywistych. Możemy wybrać podciąg j k′ tak, aby otrzymać zbieżność na pierwszej współrzędnej, tzn. zbieżność xj k′ , 1 → x 1. Następnie, z j k′ można wybrać kolejny podciąg j k′′ tak, żeby otrzymać zbieżność także na drugiej współrzędnej, itd. Po n krokach wybierzemy ostatecznie podciąg jk taki, że xjk ,i → xi dla każdego i = 1, 2 ,... , n.^4 Na mocy Stwierdzenia 1.17, x (^) jk → x , a na mocy Stwierdzenia 1.18 i domkniętości K, punkt x ∈ K. 

1.2 Funkcje ciągłe: definicje, własności, przykłady

Definicja 1.23. Funkcja f : Rn^ ⊃ A → Rm^ jest ciągła w punkcie a ∈ A wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że jeśli x ∈ A i ‖ x − a ‖ < δ, to ‖f ( x ) − f ( a )‖ < ε.

Jak widać, jest to wierny odpowiednik definicji Cauchego funkcji ciągłej jednej zmien- nej rzeczywistej. Można też definiować ciągłość funkcji wielu zmiennych, posługując się ciagową definicją Heinego: funkcja f : Rn^ ⊃ A → Rm^ jest ciągła w punkcie a ∈ A wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu A 3 x (^) j → a jest f ( x (^) j ) → f ( a ). Dowód równoważ- ności obu definicji jest taki sam, jak w przypadku jednowymiarowym. Nie będziemy go powtarzać. Mówimy, że funkcja f jest ciągła na zbiorze A, jeśli jest ciagła w każdym punkcie tego zbioru. Również jednostajną ciągłość funkcji wielu zmiennych definiuje się tak samo, jak w przypadku jednowymiarowym.

Definicja 1.24. Funkcja f : Rn^ ⊃ A → Rm^ jest jednostajnie ciągła na A wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że jeśli x , y ∈ A i ‖ x − y ‖ < δ, to ‖f ( x ) − f ( y )‖ < ε.

W zeszłym roku poznaliśmy trzy ogólne twierdzenia, podające własności funkcji cia- głych: twierdzenie Weierstrassa o przyjmowaniu kresów, twierdzenie Cantora o jednostaj- nej ciągłości oraz własność Darboux. Pierwsze dwa dotyczyły własności funkcji ciągłych f : R ⊃ K → R na zwartych podzbiorach prostej. Przenoszą się one bez zmian, z takimi samymi dowodami, na przypadek funkcji wielu zmiennych. Oto ich sformułowania.

Twierdzenie 1.25 ( Weierstrassa o przyjmowaniu kresów ). Jeśli K ⊂ Rn^ jest nie- pustym zbiorem zwartym, a funkcja f : K → R jest ciągła, to istnieją punkty x 1 , x 2 ∈ K takie, że f ( x 1 ) = sup K

f , f ( x 2 ) = inf K f. (^4) Czytelnik być może pamięta, że z podobnym kolejnym wybieraniem podciągów mieliśmy do czynienia w dowodzie twierdzenia Arzeli i Ascoliego – tylko tam proces nie kończył się po n krokach i trzeba było używać metody przekątniowej.

©c MIM UW, 2011/12 9

Wynika stąd w szczególności, że przestrzeń funkcji ciągłych C(A, Rm), określonych na zbiorze A ⊂ Rn^ i przyjmujących wartości w Rm, jest przestrzenią liniową nad R.

Stwierdzenie 1.32. Jeśli f : Rn^ ⊃ A → Rm^ i g : Rn^ ⊃ A → R są ciągłe w punkcie a ∈ A , to wówczas funkcja g · f : Rn^ ⊃ A → Rm^ też jest ciągła w punkcie a ∈ A_._ 

Stwierdzenie 1.33. Jeśli g : Rn^ ⊃ A → R \ { 0 } jest ciągła w punkcie a ∈ A , to wówczas funkcja^1 g : Rn^ ⊃ A → R \ { 0 } też jest ciągła w punkcie a ∈ A_._ 

Stwierdzenie 1.34 ( ciągłość złożenia ). Jeśli f : Rn^ ⊃ A → Rm^ jest ciągła w punkcie a ∈ A , zaś g : Rm^ ⊂ B → Rk , gdzie B ⊃ f (A) (tzn. wszystkie wartości funkcji f należą do dziedziny funkcji g ) jest ciągła w punkcie b = f (a) , to wówczas funkcja g ◦ f : Rn^ ⊃ A → Rk jest ciągła w punkcie a ∈ A_._ 

Wreszcie, zachodzi następujący prosty odpowiednik Stwierdzenia 1.17, dzięki któ- remu można sprowadzić badanie ciągłości odwzorowania o wartościach w Rm^ do badania ciągłości poszczególnych współrzędnych tego odwzorowania.

Stwierdzenie 1.35. Niech f = (f 1 ,... , fm) : Rn^ ⊃ A → Rm^ i a ∈ A_. Następujące warunki są równoważne:_

(i) Funkcja f jest ciągła w punkcie a.

(ii) Dla każdego j = 1, 2 ,... , m funkcja fj jest ciągła w punkcie a.

Dowód. Dla każdego j 0 = 1, 2 ,... , m i każdego ciągu ( x (^) k) ⊂ A, x (^) k → a mamy oczywiście

0 ≤ |fj 0 ( x (^) k) − fj 0 ( a )| ≤

( (^) ∑m

j=

|fj ( x (^) k) − fj ( a )|^2

= ‖f ( x (^) k) − f ( a )‖.

Dlatego implikacja (i) ⇒ (ii) wynika natychmiast z twierdzenia o trzech ciągach, a im- plikacja w drugą stronę jest konsekwencją arytmetycznych własności granicy i ciągłości pierwiastka kwadratowego. 

Uwaga 1.36. W powyższym stwierdzeniu ciągłość fj wynika także stąd, że fj jest złoże- niem f i rzutu na j-tą oś układu współrzędnych. To minimalnie inny sposób wypowiedze- nia tego samego faktu.

Wniosek 1.37. Każdy wielomian n zmiennych rzeczywistych jest funkcją ciagłą.

Dowód. To wynika natychmiast z ciągłości funkcji współrzędnych i funkcji stałej, oraz z ciągłości sumy i iloczynu funkcji ciągłych. 

Wniosek 1.38. Wyznacznik macierzy jest funkcją ciągłą na zbiorze Mn×n ' Rn 2 wszyst- kich macierzy kwadratowych n × n_._

Dowód. Z permutacyjnej definicji wyznacznika wiadomo, że

det X =

σ∈Sn

sgn σ · x 1 ,σ(1)x 2 ,σ(2) ·... · xn,σ(n) , X = (xi,j ) 1 ≤i,j≤n ,

10 wersja robocza z dnia: 5 stycznia 2016

gdzie sumowanie odbywa się względem wszystkich permutacji σ ∈ Sn zbioru n-elemen- towego, a sgn σ = ± 1 oznacza znak permutacji. Zatem, wyznacznik jest po prostu wielo- mianem n^2 zmiennych rzeczywistych (wyrazów macierzy X), a więc jest funkcją ciągłą. 

Z ostatniego wniosku wynika łatwo, że zbiór wszystkich macierzy odwracalnych jest otwartym podzbiorem Mn×n ' Rn^2. Wiąże się z tym następująca ważna intuicja: mała zmiana wyrazów macierzy odwracalnej daje macierz odwracalną. Sformułujmy to ściśle.

Stwierdzenie 1.39. Jeśli f : Rn^ ⊃ Ω → R jest ciągła, a Ω jest otwartym podzbiorem Rn , to dla każdego przedziału otwartego (a, b) ⊃ R (dopuszczamy też możliwość a = −∞ lub b = +∞ ) zbiór U = f −^1

(a, b)

jest otwarty.

Dowód. Wybierzmy x ∈ U. Znajdziemy taką liczbę δ > 0 , że B( x , δ) ⊂ U , co zakończy dowód otwartości tego zbioru. Skoro x ∈ U , to z definicji a < f ( x ) < b. Wybierzmy taką liczbę ε > 0 , żeby przedział (f ( x )−ε, f ( x )+ε) był zawarty w (a, b). Następnie, dobierzmy δ > 0 tak, aby dla ‖ y − x ‖ < δ zachodziła nierówność |f ( x ) − f ( y )| < ε (uwaga: tu właśnie korzystamy z ciągłości f ). Wtedy f ( y ) ∈ (f ( x ) − ε, f ( x ) + ε) ⊂ (a, b),

a więc, wprost z definicji przeciwobrazu, y ∈ f −^1

(a, b)

= U. Wykazaliśmy więc, że jeśli y ∈ B( x , δ), to y ∈ U , tzn. B( x , δ) ⊂ U. Zgodnie z początkową zapowiedzią, dowód jest zakończony. 

Wniosek 1.40. Zbiór macierzy odwracalnych n×n jest otwartym podzbiorem Mn×n ' Rn 2 .

Dowód. Zbiór, o który chodzi, jest sumą dwóch zbiorów:

{X ∈ Mn×n : det X > 0 } oraz {X ∈ Mn×n : det X < 0 }.

Ze Stwierdzenia 1.39 i ciągłości wyznacznika wnioskujemy, że każdy z tych zbiorów jest otwarty, a więc ich suma też jest zbiorem otwartym. 

Ciągłość norm i przekształceń liniowych

Stwierdzenie 1.41. Każde przekształcenie liniowe A : Rn^ → Rm^ spełnia warunek Lip- schitza (w szczególności: jest ciągłe).

Dowód. Niech A = (aij ), bez zbytnich obaw o kolizję oznaczeń, oznacza macierz prze- kształcenia A w standardowych bazach Rn^ i Rm. Wektory standardowej bazy w Rn^ bę- dziemy oznaczać

e i = (0,... , 0 , (^) ︸︷︷︸ 1 i

, 0 ,... , 0) , i = 1,... , n.

Zauważmy, że zapis x = (x 1 ,... , xn) oznacza tyle samo, co x =

xi e i. Posługując się naj- pierw nierównością trójkąta i własnościami normy, następnie zaś nierównością Schwa-

12 wersja robocza z dnia: 5 stycznia 2016

Nietrudno sprawdzić, że wśród wszystkich stałych, spełniających warunek (iii) z po- wyższego zadania, istnieje zawsze najmniejsza (nierówności nieostre zachowują się w granicy). Tę stałą nazywamy normą^5 przekształcenia liniowego A i oznaczamy ‖A‖. Ma ona poglądową interpretację geometryczną: dla A : Rn^ → Rm^ liczba ‖A‖ jest równa

sup ‖ x ‖=

‖A x ‖ ,

tzn. jest długością najdłuższej półosi elipsoidy, która jest obrazem kuli jednostkowej pod działaniem przekształcenia A.

Stwierdzenie 1.45. Niech f ( x ) = ‖ x ‖′^ będzie dowolną normą na przestrzeni Rn_. Wów- czas_ f spełnia warunek Lipschitza w normie euklidesowej ‖ · ‖ ≡ ‖ · ‖ 2_. W szczególności, dowolna norma jest funkcją ciągłą na_ Rn_._

Dowód. Dla każdego x ∈ Rn, postępując tak samo, jak w początkowej części dowodu Stwierdzenia 1.41, otrzymujemy

‖ x ‖′^ =

∑^ n

i=

xi e i

′ ≤

∑^ n

i=

|xi| · ‖ e i‖′^ ≤ ‖x‖ 2 ·

( (^) ∑n

i=

‖ e i‖′

= C‖x‖ 2 ,

gdzie stała

C =

( (^) ∑n

i=

‖ e i‖′

zależy tylko od nieznanej normy ‖ · ‖′, nie zaś od konkretnego punktu x ∈ Rn. Dlatego, z nierówności trójkąta,

∣ ∣‖ x ‖′^ − ‖ y ‖′

∣ (^) ≤ ‖ x − y ‖′^ ≤ C‖ x − y ‖ 2 ,

tzn. funkcja f = ‖ · ‖′^ spełnia warunek Lipschitza ze stałą C. 

Definicja 1.46 ( równoważność norm ). Powiemy, że normy ‖ · ‖ i ‖ · ‖′^ określone na tej samej przestrzeni liniowej V są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stała C ≥ 1 taka, że 1 C ‖ x ‖′^ ≤ ‖ x ‖ ≤ C‖ x ‖′^ dla wszystkich x ∈ V.

