Badania operacyjne: zagadnienia transportowe, Prezentacje z Control Systems Analysis

Pobierz Badania operacyjne: zagadnienia transportowe i więcej Prezentacje w PDF z Control Systems Analysis tylko na Docsity!

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE

Maciej Patan

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

WPROWADZENIE

ã Zagadnienia transportowe opracowano w 1941 r. (F.L. Hitchcock)

ã Jest to problem opracowania planu przewozu pewnego jednorodnego produktu z

kilku różnych źródeł zaopatrzenia do kilku punktów zgłaszających

zapotrzebowanie na ten towar

ã Kryterium optymalizacji planu przewozów to najczęściej minimalizacja kosztów

transportu, czasami minimalizacja odległości lub czasu transportu.

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

Zagadnienie transportowe jest odmianą zagadnień programowania liniowe- go, zarówno funkcja celu jak i ograniczenia mają postać liniową

Interpretacja sieciowa

• Zagadnienie transportowe ma interpretację sieciową
• Załóżmy, że mamy sieć skierowaną (digraf ważony) określoną za pomocą wierzchołków V i zbioru skierowanych łuków E
• W zagadnieniu transportowym sieć jest dwudzielna i pełna:  wszystkie wierzchołki można podzielić na dwie grupy: na węzły dostawy ( i = 1 , 2 ,... , m ) i węzły odbioru ( j = 1 , 2 ,... , n )  każdy wierzchołek dostawy ma n łuków wychodzących z niego do wszystkich wierzchołków odbioru
• Dla każdego łuku jest określony jednostkowy koszt przewozu transportowanego dobra

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

Cij

i = 1

i = 2

i = m

j = 1

j = 2

j = n

Zagadnienie transportowe polega na wyznaczeniu takich wielkości przewozu xij , które minimalizują całkowity koszt transportu z. Pierwszych m nierówności odnosi się do wierzchołków dostawcy, następne n do wierzchołków odbiorcy

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

ROZWIĄZYWANIE ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH

• Zagadnienia transportowe są szczególnym przypadkiem zagadnień

programowania liniowego i mogą być rozwiązywane za pomocą metody sympleks

• Istnieją także inne metody, np. algorytm największego przepływu
• Dalej rozważany będzie algorytm transportowy, który podobnie jak metoda

sympleks, jest procedurą iteracyjną

• W pierwszym kroku stosując jedną ze znanych metod, wyznacza się początkowe

rozwiązanie dopuszczalne

• W następnych krokach poprawia się to początkowe rozwiązanie

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

Metody wyznaczania rozwiązania początkowego

1. Metoda kąta (rogu) północno-zachodniego

• zasada polega na kolejnym wypełnianiu macierzy przewozów xij
• zaczynamy od klatki w lewym górnym rogu – wpisujemy do niej mniejszą z

liczb a 1 , b 1 odpowiadających tej klatce

• następny krok polega na przesunięciu się w prawo lub w dół, zależnie od tego,

czy i -temu dostawcy został do rozdysponowania towar (w prawo) czy całą

podaż i -tego dostawcy rozdzielono odbiorcom (w dół)

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

• niech xij ( i = 1 , 2 ,... , m ; j = 1 , 2 ,... , n ) – ilość ton cukru jaka powinna być dostarczona z i -tej hurtowni do j -tego sklepu
• rozwiązanie dopuszczalne istnieje, bo

∑^2

i =

ai

∑^4

j =

bj

• ograniczenia dla dostawców

x 11 + x 12 + x 13 + x 14 =

∑^4

j =

x 1 j = 800 ( H 1 )

x 21 + x 22 + x 23 + x 24 =

∑^4

j =

x 2 j = 800 ( H 2 )

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

• ograniczenia dla odbiorców

x 11 + x 21 =

∑^2

i =

xi 1 = 100 ( S 1 )

x 12 + x 22 =

∑^2

i =

xi 2 = 300 ( S 2 )

x 13 + x 23 =

∑^2

i =

xi 3 = 500 ( S 3 )

x 14 + x 24 =

∑^2

i =

xi 4 = 700 ( S 4 )

• warunki brzegowe xij 0 ( i = 1 , 2; j = 1 ,... , 4)
• funkcja celu z = 50 x 11 + 10 x 12 + 20 x 13 + 60 x 14 + 10 x 21 + 50 x 22 + 80 x 23 + 70 x 14 → min

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

Otrzymaliśmy początkowe rozwiązanie dopuszczalne. Odpowiadające mu koszty

wynoszą

z = 50 · 100 + 20 · 300 + 20 · 400 + 80 · 100 + 70 · 700 = 76000 tys. zł.

