Badania operacyjne notatki z wykładów, Notatki z Badania operacyjne

Pobierz Badania operacyjne notatki z wykładów i więcej Notatki w PDF z Badania operacyjne tylko na Docsity!

Istota i geneza

Badania operacyjne to nazwa dyscypliny, zajmującej się teorią podejmowania decyzji(w formie

ilościowej). Jest to zbiór metod matematycznych i statystycznych, pozwalających wyznaczyć metodę i rozwiązanie określonych problemów związanych z podjęciem optymalnych decyzji. Zoptymalizowanie decyzji w wyniku informacji, którą posiadamy. Badania operacyjne to nauka wykorzystująca modelowanie matematyczne do wspierania procesu podejmowania decyzji, przede wszystkim w zarządzaniu – nauka o zarządzaniu Zostały zapoczątkowane w okresie II wojny światowej w Stanach Zjednoczonych i Wielkiej Brytanii jako metody pozwalające podejmować lepsze decyzje związane z logistyką i planowaniem szkoleń. Między innymi udowodniono, że duże konwoje statków są bezpieczniejsze, co było związane z mniejszym prawdopodobieństwem natrafienia na wrogiego u-boota. Po wojnie zaczęto z powodzeniem stosować metody badań operacyjnych do sprawnego zarządzania w ekonomii i gospodarce(optymalizacja czasu przedsięwzięć inwestycyjnych, określanie struktury magazynowej, optymalizacja przepływu informacji, przepływ infrormacji w świecie fanansów, razwiązywanie systemów kolejkowych). Przedmiotem badań operacyjnych są zagadnienia dotyczące wykorzystania z reguły ograniczonych zasobów (czasowych, materiałowych, kadrowych, finansowych) do efektywnej (optymalnej) realizacji określonych zadań. Badania operacyjne zapewniają opracowanie liczbowych podstaw niezbędnych do podjęcia decyzji, jednak nie wypracowują samych decyzji, gdyż w trakcie ich podejmowania niezbędne jest często wykorzystanie nagromadzonych doświadczeń i uwzględnienie wielu czynników subiektywnych, które trudno jest przedstawić w formie wartości liczbowych. Podstawową rolę w badaniach operacyjnych odgrywają sformalizowane narzędzia i metody matematyczne, stądniekiedy mówi się, że badania operacyjne jest to zmaterializowany zdrowy rozsądek. W aspekcie metodologicznym istota badań operacji sprowadza się do:

• sformułowania zadania optymalizacyjnego , jako fragmentu problemu decyzyjnego, który zamierzamy rozwiązać,
• budowy modelu matematycznego , badanego systemu w oparciu o podejście całościowe i holistyczne,
• zaproponowanie naukowej metody rozwiązania problemu optymalizacyjnego, znalezienia optymalnego rozwiązania (w sensie matematycznym) na bazie zbudowanego modelu,
• sprawdzenia poprawności otrzymanego rozwiązania i zbudowanego modelu pod kątem ewentualnej modyfikacji. W badaniach operacji zasadniczą rolę odgrywa systemowe ujmowanie problemu polegające na tym, że działalność dowolnego elementu systemu wywiera pewien wpływ na działalność pozostałych elementów. Przy ocenie dowolnej decyzji (przedsięwzięcia, projektu) niezbędne jest określenie wszystkich wzajemnie istotnych powiązań i ustalenie ich wpływu na zachowanie się całego systemu, a nie tylko jednego jego elementu.