Twierdzenie 1.47. Wszystkie normy na przestrzeni Rn^ są równoważne.

Dowód tego twierdzenia pozostawimy jako zadanie dla Czytelnika. Oto wskazówka: wy- starczy umieć porównać każdą normę z normą euklidesową; porównanie ‖ · ‖′^ ≤ C‖ · ‖ 2 przeprowadziliśmy w ostatnim dowodzie. Wystarczy zatem wykazać, że zachodzi, być może z inną stałą, nierówność przeciwna. Można w tym celu wykorzystać twierdzenie Weierstrassa o przyjmowaniu kresów i fakt, że sfera { x ∈ Rn^ : x^21 + · · · + x^2 n = 1} jest zbiorem zwartym. Inne z eleganckich zastosowań twierdzenia Weierstrassa opisuje poniższy (^5) lub normą operatorową

©c MIM UW, 2011/12 13

Przykład 1.48 ( dowód nierówności między średnimi ). Załóżmy, że x 1 ,... , xn ≥ 0. Wykażemy nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną,

( x 1 x 2... xn

) 1 /n ≤ x 1 + x 2 + · · · + xn n

a także sprawdzimy, że równość w tej nierówności zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby xi są równe. Zauważmy najpierw, że rozważania wystarczy ograniczyć do przypadku, gdy x 1 + x 2 + · · · + xn = n. To wynika z jednorodności: jeśli każdą z liczb xi pomnożymy przez ten sam współczynnik t > 0 , to lewa i prawa strona (1.3) też zostaną pomnożone przez t. Oznaczmy teraz

K = { x ∈ Rn^ : xi ≥ 0 dla wszystkich i, a ponadto x 1 + · · · + xn = n}.

Zbiór K jest zwarty.^6 Dla x ∈ K prawa strona nierówności (1.3) jest równa 1. Wystarczy więc wykazać, że

f ( x ) := x 1 x 2... xn ≤ 1 = f (1, 1 ,... , 1) dla wszystkich x ∈ K,

przy czym równość zachodzi jedynie wtedy, gdy x = (1, 1 ,... , 1) ∈ K. Funkcja f ( x ) = x 1 x 2... xn jest ciągła, osiąga zatem w pewnym punkcie a ∈ K swój kres górny. Przypuśćmy, że ów punkt ma pewne dwie współrzędne różne, np. dla ustalenia uwagi niech a 1 < a 2. Z pewnością sup f ≥ 1 , więc ai > 0 dla wszystkich i. Rozważmy pomocniczy punkt a ′^ =

(a 1 + a 2 )/ 2 , (a 1 + a 2 )/ 2 , a 3 ,... , an

Suma jego współrzędnych jest równa

ai = n, więc także a ′^ ∈ K. Nietrudno jednak sprawdzić, że z uwagi na ostrą nierówność a 1 < a 2 jest^7

( a 1 + a 2 2

a 1 a 2

stąd zaś, ponieważ ai > 0 dla wszystkich i,

f ( a ′) =

a 1 + a 2 2

a 3... an > a 1 a 2 a 3... an = f ( a ) = sup K

f ,

sprzeczność. Punkt a , w którym f osiąga największą wartość, musi więc mieć wszystkie współrzędne równe. W K jest tylko jeden taki punkt, mianowicie a = (1, 1 ,... , 1). Ostatecznie więc ( x 1 x 2... xn

) 1 /n ≤ 1 na K,

i równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x 1 = x 2 =... = xn = 1. 

Przykład 1.49. Rozważmy teraz funkcję dwóch zmiennych rzeczywistych daną wzorem

f (x, y) =

yx^2 y^2 + x^4 , (x, y) 6 = (0, 0),

0 , (x, y) = (0, 0).

©c MIM UW, 2011/12 15

Zbiory spójne

Aby zakończyć krótki przegląd podstawowych własności funkcji ciągłych, podamy jesz- cze wielowymiarowy odpowiednik własności Darboux. Potrzebne nam będzie w tym celu pojęcie zbioru spójnego. Oto odpowiednia definicja.