Powyższe rozwiązanie będzie poprawiane w kolejnych iteracjach algorytmu

transportowego do momentu uzyskania rozwiązania optymalnego

Wady:

• metoda kąta północno-zachodniego abstrahuje od kosztów transportu, dlatego

też algorytm transportowy wymaga zwykle większej liczby iteracji niż w

przypadku zastosowania innych metod wyznaczania rozwiązania początkowego

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

2. Metoda minimalnego elementu macierzy
   • metoda ta polega na rozmieszczeniu przewozów przede wszystkim na tych trasach, na których koszty są najniższe
   • należy przekształcić macierz kosztów do takiej postaci, aby w każdym wierszu i każdej kolumnie występowało co najmniej jedno zero
   • transformacje dokonuje się odejmując od elementów poszczególnych wierszy macierzy kosztów najmniejszy element znajdujący się w danym wierszu
   • następnie od poszczególnych kolumn odejmujemy element najmniejszy z danej kolumny
   • otrzymujemy przekształconą macierz kosztów. Elementy zerowe w tej macierzy oznaczają trasy, na których koszty przewozu są najniższe
   • rozdysponowanie zaczyna się od dowolnej klatki zerowej
   • jeżeli uda się rozmieścić wszystkie przewozy wyłącznie na klatkach zerowych, to otrzymane rozwiązanie jest optymalnym planem przewozów

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

• rozpoczynamy rozdysponowanie środków od dowolnie wybranej klatki zerowej
• do klatki x 21 można maksymalnie wpisać 100, bo tyle ma zapotrzebowania S 1 xij S 1 S 2 S 3 S 4 ai H 1 300 500 800 H 2 100 700 800 bj 100 300 500 700 1600
• kolejna wolna klatka to x 12 i tam maksymalnie wpisujemy 300 (ze względu na S 2 )
• następnie do klatki x 13 wpisujemy 500 (biorąc pod uwagę S 3 )
• ostatnia wolna klatka to x 14 , ale do niej nie możemy wpisać przydziału, ponieważ towar dostawcy H 1 został już rozdysponowany
• jesteśmy zmuszeni przydzielić do S 4 towar od dostawcy H 2 w wysokości 700

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

ã Koszty związane z tym rozwiązaniem początkowym są następujące:

z = 100 · 10 + 300 · 20 + 500 · 20 + 700 · 70 = 66000 tys. zł

ã Porównując to rozwiązanie z rozwiązaniem wygenerowanym metodą kąta

północno-zachodniego okazuje się, że to uzyskane metodą minimalnego

elementu macierzy jest rozwiązaniem lepszym (mniejszy koszt)

ã Otrzymane rozwiązanie nie jest optymalne. Dlaczego?

Nie udało się zaalokować przewozów wyłącznie w klatkach zerowych

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

Przykład 5.3. Rozważmy tabelkę z przykładu 5.1 zawierającą początkowe rozwiązanie dopuszczalne uzyskane metodą kąta północno-zachodniego cij S 1 S 2 S 3 S 4 aj H 1 50 20 20 60 800 H 2 10 50 80 70 800 bj 100 300 500 700 1600

xij S 1 S 2 S 3 S 4 ai H 1 100 300 400 50 800 H 2 −^100 −^30 100 700 bj 100 300 500 700 1600 Liczby indeksowe

1. r 1 = 0,
2. k 1 = c 11 − r 1 = 50
3. k 2 = c 12 − r 1 = 20
4. k 3 = c 13 − r 1 = 20
5. r 2 = c 23 − k 3 = 60
6. k 4 = c 24 − r 2 = 10

Potencjały komórek

1. e 21 = c 21 − r 2 − k 1 = 10 − 60 − 50 = − 100
2. e 22 = c 22 − r 2 − k 2 = 50 − 60 − 20 = − 30
3. e 14 = c 12 − r 1 − k 4 = 60 − 0 − 10 = 50

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

Postępowanie jest następujące

• wyznaczamy wolne pole o największym co do wartości bezwzględnej ujemnym

potencjale

• konstruujemy ścieżkę dla tego pola metodą ”z kamienia na kamień”
• spośród pól na ścieżce, którym przypisaliśmy znak minus (-), wybieramy

najmniejszą ulokowaną tam wartość

• o te wartości w zależności od znaku (+) czy (-) zwiększamy lub zmniejszamy

alokacje pól na ścieżce

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych