Analiza zespolona: zasada zachowania obszaru, zasada maksimum i lemat Schwarza, Opracowania z Matematica Generale

Pobierz Analiza zespolona: zasada zachowania obszaru, zasada maksimum i lemat Schwarza i więcej Opracowania w PDF z Matematica Generale tylko na Docsity!

Analiza Zespolona

Wykład 15 (14.06.2016)

Zasada zachowania obszaru, zasada maksimum i lemat Schwarza

Twierdzenie 1 ( O odwzorowaniu otwartym ). Niech D ⊂ C będzie obszarem i niech f będzie niestałą funkcja holomorficzną w D. Wówczas dla dowolnego zbioru otwartego U ⊂ D zbiór f ( U ) jest otwarty.

Wniosek ( Zasada zachowania obszaru ). Jeżeli D ⊂ C jest obszarem oraz f ∈ H ( D ), f 6 = const , to f ( D ) też jest obszarem.

Kolejne twierdzenie mówi, że moduł niestałej funkcji analitycznej w pewnym obszarze nie osiąga maksimum w żadnym punkcie wewnętrznym tego obszaru:

Twierdzenie 2 ( Zasada maksimum ). Niech f będzie funkcja analityczną w obszarze D. Jeśli istnieje a ∈ D takie, że ∀z ∈ D |f ( a ) | | f ( z ) |,

to f jest stała w D.

Z zasady maksimum wynika następujące twierdzenie:

Twierdzenie 3 ( Lemat Schwarza ). Niech f ∈ H ( D (0 , 1)), gdzie D (0 , 1) = {z : |z| < 1 }. Jeżeli

(1) ∀z ∈ D (0 , 1) |f ( z ) ¬ 1

(2) f (0) = 0 ,

to |f ′ (0) | ¬ 1 oraz dla dowolnego z ∈ D (0 , 1) zachodzi nierówność |f ( z ) | ¬ |z|. Ponadto, jeśli |f ′ (0) | = 1 lub istnieje punkt z ∈ D (0 , 1) \ { 0 } taki, że |f ( z ) | = |z| , to f jest obrotem.