Badanie funkcji przykłady, Notatki z Matematyka

Pobierz Badanie funkcji przykłady i więcej Notatki w PDF z Matematyka tylko na Docsity! 5.12 BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Schemat ogólny badania funkcji Ogólne badanie własności funkcji i sporządzanie ich wykresów można wygodnie przeprowadzić wg następującego schematu: I. Wyznaczamy dziedzinę funkcji. II. Badamy, czy funkcja jest parzysta, nieparzysta lub okresowa. III. Znajdujemy punkty przecięcia się wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych. IV. Obliczamy granice funkcji na krańcach dziedziny. V. Znajdujemy asymptoty funkcji. VI. Znajdujemy punkty ekstremalne funkcji oraz przedziały monotoniczności funkcji. VII. Znajdujemy punkty przecięcia funkcji oraz przedziały wklęsłości i wypukłości. VIII. Sporządzamy tabelkę IX. Sporządzamy wykres funkcji, wykorzystując wyniki przeprowadzonych badań. Przykłady 1. Zbadajmy przebieg zmienności funkcji f ( x )=x3 +3 x2 −9 x−2 1.Dziedzina funkcji Funkcja jest wielomianem i jest określona w całej dziedzinie Df : x∈R 2. Miejsca zerowe dla x = 0 funkcja przyjmuje wartość f(0) = 1. y = 0 dla x = 2 (dzielnik wyrazu wolnego) 1. Obliczmy granice -  1 lim x→−∞ x3 +3 x2 −9 x−2= lim x→−∞ x3 (1+ 3 x − 9 x2 − 21 x3 )=−∞ lim x→+∞ f (x ) =+∞ Ponieważ funkcja jest ciągłą przyjmuje wartości od - do + 4. Obliczamy pierwszą pochodną f ' ( x )=3 x2 +6 x−9 = 3(x2 + 2x – 3) Rozwiązujemy równanie x2 + 2x – 3 = 0  = 4 + 12 = 16 otrzymujemy pierwiastki x1 = -3, x2 = 1. W przedziale (-3, 1) pochodna f ' ( x ) jest ujemna, w przedziałach (−∞,−3)∪ (1,+∞ ) jest dodatnia. Dla x = -3 mamy maksimum lokalne, dla x = 1 minimum lokalne. 5.druga pochodną: f } left (x right ) =6x+¿ Druga pochodna przyjmuje wartość zero dla x = -1; dla x < -1 jest ujemna, a dla x > -1 jest dodatnia, czyli dla x = -1 jest punkt przegięcia bo druga pochodna zmienia znak wokół punktu x = -1. Otrzymane wartości charakterystyczne dla argumentu x wpisujemy w tabelę: 6. x (-∞;-3) -3 (-3;-1) -1 (-1;0) 0 (0;1) +1 1 +∞ f’(x) f”(x) + - 0 - - - - 0 - + - + - + 0 + + + f(x) max 25 p.p. 9 -2 min. -7 7. Korzystając z wyników zebranych w tabeli sporządzamy wykres badanej funkcji . 25 9 -3 -1 1 -7 Przykład 5. Zbadajmy przebieg zmienności funkcji y= x2 x−1 1.Dziedzina funkcji Df : x∈ (−∞;1 ) ∪ (1+∞ )=x∈R− {1 } Funkcja określona jest dla liczb rzeczywistych z wyjątkiem 1 2. Badamy parzystość funkcji y= (−x ) 2 −x−1 = x2 −( x+1 ) = −x2 x+1 Funkcja nie wykazuje własności funkcji parzystej ani nieparzystej 3. dla x = 0 y= 0 −1 =0 punkt ( 0, 0) dla y = 0 0= x2 x+1 x2 =0 punkt ( 0, 0) 2. Obliczamy granice - lim x→−∞ x2 x−1 = lim x→−∞ x2 x (1−1 x ) = lim x→−∞ x 1 =−∞ 1 0 3 WolframAlpha | 732 FOR EDUCATORS e8 żę susrunai uawcuace (PRIES * Tod (3) NY w Input — x 8 10 * (* from -1 to 1) Alternate form Przykład 5. Zbadajmy przebieg zmienności funkcji y= x2 4−x2 1. Dziedzina funkcji Df=4− x2 =(2−x )(2+x)≠0 x∈ R− {−2;2 } Funkcja określona jest dla liczb rzeczywistych z wyjątkiem –2 i 2 2. Miejsca zerowe z osią 0Y dla x = 0 y= 0 4−0 =0 z osią 0X dla y = 0 0= x2 4−x2 ⇒ x=0 3.Parzystość i nie parzystość f(-x) = f (x) f (−x )= (−x) 2 4−(−x ) 2= x2 4−x2 =f (x) Funkcja jest parzysta 4.Granice lim x→±∞ x2 4−x2 = lim x→±∞ x2⋅1 x2( 4 x2 −1) = 1 −1 =−1 Funkcja w końcach dziedziny jest zbieżna do –1. lim x→−2−¿ x2 4−x2=−∞¿ ¿ lim x→−2+¿ x2 4− x2=+∞ ¿ ¿ lim x→2−¿ x2 4−x2=+∞¿ ¿ lim x→ 2+¿ x2 4− x2=−∞¿ ¿ Granice funkcji wokół punktu nieciągłości są niewłaściwe. Dla przypomnienia granica lewostronna obliczana będzie przy pomocy tabelki. x -2,1 -2,01 4-x2 -0,4 -0, 04 x2 4−x2 -10,75 -101 →−∞ 5. Obliczamy pochodną y '= x2 (4−x2 ) = 2x (4−x2 )−x2 (−2x ) (4−x2 ) 2 = 8 x−2x3 +2 x3 ( 4−x2 ) 2 = 8 x ( 4−x2 ) 2 Df ' ∈ R− {−2,2 } Dziedzina pochodnej jest taka sama jak funkcji. Ze względu na to, że mianownik pochodnej jest zawsze dodatni, badamy miejsca zerowe licznika y’ gdy x = 0 stąd przedziały monotoniczności y '>0 y↑dla x>0 y '<0 y↓dla x<0 Pochodna wokół punktu 0 zmienia się z ujemnej na dodatnią więc mamy tu minimum lokalne. x = 0 minimum 6. Druga pochodna y = {8x} over {{left (4 - {x} ^ <?> right )} ^ {2} } = {8 {left (4 - {x} ^ {2} right )} ^ {2} - 8x 2 left (4 - {x} ^ {2} right ) left (- 2x right )} over {{left (4 - {x} ^ {2} right )} ^ {4} } = {8( left (4 - {x} ^ {2} right ) +4 {x} ^ {2} )} over {{left (4 - {x} ^ {2} right )} ^ {3} } = {8(3 {x} ^ {2} +4)} over {{left (4 - {x} ^ {2} right )} ^ {3} ⋅ ⋅ Df } R - left lbrace - 2;2 right rbrac∈ ¿ Znak drugiej pochodnej 8 (3 x2 +4 )>0 więc rozpatrujemy ( 4−x2 ) 3 stąd y”>0 x∈ (−2 ;2 ) y} <0 csup { csub <?>} x left (-∞ ; - 2 right ) left (2+ ∞ right ∈ ∪ ¿ 7. Asymptoty