Operacja - oznacza dowolne przedsięwzięcie lub działania, albo kompleks przedsięwzięć scalonych

jednym zamiarem i podporządkowane osiągnięciu określonego celu. Pojęcie operacji jest terminem bardzo szerokim obejmującym dowolne zadanie, które zamierzamy zrealizować według określonych kryteriów. Badania operacji mogą dotyczyć zarówno badanie konkretnej operacji jak też modelu tej operacji. Typowym zadaniem jest jednak badanie pewnego modelu, najczęściej matematycznego

opisującego rzeczywistą operację (sytuację, zdarzenie). Dlatego początkowym działaniem jest najczęściej modelowanie określonej operacji (systemu, procesu, zjawiska, obiektu) za pomocą formalnych narzędzi i różnych notacji matematycznych. Model (aspekt matematyczny)- istnieją 3 podstawowe sposoby modelowania: modelowanie matematyczne (symboliczne), fizyczne (geometryczne) i symulacyjne (komputerowe). Modele matematyczne sporządzane jako pewien układ równań matematycznych opisanych na zbiorze odpowiednio zdefiniowanych zmiennych. Model matematyczny stanowi układ równań matematycznych i reguł logicznych za pomocą którego można dla określonych założeń badawczych generować dopuszczalne lub optymalne warianty rozwiązań. Zaletą modeli matematycznych jest duża uniwersalność metod i narzędzi używanych do ich budowy oraz możliwość modelowania dowolnych procesów i systemów realnych i symbolicznych. Modele fizyczne różnią się od rzeczywistości użytą materią i kształtem geometrycznym oraz innymi parametrami fizycznymi. Walorem modeli fizycznych jest z reguły duża ich poglądowość i łatwy sposób operowania mini. (Np scenariusze gier wojennych, biznesowych wymagające bezpośredniego udziału w nich człowieka, którego heurystyczne interakcje trudno jest opisać za pomocą sformalizowanych metod matematycznych lub różnych algorytmów) Metody -pewna koncepcja podejścia do rozwiązania Kryteruim effektywności (dązymy do minimalizacji czy maksymalizacji-kryterium optymalizacji) Załozene ograniczenia i warunki brzegowe(wynikające z możliwości które mamy) Rozwiązania -pewne wartości liczbowe uzyskane w wyniku zastosowania określonych metod do badania zbudowanego modelu. Rozwiązanie optymalne to takie rozwiązanie dopuszczalne, które zapewnia maksymalizację lub minimalizację określonego kryterium efektywności przy ustalonych ograniczeniach. Jak wiadomo możliwe są dwa warianty rozwiązań optymalnych: • minimalne zużycie sił i środków na wykonanie danego zadania, /• maksymalne uzyskanie efektów przy ograniczonych nakładach. Procedura badania operacji realizowana jest za pomocą sekwencji czterech zasadniczych kroków:

• sformułowanie problemu optymalizacyjnego,
• budowa modelu matematycznego tego problemu,
• opracowanie metody rozwiązania optymalnego,
  • znalezienie rozwiązania optymalnego. Czynnościami pomocniczymi są: przygotowanie danych wejściowych, weryfikacja rozwiązania i modyfikacja modelu, wdrożenie modelu do praktyk Programowanie liniowe jest jedną z najpopularniejszych i najbardziej użytecznych technik optymalizacyjnych stosowanych w BO. Programowanie liniowe znajduje powszechne zastosowanie przy rozwiązywaniu problemów alokacji (przydziału) ograniczonych zasobów do konkretnych operacji (zadań), (np.wybór portfela oferowanych usług transportowych przy ustalonych kosztach przewozu i posiadanym taborze, określenie rodzaju magazynowania wyrobów przy uwzględnieniu ich zyskowności oraz możliwości magazynowych.)Są realizowane za pomocą układów równań lub nierowności.

