Analiza skupień - Notatki - Wielowymiarowa analiza porównawcza - Część 1, Notatki z Bankowość i finanse

Pobierz Analiza skupień - Notatki - Wielowymiarowa analiza porównawcza - Część 1 i więcej Notatki w PDF z Bankowość i finanse tylko na Docsity!

ANALIZA SKUPIEŃ (KLASYFIKACJA, GRUPOWANIE)

1.1. ZASTOSOWANIE ANALIZY SKUPIEŃ

Analizę skupień stosujemy gdy chcemy wyróżnić grupy obiektów podobnych , w przypadku gdy obiekty te są opisane przez więcej niż jedną cechę.

Przykład 1 : Społeczność nieformalnie dzieli się na „klasy” biorąc pod uwagę ogólnie rozumiany status społeczny, który jest często wypadkową stanu ich majątku oraz ich wykształcenia. Przykład 2 : Samochody dzieli się na określone klasy, kierując się nie tylko rodzajem nadwozia, ale także pojemnością i mocą silnika.

Analiza skupień ma zastosowanie np. w wyszukiwarkach internetowych – pomaga ona tworzyć sensowne grupy tematycznie powiązanych dokumentów, oraz opisać te grupy w sposób zrozumiały dla człowieka.

1.2. PODSTAWOWE POJĘCIA

skupienie (grupa, klasa) - taki zbiór obiektów, w którym podobieństwo pomiędzy dowolną parą obiektów jest większe niż podobieństwo pomiędzy jakimkolwiek obiektem należącym do klasy, a dowolnym obiektem do niej nie należącym 1 ; skupienia są rozłączne, czyli żaden obiekt nie może być częścią dwóch klas;

Ilustracja 1. Przykład tworzenia skupień

Źródło: opracowanie własne

Jak widać na prawym rysunku, czasami nie możemy stanowczo stwierdzić ile klas powinno powstać. O metodzie wyboru optymalnej liczby klas dowiemy się w głębi kursu.

Odległość (między dwoma obiektami xi i xk ) - istnieje wiele sposobów definiowania

odległości. W tej pracy będziemy używali odległości euklidesowej, wyrażonej wzorem:

(^1) GATNAR Eugeniusz, WALESIAK Marek Metody statystycznej analizy wielowymiarowej w badaniach

marketingowych. Wrocław : Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, 2004, s. 317

2 1

( , ) ( ij kj )

p

j

d xi xk  dik   x  x 

gdzie xij – wartość obiektu xi pod względem cechy j , natomiast p – liczba tych cech.

W potocznym rozumowaniu jest to po prostu długość odcinka łączącego dwa punkty.

Odległość (między dwoma skupieniami) - może być definiowana w różny sposób, przykłady metod przedstawia ilustracja 2^2 :

(^2) GRABIŃSKI Tadeusz Metody taksonometrii. Kraków: Wyd. AE 1988

Źródło: opracowanie własne

Dla więcej niż trzech cech musimy już uruchomić wyobraźnię – wzór ogólny na środek ciężkości ma postać:

x   x 1 , x 2 ,... xp  (2)

gdzie: 



r

i

j xij

r

x

1

, r to ilość obiektów w danym skupieniu, a p to ilość cech

opisujących obiekty.

1.3. METODY GRUPOWANIA – OGÓLNA CHARAKTERYSTYKA

Ogólnie metody grupowania dzielimy na:

METODY HIERARCHICZNE METODY NIEHIERARCHICZNE

Metody te polegają na iteracyjnym łączeniu obiektów w coraz to większe lub coraz to mniejsze skupienia (budowanie hierarchii skupień w zależności od odległości między nimi)

Metody te polegają na przenoszeniu obiektów z jednego skupienia do innego, w poszukiwaniu najlepszego zestawu skupień wg zadanego kryterium (np. najmniejszej wariancji międzygrupowej)

Każda z tych grup metod jest bardzo rozbudowana i ma wiele wariantów. W tej pracy przedstawiono najczęściej z nich stosowane: procedurę aglomeracyjną (jako przykład metody hierarchicznej) oraz metodę k-średnich (jako przykład metody niehierarchicznej).

1.4. PROCEDURA AGLOMERACYJNA

1. Dysponując macierzą n obiektów i p zmiennych konstruujemy macierz odległości między poszczególnymi obiektami:

D   dik , gdzie i,k=1,..n (3)

gdzie d ik - odległość pomiędzy i -tym a k -tym obiektem, wyrażona wzorem (1) ;

2. Znajdujemy parę obiektów najbardziej podobnych – w sensie najmniejszej odległości
   • łącząc je w skupienie (wybieramy przy tym dowolną metodę odległości między skupieniami omówioną w rozdziale 1.3) Obiekty te zastąpimy od tej pory jednym, o współrzędnych punktu ciężkości skupienia.

3. Redukujemy wymiar macierzy D o jeden (dwa obiekty zostały zastąpione jednym) i

przeliczamy odległości di pomiędzy nowym skupieniem a pozostałymi obiektami (skupieniami).

4. Powtarzamy kroki 2-3 aż do uzyskania jednego skupienia zawierającego wszystkie obiekty.

Schemat ten dla przykładu 4 obiektów: A,B,C i D przedstawia wykres (zastosowano odległość między punktami skupień):

Ilustracja 4. Schemat procedury aglomeracyjnej

Źródło: opracowanie własne

1.5. PROCEDURA AGLOMERACYJNA – przykład w Excelu

Rozpatrzmy przypadek 10 uniwersytetów, które będą pełniły tu rolę obiektów. Trudno jednoznacznie powiedzieć który z nich jest najlepszy, mają one bowiem różne zalety i wady. W pewnym rankingu opisano je za pomocą trzech cech:

X1 – liczba studentów (2005) X2 – liczba uczestników studiów doktoranckich (2005) X3 – liczba profesorów zwyczajnych pełnozatrudnionych (2005)

Procedurę aglomeracyjną zrealizowano w kilku krokach:

KROK 1: Wyznaczamy macierz odległości D daną wzorem (3).

Ilustracja 7. Macierz odległości, krok 1 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 0,0 1,0 0,6 1,1 1,6 1,5 1,2 1,8 3,9 1, 2 1,0 0,0 0,6 0,4 2,5 2,3 1,5 2,7 3,1 0, 3 0,6 0,6 0,0 0,5 1,9 1,6 1,0 2,1 3,7 1, 4 1,1 0,4 0,5 0,0 2,3 2,1 1,3 2,6 3,3 0, 5 1,6 2,5 1,9 2,3 0,0 0,6 1,6 0,3 5,4 2, 6 1,5 2,3 1,6 2,1 0,6 0,0 1,2 0,6 5,3 2, 7 1,2 1,5 1,0 1,3 1,6 1,2 0,0 1,7 4,5 2, 8 1,8 2,7 2,1 2,6 0,3 0,6 1,7 0,0 5,7 3, 9 3,9 3,1 3,7 3,3 5,4 5,3 4,5 5,7 0,0 2, 10 1,3 0,6 1,1 0,9 2,8 2,7 2,0 3,1 2,7 0, Źródło: opracowanie własne

Widać, iż najmniejsza jest odległość pomiędzy obiektami o numerach 5 i 8 (UO i UB), stąd one właśnie utworzą pierwsze skupienie.

Następnie ze wzoru (2) obliczamy środek ciężkości nowo utworzonego skupienia. W tabeli wartości zestandaryzowanych wiersze 5 i 8 zastępujemy jednym, w którym znajdują się współrzędne środka ciężkości:

Ilustracja 8. Tabela wartości zestandaryzowanych, krok 1

i nr skup. X1i X2i X3i

Źródło: opracowanie własne

Widzimy także że skupienia uległy przenumerowaniu: odtąd w pierwszej kolumnie będą wpisywane numery obiektów w poszczególnych skupieniach, zaś w drugiej kolumnie – numery tych skupień. Uwaga: numery te mają jedynie rolę porządkującą, np. numer 5 nie oznacza, że obiekty 5 i 8 tworzą 5-te z kolei skupienie (jest to przecież skupienie pierwsze z kolei).

KROK 2: Wyznaczamy macierz odległości D z nowym skupieniem:

Ilustracja 9. Macierz odległości, krok 2 D i 1 2 3 4 5,8 6 7 9 10 i nr skup. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 0,0 1,0 0,6 1,1 1,7 1,5 1,2 3,9 1, 2 2 1,0 0,0 0,6 0,4 2,6 2,3 1,5 3,1 0, 3 3 0,6 0,6 0,0 0,5 2,0 1,6 1,0 3,7 1, 4 4 1,1 0,4 0,5 0,0 2,4 2,1 1,3 3,3 0, 5,8 5 1,7 2,6 2,0 2,4 0,0 0,6 1,7 5,5 2, 6 6 1,5 2,3 1,6 2,1 0,6 0,0 1,2 5,3 2, 7 7 1,2 1,5 1,0 1,3 1,7 1,2 0,0 4,5 2, 9 8 3,9 3,1 3,7 3,3 5,5 5,3 4,5 0,0 2, 10 9 1,3 0,6 1,1 0,9 2,9 2,7 2,0 2,7 0, Źródło: opracowanie własne

Najmniejsza jest odległość pomiędzy obiektami o numerach 2 i 4 (UŁ i UMKT), więc utworzą one drugie skupienie.

Znowu ze wzoru (2) obliczamy środek ciężkości nowego skupienia. Wiersze 2 i 4 zastępujemy jednym, w którym znajdują się współrzędne środka ciężkości:

Ilustracja 10. Tabela wartości zestandaryzowanych, krok 2

i nr skup. X1i X2i X3i

Źródło: opracowanie własne

oraz przenumerowujemy drugą kolumnę (mamy już tylko 8 skupień).

Procedurę tą, jak się Czytelnik domyśla, powtarzamy jeszcze 7 razy. Szczegółowe obliczenia można sprawdzić w arkuszu Excela :

Tutaj zaś podamy tylko efekty ostatniej iteracji oraz końcowe wyniki.

KROK 9 : W ostatnim etapie okazało się że skupienia nie są regularne: obiekt nr 9 (UW) stanowi punkt izolowany, zaś pozostałe uczelnie tworzą jedno duże skupienie. Ostatnia macierz odległości ma postać:

Ilustracja 11. Macierz odległości, krok 9

D i

i nr skup. 1 2 1,2,3,4, 5,6,7,8 1 0,0^ 4, (^9 2) 4,2 0, Źródło: opracowanie własne

Link do arkusza

Ilustracja 13. Sposób przeklejenia danych tekstowych w SPSS

Źródło: opracowanie własne

Jak widzimy, pierwsza zmienna nie została przeklejona. Wystarczy wtedy wybrać dolną zakładkę „ Zmienne ” i ustawić typ komórek na „ Tekstowy ” (z dowolną liczbą znaków). Po tej operacji ponowne wklejenie danych w zakładce „ Dane ” powinno się udać.

W zakładce „ Zmienne ” można też zmieniać inne ustawienia komórek: w naszym przykładzie zmienimy nazwy zmiennych (kolumna „ nazwa ”), możliwą do wklejenia liczbę znaków (kolumna „ szerokość ”) oraz liczbę miejsc po przecinku (kolumna „ dziesiętne ”), tak jak poniżej:

Ilustracja 14. Zmiana ustawienia komórek w SPSS

Źródło: opracowanie własne