Pobierz Andrzej Raczynski Mechanika klasyczna cz.1 i więcej Schematy w PDF z Mechanika tylko na Docsity!
Andrzej Raczy´nski
Mechanika klasyczna cz.
Opracowanie niniejsze obejmuje materia l wyk ladu, ´cwicze´n i konwersato- rium z mechaniki klasycznej, przewidziany na rok 2020/21. Podrozdzia ly przewidziane na konwersatorium oznaczone b¸ed¸a liter¸a (K) przy tytule. Wybrane podred¸ czniki:
- W. Rubinowicz, W. Kr´olikowski, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa, 1995 - podstawowy (obejmuje ca ly materia l poza mechanik¸a o´srod´ow ci¸aglych).
- G. Bia lkowski, Mechanika klasyczna, PWN, Warszawa, 1975 - jak wy˙zej
- L. D. Landau, J. M. Lifszyc, Mechanika, PWN, Warszawa, 2006.
- I. I. Olchowski, Mechanika teoretyczna, PWN Warszawa 1978.
- K Stefa´nski, Wst¸ep do mechaniki klasycznej, PWN Warszawa, 1999 (obejmuje ca ly materia l poza mechanik¸a o´srod´ow ci¸ag lych).
- R. S. Ingarden, A. Jamio lkowski, Mechanika klasyczna, PWN Warszawa, Pozna´n, 1980 (matematycznie zaawansowany).
- W. I. Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, PWN, Warszawa, 1981 (matematycznie zaawansowany).
- J. Bukowski, P. Kijkowski, Kurs mechaniki p lyn´ow, PWN, Warszawa,
- B. ´Sredniawa, J. Weyssenhoff, Mechanika ´srodowisk rozci¸ag lych, PWN Warszawa, Krak´ow, 1969 (podstawowy).
- L. D. Landau E. M. Lifszyc, Hydrodynamika, PWN Warszawa, 1994 (bardzo obszerny, potrzebne b¸ed¸a pocz¸atkowe fragmenty)
1 Mechanika punktu materialnego
Mechanika klasyczna opisuje cia la fizyczne w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Galileusza; punkt w czasoprzestrzeni jest zdarzeniem. Zdarzenie opisane jest jedn¸a wsp´o lrz¸edn¸a czasow¸a t i trzema wsp´o lrz¸ednymi przestrzennymi r = (x, y, z). Dla dw´och zdarze´n r´ownoczesnych okre´slona jest ich odleg lo´s´c przestrzenna dana metryk¸a przestrzeni euklidesowej |r 1 − r 2 |. Dla dw´och
zdarze´n nier´ownoczesnych nie mo˙zna okre´sli´c ich odleg lo´sci przestrzennej. M´owi si¸e, ˙ze czas jest absolutny, lecz przestrze´n jest wzgl¸edna. W dawnej fizyce Arystotelesa przestrze´n by la traktowana jako absolutna. W teorii wzgl¸edno´sci czas traci absolutny charakter, a odleg lo´s´c mi¸edzy zdarzeniami (a raczej pseudoodleg lo´s´c) definiowana jest inaczej. Punkt materialny jest modelem cz¸astki bez struktury wewn¸etrznej, o zaniedbywalnie ma lych (w granicy niesko´nczenie ma lych) rozmiarach. Opisuje si¸e go podaj¸ac jego mas¸e (o czym ni˙zej) oraz po lo˙zenie dane przez wek- tor r w ka˙zdej chwili t. Niech dany jest kartezja´nski prawoskr¸etny uk lad wsp´o lrz¸ednych o ortonormalnych wektorach jednostkowych (i, j, k), (i^2 = j^2 = k^2 = 1, ij = jk = ki = 0, i × j = k z cyklicznym przestawieniem). W kilku przypadkach stosowane b¸ed¸a oznaczenia (e 1 .e 2 , e 3 ) zamiast (i, j, k) i (x 1 , x 2 , x 3 ) zamiast (x, y, z). Czasem zamiast pogrubienia wektor b¸edzie oznaczany strza lk¸a. Wektor r mo˙zna roz lo˙zy´c jako r = xi + yj + zk, (1)
co mo˙zna zapisa´c kr´otko r = (x, y, z). D lugo´s´c wektora r wynosi r = |r|. Definiuje si¸e pr¸edko´s´c i przyspieszenie jako pochodne wzgl¸edem czasu t
v = vxi + vyj = vz k =
dr dt
dx dt
i +
dy dt
j +
dz dt
k, (2)
a = axi + ayj = az k =
dv dt
dvx dt
i +
dvy dt
j +
dvz dt
k =
d^2 x dt^2
i +
d^2 y dt^2
j +
d^2 z dt^2
k.
Pochodna wzgl¸edem czasu cz¸esto oznaczana b¸edzie kropk¸a nad symbolem wielko´sci r´o˙zniczkowanej. Krzywa r(t) = jest torem (trajektori¸a) punktu materialnego. Wprowad´zmy element d lugo´sci elementu trajektorii ds = |dr|. Wektor jednostkowy t = d dsr jest styczny do toru (uwaga na zbie˙zno´s´c tradycyjnych oznacze´n czasu t i wektora stycznego t). Pr¸edko´s´c mo˙zna zapisa´c jako
v =
dr dt
dr ds
ds dt
= tv, (3)
jest wi¸ec styczna do toru. Przyspieszenie zawiera zar´owno sk ladow¸a styczn¸a jak i prostopad l¸a (nor- maln¸a) do toru
a =
d dt
tv = t
dv dt
dt dt
v = t
dv dt
dt ds
ds dt
= t
dv dt
dt ds
Pierwsz¸a sum¸e oznaczymy jako d
′ dt b
k=
db′ k dt e
′ k. Aby zbada´c wyra˙zenia w drugiej sumi, zr´o˙zniczkujmy relacj¸e ortonormalno´sci wektor´ow e′ k
d dt
e′ ke′ s =
d dt
δks = 0 =
de′ k dt
e′ s + e′ k
de′ s dt
Pochodne wektor´ow jednostkowych mo˙zna roz lo˙zy´c w ich bazie jako
de′ i dt
∑^3 j=
αij e′ j. (11)
Zastosowanie tej relacji w poprzedniej daje, po skorzystaniu z ortonormalno´sci wektor´ow e′ j de′ k dt
e′ s + e′ k
de′ s dt
= αks + αsk = 0. (12)
Wynika st¸ad, ze˙ αjj = 0. Wprowad´zmy oznaczenia α 12 = −α 21 = ω′ 3 , α 23 = −α 32 = ω 1 ′, α 31 = −α 13 = ω′ 2. Przyczynek do pochodnej wektora b′^ daje si¸e zapisa´c jako ∑^3
k=
b′ k
de′ k dt
∑^3
k=
b′ k
∑^3
j=
αkj e′ j = (13)
e′ 1 (−ω 3 ′b′ 2 + ω 2 ′b′ 3 ) + e′ 2 (−ω′ 1 b′ 3 + ω′ 3 b′ 1 ) + e′ 3 (−ω′ 2 b′ 1 + ω′ 1 b′ 2 ) = ~ω × b′.
Pochodna wektora b′^ ma wi¸ec posta´c
d dt
b′^ =
d′ dt
b′^ + ~ω × b′. (14)
Transformacja pr¸edko´sci ma zatem posta´c
v ≡
dr dt
dr 0 dt
dr′ dt
dr 0 dt
d′r′ dt
- ~ω × r′^ = vtr + v′^ + ~ω × r′, (15)
gdzie vtr = d dtr^0 jest pr¸edko´sci¸a ruchu translacyjnego uk ladu U ′^ wzgl¸edem U , a v′^ jest pr¸edko´sci¸a rozwa˙zanego punktu materialnego w uk ladzie U ′. Zr´o˙zniczkowanie relacji transformcyjnej dla pr¸edko´sci prowadzi do formu ly transformacyjnej dla przyspieszenia
a ≡
dv dt
dvtr dt
dv′ dt
d dt
(~ω × r′) = (16)
atr +
d′v′ dt
d~ω dt
× r′^ + ~ω × (
d′r′ dt
atr + a′^ + 2~ω × v′^ +
d~ω dt
× r′^ + ~ω × (~ω × r′).
Wektor ~ω ma sens pr¸edko´sci k¸atowej, co mo˙zna wykaza´c nast¸epuj¸aco. Niech ~ω ma tylko niezerow¸a sk ladow¸a z′. Oznaczmy ωdt = dα, gdzie dα~ jest wek- torem skierowanym wzd lu˙z osi z′; ma trzeci¸a sk ladow¸a dα. Przyrost wektora r′^ w czasie dt wynosi dr′^ = dα × r′. Wektor r′^ uleg l wi¸ec zmianie
r′^ + dr′^ =
x′ y′ z′
+
−y′dα x′dα′ 0
= (17)
{I + dα
}
x′ y′ z′
, (18)
gdzie I jest macierz¸a jednostkow¸a. We´zmy teraz α o sko´nczonej warto´sci i wykonajmy N transformacji, z kt´orych ka˙zda odpowiada warto´sci (^) Nα. Otrzy- mamy
r′^ + dr′^ = {I +
α N
}N
x′ y′ z′
→ N →∞ exp{α
}
x′ y′ z′
.(19)
Eksponent macierzy w powy˙zszej formule latwo jest obliczy´c, je´sli zauwa˙zy´c, ze macierz w pot¸˙ edze 0 jest macierz¸a jednostkow¸a I, macierz w pot¸edze
parzystej 2n jest macierz¸a
pomno˙zon¸a przez (−1)n, a w pot¸edze
nieparzystej 2n − 1 jest macierz¸a wyj´sciow¸a pomno˙zon¸a przez (−1)n−^1
exp{α
=^ I^ +
∑^ ∞
n=
αn n!
n
+
∑^ ∞
n=
α^2 n (2n)!
(−1)n
+
∑^ ∞
n=
α^2 n−^1 (2n − 1)!
(−1)n−^1
cos α − sin α 0 sin α cos α 0 0 0 1
. (20)
Otrzymano macierz obrotu wok´ol osi z o k¸at α = ωt. W og´olno´sci wektor ~ω zmienia w czasie kierunek i warto´s´c.
oraz po sca lkowaniu r = vtr(t − t 0 ) + r′. (25)
Ta ostatnia relacja znana jest jako transformacja Galileusza; opisuje ona przej´scie od jednego uk ladu inercjalnego do drugiego takiego uk ladu. Druga zasada dynamiki wymaga szerszego komentarza. Relacja
ma = F (26)
jest prawdziwa w uk ladzie inercjalnym, ale zawiera dwie dot¸ad niezdefin- iowane wielko´sci. Trzeba odnie´s´c si¸e do do´swiadczenia. Niech grupa punkt´ow materialnych numerowanych indeksem i poddana zostanie oddzia lywaniu z tym samym urz¸adzeniem przyspieszaj¸acym; i−ty obiekt do´swiadczy l przyspieszenia ai. Istniej¸a wsp´o lczynniki mi, takie ˙ze
m 1 a 1 = m 2 a 2 = ...mnan = .... (27)
Mo˙zna takie post¸epowanie powt´orzy´c z innymi urz¸adzeniami przyspieszaj¸acymi. Okazuje si¸e, ˙ze mo˙zna dobra´c te same wsp´o lczynniki mi dla cia la i, niezale˙znie od urz¸adzenia przyspieszaj¸acego. To pozwala przypisa´c i − temu punktowi materialnemu parametr mi, zwany mas¸a bezw ladn¸a, niezale˙zny od do´swiadczenia, jakiemu go poddano, Urz¸adzeniu przyspieszaj¸acemu mo˙zna przypisa´c wielko´s´c F = miai, niezale˙zn¸a od cia la i, zwan¸a si l¸a. Dopiero po takim komentarzu mo˙zna napisa´c wz´or F = ma. Obowi¸azuje zasada niezale˙zno´sci si l: je´sli na punkt materialny dzia la wi¸ecej si l, to porusza si¸e on tak, jakby dzia la la jedna si la, wypadkowa wszys- tkich si l. Jest to fakt empiryczny. W fizyce nierelatywistycznej masa grawitacyjna pojawia si¸e tak˙ze w prawie powszchnej ci¸a˙zenia. Dwa punkty materialne o masach m 1 i m 2 przyci¸agaj¸a si¸e z si l¸a
F = −
Gm 1 m 2 r^2
r r
gdzie r jest wektorem l¸acz¸acym punkty 1 i 2, a G jest sta l¸a grawitacji. R´owno´s´c masy bezw ladnej i masy grawitacyjnej jest w fizyce nierelatywisty- cznej faktem do´swiadczalnym. Teoretyczne uzadadnienie tej r´owno´sci po- jawia si¸e na poziomie og´olnej teorii wzgl¸edno´sci. Si la F dzia laj¸aca na punkt materialny mo˙ze zale˙ze´c, jak wynika z do´swiadczenia, od jego po lo˙zenia r, pr¸edko´sci ˙r i czasu
F = F(r, r˙, t). (29)
Dla ruchu (Newtona) w jednym wymiarze r´ownanie ruchu
m
d^2 x dt^2
= F (x, x, t˙ ) (30)
jest r´ownaniem r´o˙zniczkowym zwyczajnym, drugiego rz¸edu na funkcj¸e x = x(t). Rozwi¸azanie og´olne zawiera dwie sta le. Z warunk´ow brzegowych, na- jcz¸e´sciej pocz¸atkowych: x(t 0 ) = x 0 , ˙x(t 0 ) = v 0 wyznacza si¸e te sta le, otrzy- muj¸ac rozwi¸azanie szczeg´olne. Odpowiednio w trzech wymiarach r´ownanie ruchu (Newtona)
m
d^2 r dt^2
= F(r, r˙, t), (31)
jest uk ladem trzech sprz¸e˙zonych r´owna´n r´o˙zniczkowych zwyczajnych na funkcje r(t) = (x(t), y(t), z(t)) Rozwi¸azanie og´olne zawiera 6 sta lych. Wyznacza si¸e je z 6 warunk´ow pocz¸atkowych: r(t 0 ) = r 0 , ˙r(t 0 ) = v 0. W teorii r´owna´n r´o˙zniczkowych dowodzi si¸e, ˙ze przy pewnych za lo˙zeniach dotycz¸acych regularno´sci funkcji F, dla ustalonych warunk´ow pocz¸atkowych rozwi¸azanie istnieje i jest jednoznaczne. Dotyczy to tak˙ze uk lad´ow punkt´ow materialnych, o czym p´o´zniej. Oznacza to, ˙ze uk lad punkt ´ow material- nych pod wp lywem danej przyczyny (zespo lu si l) przy danych warunkach pocz¸atkowych porusza si¸e w zdeterminowamy spos´ob. W pewnym okresie historycznym stwarza lo to pokus¸e my´slenia o ´swiecie jak o puszczonej w ruch maszynie poruszj¸acej si¸e w zdeterminowany spos´ob. Jest to idea wielokrotnie sfalsyfikowana, nie tylko dlatego, ˙ze prawa mechaniki klasycznej nie wystarczaj¸a do opisu ´swiata. Okazuje si¸e tak˙ze na poziomie mechaniki klasyczej, ˙ze przewidywanie zachowania uk ladu mechanicznego w przysz lo´sci wymaga loby znajomo´sci warunk´ow pocz¸atkowych z niesko´nczon¸a dok ladno´sci¸a. Na og´o l dwa uk lady startuj¸ace z nieznacznie r´o˙zni¸acych si¸e warunk´ow pocz¸atkowych po nied lugim czasie zachowuj¸a si¸e jako´sciowo zupe lnie inaczej; jest to tak zwany chaos deterministyczny.
2.1 R´ownanie Newtona w ukladzie nieinercjalnym
R´ownanie Newtona mo˙zna napisa´c w uk ladzie nieinercjalnym pod warunkiem uwzgl¸ednienia modyfikacji. Z r´ownania w uk ladzie inercjalnym ma = F i z relacji transformacyjnej dla przyspiesze´n wynika, ˙ze
ma′^ = F − matr − 2 m~ω × v′^ − m
d~ω dt
× r′^ − m~ω × (~ω × r′). (32)
Z r´ownania Newtona wynika, ˙z
dJ dt
= ˙r × mr˙ + r × F = r × F ≡ D, (36)
gdzie D jest momentem si ly. Je´sli moment si ly jest r´owny zeru, moment p¸edu jest zachowany (jest sta l¸a ruchu czyli ca lk¸a ruchu). Zachowanie momentu p¸edu oznacza, ˙ze ruch jest p laski, bo zar´owno wektor po lo˙zenia r, jak i jego przyrost ˙rdt s¸a prostopad le do sta lego kierunku J. Je´sli si la dzia la wzd lu˙z kierunku wektora wodz¸acego r, moment si ly zeruje si¸e i moment p¸edu jest zachowany.
2.4 Zasada zachowania energii
R´ownanie Newtona pomn´o˙zmy obustronnie przez pr¸edko´s´c ˙r
dmr˙ dt
r˙ = Fr˙. (37)
lub inaczej d dt
mr˙^2 2
= Fr˙. (38)
Wielko´s´c T ≡ m^ r˙
2 2 nazywa si¸e energi¸a kinetyczn¸a.^ Sca lkowanie ostatnego r´ownania po czasie daje
T (t 1 ) − T (t 0 ) =
∫ (^) t 1
t 0
F(r, r˙, t)˙rdt. (39)
Ograniczmy si¸e chwilowo do si l zale˙znych tylko od po lo˙zenia. Wtedy ca lk¸e po prawej stronie mo˙zna napisa´c jako ∫ (^) t 1
t 0
F(r)˙rdt =
∫
C
F(r)dr, (40)
gdzie C jest trajektori¸a punktu materialnego o pocz¸atku w punkcie P 0 = r(t 0 ) i ko´ncu w punkcie P 1 = r(t 1 ). Ca lk¸e t¸e nazywamy prac¸a. Tak wi¸ec
T (t 1 ) − T (t 0 ) =
∫
C
F(r)dr. (41)
Przyrost energii kinetycznej jest wi¸ec r´owny pracy wykonanej na punkcie materialnym przez si l¸e F.
Istnieje klasa si l potencjalnych, tzn. takich, ze istnieje jednoznaczna˙ funkcja V (r, t) zwana potencja lem, taka ˙ze
F = −∇V ≡ −(
∂V
∂x
i +
∂V
∂y
j +
∂V
∂z
k). (42)
Je´sli dodatkowo V nie zale˙zy od czasu, si l¸e nazywamy zachowawcz¸a. Wtedy
T (t 1 ) − T (t 0 ) =
∫
C
F(r)dr = −
∫
C
∇Vdr = −V(r(t 1 )) + V(r(t 0 )). (43)
Oznacza to, ˙ze V jest energi¸a potencjaln¸a, a energia ca lkowita T+V jest sta l¸a (ca lk¸a) ruchu. Praca zale˙zy jedynie od punktu pocz¸atkowego i ko´ncowego, nie zale˙zy natomiast od szczeg´o l´ow trajektorii. Je´sli C 1 i C 2 s¸a dwiema dowolnymi trajektoriami l¸acz¸acymi punkty P 0 = r 0 i P 1 = r 1 i ∫
C 1
Fdr =
∫
C 2
Fdr, (44)
to (^) ∫
C 1
Fdr +
∫
−C 2
Fdr =
∮
C
Fdr = 0, (45)
gdzie −C 2 jest krzyw¸a zorientown¸a od P 1 do P 0 , a C jest krzyw¸a zamkni¸et¸a. Dla si l zachowawczych istnienie potencja lu w obszarze jednosp´ojnym (czyli takim, ze ka˙˙ zda krzywa daje si¸e ´sci¸agn¸a´c do punktu) jest r´ownoznaczne z niezale˙zno´sci¸a pracy od wyboru trajektorii l¸acz¸acej punkt pocz¸atkowy z ko´ncowym oraz z zerowaniem si¸e pracy po obwodzie zamkni¸etym. We´zmy dowoln¸a krzyw¸a zamkni¸et¸a C w obszarze jednosp´ojnym. Z twierdzenia Stokesa o zamianie ca lki krzywoliniowej po obwodzie zamkni¸etym na ca lk¸e powierzchniow¸a (^) ∮
C
Fdr =
∫
S
∇ × FdS, (46)
gdzie S jest dowoln¸a powierzchni¸a rozpi¸et¸a na krzywej C, wynika, ˙ze warunk- iem koniecznym i dostatecznym istnienia potencja lu jest zerowanie si¸e rotacji pola si l w tym obszarze (przy za lo˙zeniu dostatecznej regularno´sci funkcji F(r). ). Potencja l mo˙zna wyznaczy´c jako
V (r) = −
∫ (^) P =r
C′
Fdr, (47)
gdzie C′^ jest dowoln¸a krzyw¸a l¸acz¸ac¸a dowolnie wybrany punkr Q z P = r. Potencja l jest wi¸ec okre´slony z dok ladno´sci¸a do dowolnej sta lej addytywnej.