Definicja 1.50. Zbiór A ⊂ Rn^ jest niespójny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją dwa zbiory otwarte Ω 1 , Ω 2 ⊂ Rn^ takie, że

Ω 1 ∩ A 6 = ∅ 6 = Ω 2 ∩ A, Ω 1 ∩ Ω 2 ∩ A = ∅, A ⊂ Ω 1 ∪ Ω 2. (1.4)

Zbiór B nazywa się spójny , jeśli nie jest niespójny.

Przykład 1.51 ( spójność odcinka ). Sprawdzimy, że dla dowolnych punktów x , y ∈ Rn odcinek [ x , y ] = { z (t) = (1 − t) x + t y ∈ Rn^ : t ∈ [0, 1]}

jest zbiorem spójnym. Przypuśćmy, że jest przeciwnie. Niech Ω 1 , Ω 2 będą zbiorami otwar- tymi, spełniającymi (1.4) dla A = [ x , y ]. Bez zmniejszenia ogólności przyjmijmy, że x ∈ Ω 1. Z otwartości Ω 1 wynika, że punkt z (t) = (1−t) x +t y ∈ Ω 1 dla wszystkich dostatecznie małych^8 t ≥ 0. Oznaczmy teraz

S 1 = {s ∈ [0, 1] : dla wszystkich t ∈ [0, s] punkt z (t) ∈ Ω 1 }.

To jest niepusty i ograniczony podzbiór odcinka [0, 1]. Niech σ = sup S 1. Mamy σ ∈ (0, 1]. Gdyby σ < 1 , σ ∈ S 1 , to odcinek [x, z (σ)] zawierałby się w Ω 1. Biorąc ρ > 0 takie, że B( z (σ), ρ) ⊂ Ω 1 , sprawdzamy, że

‖ z (σ) − z (s)‖ = |σ − s| · ‖ x − y ‖ < ρ dla |σ − s| < ρ/‖ x − y ‖, s ∈ [0, 1],

tzn. z (s) ∈ Ω 1 dla wszystkich s dostatecznie bliskich σ, co przeczy temu, że σ = sup S 1. Gdyby σ = 1 ∈ S 1 , to mielibyśmy [ x , y ] ⊂ Ω 1 , co przeczy definicji niespójności: zbiory Ωi ∩ [ x , y ] powinny być oba niepuste i rozłączne. Zatem 0 < σ 6 ∈ S 1 , stąd zaś wynika, że z (σ) ∈ Ω 2. Wtedy jednak, tym razem wobec otwartości Ω 2 , dla wszystkich s dostatecznie bliskich σ jest z (s) ∈ Ω 2 , co przeczy równości σ = sup S 1 i definicji S 1. 

Przykład 1.52 ( spójność łamanych ). Łamaną w Rn^ nazwiemy sumę skończenie wielu odcinków I 1 ,... , IN , o tej własności, że koniec odcinka Ik jest początkiem Ik+1 dla każdego k = 1, 2 ,... , N − 1. (Odcinki mogą mieć inne punkty wspólne: nie wymagamy, żeby łamana nie przecinała siebie samej). Każda łamana też jest zbiorem spójnym. Można to wykazać na kilka sposobów. Po pierwsze, łamana jest ciągłym obrazem odcinka, a ciągły obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym (oba fakty nietrudno udowodnić samemu; szczegóły, które pojawią się na zajęciach z topologii, pozostawimy Czytelnikowi). Po drugie, można wykorzystać spójność odcinka i stosować przez indukcję następujący lemat:

Lemat 1.53. Jeśli zbiory A, B ⊂ Rn^ są spójne i A ∩ B 6 = ∅ , to S = A ∪ B jest zbiorem spójnym.

(^8) Czytelnik sprawdzi, że jest tak dla 0 ≤ t < δ/‖ y − x ‖, gdzie δ > 0 jest taką liczbą, że B( x , δ) ⊂ Ω 1.