II wykład „Elementy programowania sieciowego” Metody programowania sieciowego są to techniki planowania złożonych przedsięwzięć organizacyjnych stosowane w celu zapewnienia sprawnego przebiegu ich realizacji(czas realizacji):  CPM (Critical Path Metod)  PERT (Program Evaluation and Review Technique) Te metody w pewnym sensie zbieżny, ale w zasadzie wykorzystują różne podłoże do tego.Obudwie o strukturze deterministycznej. Programowanie sieciowe stosuje sie jako narzędzie wspomagające planowanie przedsięwzięć w takich dziedzinach: produkcja oprogramowania, wdrażanie systemów informatycznych,procesy technicznego przygotowania produkcji,przedsięwzięcia badawczo-rozwojowe, modernizacja zakładów przemysłowych, duże przedsięwzięcia inwestycyjne, produkcja złożonych wyrobów na zamówienie. Do oceny projektów stosuje się zwykle jedno lub kilka z następującego zbioru kryteriów:

• całkowity czas realizacji,
• całkowity koszt realizacji,
• ryzyko,
• NPV (ang. Net PresentValue) – zaktualizowana wartość netto Różnica między CPM a PERT Całkowity czas realizacji jest podstawowym kryterium oceny projektu Najczęściej stosowaną metodą wyznaczania minimalnego czasu trwania projektu jest metoda ścieżki krytycznej (CPM) .CPM działa na czasach rzeczywistych(wiemy ile trwają czynności) Jednym z największych problemów pojawiających się podczas stosowania metod sieciowych jest określenie czasów trwania poszczególnych czynności. Metody te dotyczą przedsięwzięć o niskiej powtarzalności, a zatem możliwości wykorzystania danych historycznych są niewielkie. Dlatego zwykle oszacowania czasów trwania czynności są obarczone dosyć dużym błędem, niosąc ze sobą wysokie ryzyko niedotrzymania terminu realizacji. Minimalizacja ryzyka jest jednym z celów planowania. Do oceny ryzyka związanego z czasem wykonania projektu wykorzystuje się metodę PERT. PERT wykorzystujemy jeżeli nie opierujemy czasami rzeczywistymi(operujemy czasami prawdopodobnymi/hipotetyczne)-wynik wydzie prawdopodony(możemy coś przyspeszyć albo opóżnić). Programowanie sieciowe zajmuje się modelami sieciowymi przedsięwzięcia. Przedsięwzięcie – zorganizowane działanie ludzkie zmierzające do osiągnięcia określonego celu, zawarte w skończonym przedziale czasu – z wyróżnionym początkiem i końcem – oraz zrealizowane przez skończoną liczbę osób, środków technicznych, energii, materiałów, środków finansowych i informacji. Elementy składowe przedsięwzięć: zdarzenia i czynności:

 Zdarzenie(momenty) – moment rozpoczęcia bądź zakończenia jednej czynności lub większej liczby czynności. Zdarzenia przedstawiamy za pomocą kółek:  Czynność – dowolnie wyodrębniona część przedsięwzięcia charakteryzująca się czasem trwania i zużyciem środków. Obrazem graficznym czynności są strzałki (wektory): Kierunek strzałki wskazuje kierunek przebiegu czynności w czasie (kolejność ich wykonywania). Niektóre czynności robimy szeregowe, a niektóre rownolegle. Czynność pozorna – szczególny typ czynności, dla których charakterystyczne jest to, że nie zużywają czasu ani środków, a służą jedynie do przedstawienia zależności między czynnościami. Graficznym obrazem czynności pozornej jest strzałka przerywana Zdarzeniom przyporządkowujemy kolejne numery i = 1, …, n. Czynności charakteryzuje para wskaźników i – j, gdzie i jest numerem zdarzenia, w którym czynność się rozpoczyna, a j – numerem zdarzenia, w którym czynność się kończy (i < j). Zależności pomiędzy zdarzeniami i czynnościami określają strukturę logiczną modelu sieciowego. Dla każdego zdarzenia w sieci wyznacza się:

• najwcześniejszy możliwy moment zaistnienia zdarzenia (t),
• najpóźniejszy dopuszczalny moment zaistnienia zdarzenia (T),
• zapas czasu (L). Charakterystyki te wpisuje się do zdarzeń zazwyczaj w następujący sposób (i – jest numerem zdarzenia): Drogą lub ścieżką w sieci nazywamy ciąg czynności i zdarzeń umożliwiający przejście od początku do końca sieci. Ścieżką krytyczną(optymalna) -drogę, której czas przejścia jest najdłuższy(wszystkie czynności musza być zakończone). Czynności i zdarzenia na niej mają zerowe zapasy czasu.W sieci może wystąpić więcej niż jedna ścieżka krytyczna.Czas jej trwania jest równy terminowi końcowemu Na ścieżce krytycznej leżą czynności, dla których zapas czasu jest równy zeru. Najwcześniejszy możliwy moment zaistnenie zdarzenia jest równy sumie najwcześniejszego możliwego momentu zaistnienia zdarzenia poprzedniego (i) oraz czasu trwania czynności prowadzącej do zdarzenia.Uzupełniamy t(najwcześniejszy moment) Zdarzenie można uznać za zrealizowane dopiero wówczas, gdy zostaną zakończone wszystkie prowadzące do niego czynności, dlatego w przypadku gdy do zdarzenia dochodzi więcej niż jedna czynność, najwcześniejszy moment zaistnienia zdarzenia jest równy maksymalnej z tak określonych wielkości(max)-uzupełniając t Najpóżniejszy dopuczalny moment zaistnienia zdarzenia: Zaczynamy od zdarzenia końcowego i poruszamy się w kierunku przeciwnym do zwrotu strzałek. Przyjmujemy, że najpóźniejszy dopuszczalny moment zaistnienia zdarzenia końcowego jest równy najwcześniejszemu możliwemu terminowi jego zaistnienia. Najpóźniejszy dopuszczalny moment zaistnienia zdarzenia poprzedniego (i) obliczamy odejmując od najpóźniejszego dopuszczalnego terminu zdarzenia następnego (j) czas trwania czynności i – j. Jeżeli do zdarzenia dochodzi więcej niż jedna czynność, wybieramy wielkość najmniejszą(min)-uzupełnijąc T.

decyzyjnych: • kryterium Walda, • kryterium Hurwicza, • kryterium optymistyczne, • kryterium Bayesa, • kryterium Savage’a Przykład(gry dwuosobowe o sumie zero) Dwaj producenci pewnego wyrobu sprzedają swe wyroby na rynku, którego wielkość jest stała. Aby zwiększyć swój udział w rynku, każde z nich może zastosować jedną z trzech strategii Marketingowych. Strategie przedsiębiortwa A to A1, A2 i A3, a strategie przedsiębiorstwa B to B1, B2 i B3. W tablicy podano wzrost udziału w rynku (w %) przedsiębiorstwa A (spadek udziału przedsiębiorstwa B) w zależności od decyzji podjętych przez przedsiębiorstwa.Wartości dodana w tabelce oznacza wzrost dla gracza A, równocześnie to spadek dla gracza B. 1.Wybieramy najbardziej niekorzystne warianty dla obu gracze. Gracz A dla każdej swojej strategii określa minimalną wygraną (zakładając, że przeciwnik wybierze najbardziej niekorzystną dla niego strategię). Spośród tych strategii gracz A wybierze tę, dla której ta minimalna wygrana jest największa. Gracz A stosuje więc tzw. regułę „max min”, tzn. 𝑣𝐴 = max 𝑖 min 𝑗 𝑎𝑖𝑗. Gracz B dla każdej swej strategii określa maksymalną przegraną (również zakłada, że przeciwnik wybierze najbardziej niekorzystną dla gracza B strategię). Gracz B stosuje więc regułę „minimax”-u, jego wybór można zapisać 𝑣𝐵 = min 𝑖 max 𝑗 𝑎𝑖𝑗. Jeśli (jak w tym przypadku) max 𝑖 min 𝑗 𝑎𝑖𝑗 = min 𝑖 max 𝑗 𝑎𝑖𝑗 czyli maksymalna z minimalnych wygranych jest równa minimalnej z maksymalnych przegranych, to mówimy, że istnieje rozwiązanie gry w zbiorze strategii czystych (gra ma punkt siodłowy). Punkt siodłowy -najmniejszym elementem wiersza i równocześnie największym elementem kolumny. Punkt siodłowy jest równocześnie wartością gry v; w tej grze wartość gry wynosi v = vA = vB = 1. 2.Rozwiązanie każdej gry zaczynamy od sprawdzenia istnienia punktu siedłowego.Gy nie ma punltu siedłowego zachodzi rozwiązanie gry w strategii mieszanej .Strategia mieszana jest kombinacją strategii czystych stosowanych z odpowiednimi prawdopodobieństwami(czyli nie możemy wybrać określoną strategii postepowania i decyzje rozkłada się na niektóre strategii). W tym przypadku wprowadzamy prawdopodieństwa stosowania strategii jak dla gracza A tak i dla gracza B.Rozwiązanie za pomocą równa(ale trzeba zredukować coś, aby do rozmiara 22 macierze- skreślając najbardzej niekorzystną sytuacje dla obu gracze). Przed przystąpieniem do wyznaczania strategii mieszanych należy (o ile to możliwe) zredukować macierz wypłat (zmniejszyć jej rozmiary) przez wykreślenie tzw. strategii zdominowanych* (strategii jawnie niekorzystnych dla każdego z graczy).Prawdopodobieństwo powinno wynosić 1.Również to można rozwiązać sposobem graficznym. Gry z naturą  Kryterium Walda to kryterium ostrożne (zakłada, że zajdzie sytuacja najmniej korzystna dla podejmujących decyzję). Dlatego dla tej strategii (każdego wiersza macierzy wypłat) należy określić najmniejszą wartość (minimalną wygraną), a następnie wybrać strategię, dla której minimalna wygrana jest największa, czyli: 𝜈 = max 𝑖 {min 𝑗 𝑎𝑖𝑗}. A/B B1 B2 B A1 3 2 1 A2 4 1 - A3 5 0 -

 Punktem wyjścia kryterium Hurwicza jest wybór współczynnika ostrożności γ (0 ≤ γ ≤ 1). Dla każdej strategii należy obliczyć przeciętną wygraną według wzoru: 𝜐𝑖 𝛾 = 𝛾 min 𝑗 𝑎𝑖𝑗 + (1 − 𝛾) max 𝑗 𝑎𝑖𝑗 a następnie wybrać tę strategię, dla której 𝜐𝑖(𝛾), przyjmuje wartość maksymalną. Zauważyć należy, że w zależności od wyboru współczynnika ostrożności reguła Hurwicza może się stać regułą bardzo asekurancą(przy γ = 1 pokrywa się z kryterium Walda) albo bardzo hazardową (przy γ = 0 sprowadza się do wyboru maksymalnej z maksymalnych wygranych, a więc bardzo optymistycznego).Сzym większy współczynnik-tym barziej z ostrożnością do tego pochodzimy  Kryterium optymistyczne (dla ryzykantów) polega na określeniu dla każdej strategii maksymalnej wygranej i wyborze strategii, dla której ta maksymalna jest największa, czyli: 𝜐 = max(𝑖){max(𝑗)𝑎(𝑖𝑗)}.Jeżeli decydent zdecyduje się na współczynnik ostrożności γ=0 – zastosuje kryterium optymistyczne  Według kryterium Bayesa najlepsza jest strategia, która daje największą przeciętną wygraną obliczaną dla każdej strategii (przy założeniu, że wszystkie stany natury są jednakowo prawdopodobne) jako zwykłą średnią arytmetyczną według wzoru (n – liczba stanów natury).  Kryterium Savage’a (kryterium strat relatywnych) spełnia postulat minimalizacji oczekiwanych strat wynikłych z podjęcia przez nas decyzji gorszej niż najlepsza możliwa dla danego stanu natury (z punktu widzenia podejmującego decyzję). Należy wybrać tę strategię, dla której strata relatywna jest najmniejsza. Pierwszym etapem jest znalezienie macierzy strat relatywnych. Strata jest różnicą między największą wygraną możliwą dla danego stanu natury a wygraną odpowiadającą podjętej decyzji. Pierwszym etapem jest znalezienie macierzy relatywnych (oczekiwanych) strat (zwanej także macierzą żalu – żalu spowodowanego podjęciem złej decyzji). Strata jest różnicą między największą wygraną (liczbą klientów) możliwą dla danego stanu natury a wygraną odpowiadającą podjętej decyzji.Dla każdej kolumny macierzy wypłat (każdego stanu natury) straty relatywne oblicza się według wzoru: 𝛼 𝑖𝑗 = max(𝑖) 𝑎𝑖𝑗 − 𝑎𝑖𝑗 Następnie dla każdej strategii należy określić maksymalną stratę i wybrać strategię, dla której maksymalna strata będzie najmniejsza, czyli: 𝑣 = min 𝑖 {max 𝑗 𝛼𝑖𝑗}