16 wersja robocza z dnia: 5 stycznia 2016

Dowód. Przypuśćmy, że tak nie jest. Istnieją wtedy zbiory otwarte Ω 1 , Ω 2 ⊂ Rn^ takie, że

Ω 1 ∩ S 6 = ∅ 6 = Ω 2 ∩ S, Ω 1 ∩ Ω 2 ∩ S = ∅, S ⊂ Ω 1 ∪ Ω 2. (1.5)

Niech x ∈ A ∩ B. Bez zmniejszenia ogólności, x ∈ Ω 1. Zbiór A jest zawarty w sumie S zbiorów A i B; dlatego, wobec drugiego i trzeciego warunku w (1.5),

Ω 1 ∩ Ω 2 ∩ A = ∅, A ⊂ Ω 1 ∪ Ω 2.

Jednak A jest spójny, dlatego – z definicji! – któryś ze zbiorów Ωi ∩ A musi być pusty. Ponieważ x ∈ A ∩ Ω 1 , tzn. A ∩ Ω 1 nie jest pusty, więc A ∩ Ω 2 = ∅. Ponieważ x ∈ B, więc, powtarzając powyższe rozumowanie, wnioskujemy, że B ∩ Ω 2 = ∅. Skoro jednak A ∩ Ω 2 = B ∩ Ω 2 = ∅, to (A ∪ B) ∩ Ω 2 = S ∩ Ω 2 = ∅. Otrzymaliśmy sprzeczność z pierwszym warunkiem w (1.5). 

Uwaga 1.54. Proszę sprawdzić, że powyższy lemat zachodzi nie tylko dla dwóch zbiorów spójnych, ale i dla dowolnej rodziny zbiorów spójnych, mających choć jeden punkt wspólny. W dowodzie trzeba dopasowac tylko oznaczenia.

Twierdzenie 1.55. Załóżmy, że zbiór U ⊂ Rn^ ma następującą własność: dla każdych x , y ∈ U istnieje zbiór spójny A ⊂ U taki, że x , y ∈ A_. Wtedy_ U jest spójny.

Dowód. Przypuśćmy, że U nie jest spójny. Weźmy zbiory otwarte Ω 1 , Ω 2 ⊂ Rn^ takie, że

Ω 1 ∩ U 6 = ∅ 6 = Ω 2 ∩ U, Ω 1 ∩ Ω 2 ∩ U = ∅, U ⊂ Ω 1 ∪ Ω 2.

Niech x ∈ Ω 1 ∩ U , y ∈ Ω 2 ∩ U. Dobierzmy zbiór spójny A ⊂ U taki, że x , y ∈ A. Wtedy

Ω 1 ∩ A ⊃ { x } 6 = ∅ 6 = { y } ⊂ Ω 2 ∩ A, Ω 1 ∩ Ω 2 ∩ A = ∅, A ⊂ U ⊂ Ω 1 ∪ Ω 2.

To jednak przeczy spójności A, zatem U nie może być niespójny. 

Wniosek 1.56. Jeśli dowolne dwa punkty zbioru U można połączyć łamaną (ogólniej: krzywą) zawartą w tym zbiorze, to U jest zbiorem spójnym.

Okazuje się, że jeśli zbiór U jest otwarty, to implikację z ostatniego wniosku można odwrócić. Zachodzi następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.57 ( spójność zbiorów otwartych ). Niech U ⊂ Rn^ będzie otwarty. Wów- czas U jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy dowolne dwa punkty zbioru U można połączyć łamaną, zawartą w tym zbiorze.

Łamane można w tym twierdzeniu zastąpić ogólniejszymi krzywymi (definiując krzywą jako ciagły obraz odcinka). Zanim przejdziemy do dowodu, podkreślmy ważną rzecz: teza tego twierdzenia nie zachodzi dla zbiorów, które nie są otwarte. Różne przykłady Czytel- nik pozna na zajęciach z Topologii; w szczególności, zbiór

A = {(x, y) ∈ R^2 : x = 0, − 1 ≤ y ≤ 1 } ∪ {(x, y) ∈ R^2 : x > 0 , y = sin(1/x)}

jest spójny, ale nie każde jego dwa punkty można połączyć krzywą zawartą w A.

Dowód. Wobec Wniosku 1.56 wystarczy wykazać, że jeśli x ∈ U , to dla każdego y ∈ U istnieje łamana zawarta w U i łącząca punkty x , y.