IV.ELEMENTY PROGRAMOWANIA DYNAMICZNEGO

Programowanie dynamiczne jest jedną z technik matematycznych, którą można zastosować do rozwiązywania takich problemów, jak: zagadnienie dyliżansu (może dotyczyć optymalizacji kosztów oraz zysków, stricte logistycznych zagadnień-przewozu towarów, ludzi), zagadnienie finansowania inwestycji( odnosi się do alokacji środków inwestycyjnych, gdyby mielismy kapitał i chcielibysmy go zainwestować, znamy przewidywany zwroty- i jest pytanie jak i jakie kwocie zainwestować, aby uzyskać max zysk), optymalizacja zapasów, alokacja zasobów, czy wymiana majątku trwałego. Programowanie dynamiczne należy traktować bardziej jako sposób podejścia do rozwiązywania problemu niż jako pojedynczy uniwersalny algorytm.Twórcą programowania dynamicznego jest amerykański matematyk Richard Bellman(algorytm Bellmana polega na roziązania od tyłu). Programowanie dynamiczne polega na podziale danego zagadnienia na podproblemy (etapy), a następnie na ich sekwencyjnym rozwiązywaniu, aż do znalezienia rozwiązania optymalnego. Programowanie dynamiczne wykorzystuje, niezależnie od algorytmu, zasadę optymalności Bellmana , w myśl której optymalne rozwiązanie zagadnień ma tę własność, że optymalne rozwiązanie dla k-tego etapu jest jednocześnie rozwiązaniem optymalnym dla etapów k+1, k+2, …, N. Tak więc optymalne rozwiązanie dla etapu pierwszego stanowi optymalne rozwiązanie dla całego problemu. • W związku z zasadą optymalności Bellmana problem z zakresu programowania dynamicznego rozwiązuje się

jest problem wyznaczenia optymalnych decyzji dotyczących liczby aparatów obsługi, intensywności obsługi, czasu obsługi itp. Systemy kolejkowe możemy również podzielić na jedno lub wielokanałowe (w zależności od liczby aparatów obsługi), pojedyncze (zgłoszenia i obsługa pojedyncza) lub grupowe. Teoria kolejek (zwana teorią masowej obsługi) zajmuje się optymalizacją wszelkiego rodzaju jednostek usługowych. Głównym zadaniem jest minimalizacja czasu oczekiwania na obsługę i kosztów obsługi klienta. Oczekiwanie w kolejce jest czasem marnotrawnym dla przedsiębiorstwa, dlatego też redukcja długości oczekiwania poprzez zwiększenie liczby stanowisk obsługi może przynieść zwiększenie przychodów prowadzonej działalności. Z drugiej zaś strony, nadmierne zwielokrotnienie stanowisk obsługi może doprowadzić do niedociążenia punktu obsługi i strat finansowych. Podstawowymi elementami teorii kolejek są: populacja klientów, kolejka, organizacja kolejki (jej regulamin) i kanały obsługi. Populacja określa ilościowo klientów (mogą to być ludzie lub obiekty), którzy dołączają do kolejki w oczekiwaniu na obsługę. Regulamin określa sposób wywołania (pobierania) klientów z kolejki. Przez jednostkę usługową – w odróżnieniu od jednostki produkcyjnej – będziemy rozumieć taki zakład, w którym ma miejsce losowy napływ klientów- występują, więc i okresy niedociążenia personelu i urządzeń, i okres ich przeciążenia. Główne zadania:  Minimalizacja czasu oczekiwania na obsługę  Optymalne określenie stanowisk obsługi  Określenie parametrów obslugi Cele masowej obsługi z punktu widzenia klienta: wybór momentu zgłoszenia;średni koszt;średni czas obsługi oraz długośc kolejki. Cele masowej obsługi z punktu widzenia zarządzającego: usprawnienie systemu; zwiększenie liczby kanałów obsługi, rozbudowa poczekalni, zwiększenie atrakcyjności. Z głoszenie – obiekt/klient oczekujący na obsługę, Kolejka – zbiór zgłoszeń oczekujących wg ustalonych reguł na obsługę, Obsługa – czynność pozwalająca zaspokoić określone potrzeby, Regulamin (kolejki lub obsługi) – zbiór reguł, według których zgłoszenia tworzą kolejkę i są obsługiwane, System – model obsługi – zbiór, którego elementami są: układ obsługi, zgłoszenia obsługiwane, oczekujący na obsługę, zgłoszenia do systemu. Proces przybyć (proces zgłoszeń) – losowy/zdeterminowany. Obsługa - jeden lub kilka równoległych kanałów obsługi, 1.obsługa pojedyncza lub grupowa, - 2.obsługa składająca się z jednej lub kilku faz (etapów obsługi), Poczekalnia -kolejka o różnych możliwych regulaminach, -kolejki uprzywilejowane.

1. Organizacja obsługi (szeregowe-rysunek a, równoległe-rysunek b, mieszane) 2. Zachowanie się zgłoszenia (ze stratami, bez strat) 3. Istnienie kolejki (zabroniona, dozwolona) 4. Rozmiary kolejki (ograniczona, nieograniczona) 5. Organizacja kolejki (FIFO – first in first out, LIFO – last

in first out, SPT – shortest processing time) Pojedynczy kanał obsługi: Analiza systemów masowej obsługi wymaga pozyskania informacji o momentach przybycia klientów, o czasie obsługi oraz możliwych zachowaniach klientów. Przyjmuje się, że przybycia klientów charakteryzuje parametr nazywany stopą przybyć (λ) -określa się jako przeciętną liczbę klientów przybywających do systemu w jednostce czasu. Obsługę klientów opisuje parametr zwany stopą obsługi (μ)- przeciętną liczbę klientów obsłużonych w jednostce czasu. I parametr intensywności ruchu (ρ) -wartość tego parametru informuje o stosunku liczby klientów przybywających do liczby klientów obsłużonych w jednostce czasu:  Mniej(<) 1-system jest sprawny(stopa przybyć mniej niż stopa obsługi)  Równy(=) 1-system sprawny, ale nie ma czasu na przystoi  Większy niż(>) 1-system nie jest zdolny, ma zatory kolejkowe λ< μ- kolejka ma określoną długość jest stałe w każdej jednostce czasu. Λ>μ- układ jest niestabilny zaś prawdopodobieństwo długiej kolejki rośnie. Dotyczy to również sytuacji, gdy obie stopy są równe. Wtedy kanał obsługi nie może nadrobić czasu, w którym chwilowo był nieczynny (niewykorzystany). Przystępując do analizy sytuacji przed wprowadzeniem usprawnień, należy wyznaczyć wartości parametrów: 𝜆 = 25/ 10 = 2,5 𝑜𝑠𝑜𝑏𝑦/𝑚𝑖𝑛, 𝜇 = 20/10 = 2,0 𝑜𝑠𝑜𝑏𝑦/𝑚𝑖𝑛, 𝜌 = 𝜆/ 𝜇 = 2,5/ 2 = 1,25. Wartości parametrów wskazują, że układ obsługi jest wysoce niestabilny λ>μ (ρ>1). Prawdopodobieństwo długiej kolejki rośnie, co sugeruje, że w układzie należy wprowadzić zmiany. Prawdopodobieństwo, że w systemie nie ma zgłoszeń (system jest pusty) wynosi: p(0) = 1 − 𝜌 = 1 − 0,8 = 0,2. Prawdopodobieństwo, że w systemie znajduje się n jednostek wynosi (na przykład 3 osoby): 𝑝^𝑛 = 𝜌^𝑛 ∙ 𝑝(0)= 0,8^3 ∙0,2 = 0,1024. Przeciętną liczbę klientów oczekujących na obsługę (Q) wyznacza się ze wzoru: 𝑄 = 𝜌^2/1 − 𝜌 = 0,8^2/1 − 0,8 = 3,2 Zatem po wprowadzonej zmianie w sklepie średnio 3,2 osoby oczekuje w kolejce na obsługę. Jest to stosunkowo niewielka liczba, co oznacza sytuację korzystną dla klienta. Prawdopodobieństwo tego, że w kolejce będzie czekało więcej niż n0 osób określa wzór: 𝑝(𝑛 > 𝑛0) = 𝜌 ^(𝑛0+1). Wobec tego 𝑝 𝑛 > 5 = 0,8^(5+1) ≈ 0,262144 ≈ 0,26. Prawdopodobieństwo tego, że w kolejce będzie więcej niż pięć osób wynosi około 0,26 i relatywnie niskie.

Różnica między danymi właściwymi,a wyznaczona funkcją-jest tzw. reszta modelu Zastosowanie klasycznej metody najmniejszych kwadratów wymaga przyjęcia następujących założeń:  postać modelu jest liniowa względem parametrów (lub sprowadzalna do liniowej),  zmienne objaśniające są wielkościami nielosowymi,  zmienne są niezależne i wolne od współliniowości, czyli nie występuje między zmiennymi dokładna zależność liniowa,  składnik losowy ε nie jest skorelowany ze zmiennymi objaśniającymi, SZACOWANIE PARAMETRÓW MODELU Z 1 ZMIENNĄ OBJAŚNIJĄCA Liniowy model ekonometryczny z jedną zmienną objaśniającą ma ogólną postać: Y=α0 + α1X1 + ε Wartości ocen a0 oraz a1 parametrów strukturalnych α0 oraz α1 otrzymuje się w tym wypadku z warunku: MINIMALIZACJI KWADRATÓW TEJ FUNKCJI. Aby to dokonać wyznaczamy pochodne cząstkowe funkcji S i porównujemy je do zera, gdyż warunkiem koniecznym na to, aby funkcja dwóch zmiennych przyjęła wartość minimalną, są zerowe wartości poszczególnych pochodnych cząstkowych względem obu zmiennych: z jedną zmienną  Metoda równań  Metoda macierzowa(uniwersalna)  Model liniowy(graficzny) Wartość oceny a parametru α informuje, o ile jednostek zmieni się wartość zmiennej objaśnianej Y, jeśli wartość zmiennej objaśniającej X zmieni się o jednostkę. (czyli przyczynowa skutkowe relacje) Specyficznym modelem liniowym z jedną zmienną objaśniającą jest liniowy model tendencji rozwojowej (trend liniowy) o postaci: Y=α0 + α1t1 + ε gdzie t oznacza zmienną czasową. Wzory na oceny parametrów strukturalnych trendu liniowego są podobne do poprzednich, z tym, że zamiast zmiennej X występuje zmienna czasowa t Model z wieloma zmiennymi- metodę macierzową.