Pobierz Badanie statystyczne - Notatki - Statystyka - Część 2 i więcej Notatki w PDF z Statystyka, statystyka opisowa tylko na Docsity!
k r
i s
Dzięki tablicy korelacyjnej możemy badać cechy mierzalne i niemierzalne. Sposoby badania współzależności między cechami Jeżeli rozpatrujemy w pewnej zbiorowości dwie cechy mierzalne, to związek między tymi cechami może być związkiem funkcyjnym , gdy poszczególnym wartością jednej cechy odpowiadają ściśle określone wartości drugiej cechy np. cena i wartość towaru. Innego rodzaju związkiem jest zależność stochastyczna (probalistyczna), gdy prawdopodobieństwo przyjęcia przez cechę X pewnej wartości wpływa na prawdopodobieństwo przejęcia przez cechę Y określonej wartości. Szczególnym przypadkiem zależności stochastycznej jest zależność korelacyjna. Zależność korelacyjna między cechami polega na tym, że wzrostowi wartości jednej cechy odpowiada wzrost lub spadek średnich wartości drugiej cechy. Jeżeli wzrostowi wartości cechy X odpowiada wzrost średniej wartości cechy Y mówimy o korelacji dodatniej. Jeżeli natomiast wzrostowi wartości cechy X odpowiada spadek średnich wartości cechy Y mówimy o korelacji ujemnej. Jeżeli badane cechy opisane są szeregiem szczegółowym to:
- Na korelację dodatnią wskazuje fakt, że przy wzroście wartości pierwszej i drugiej cechy mają tendencję wzrostową.
- Jeżeli wzrostowi wartości pierwszej cechy towarzyszy tendencja spadkowa w wartościach drugiej cechy to wskazuje to na korelację ujemną.
Związek korelacyjny między cechami badamy tylko wówczas, gdy między tymi cechami istnieje logicznie uzasadniony związek przyczynowo – skutkowy. Miary ścisłości związku między cechami
- Współczynnik zbieżności Czuprowa stosujemy go wyłącznie do tablicy korelacyjnej dla dowolnych cech (mierzalnych i niemierzalnych)
- Współczynnik korelacji Rang Spearmana stosujemy go wyłącznie do szeregu szczegółowego dla cech mierzalnych lub niemierzalnych.
- Stosunki korelacyjne stosuje się je wyłącznie do tablicy korelacyjnej dla cech niemierzalnych.
- Współczynnik korelacji liniowej Pearsona stosuje się go w szeregu szczegółowym i tablicy korelacyjnej dla cech niemierzalnych.
Przykład: Sześć firm zajmuje się usługami porządkowymi porównując ich wydatki na reklamę i dochody.
Lp.
Wydatki na reklamę X i
Dochody Y i
Ranga X i
Ranga Y i d (^) i 2 d i
1 1,5 10 1 1 0 0 2 2,0 20 2 3,5 -1,5 2, 3 2,5 20 3,5 3,5 0 0 4 2,5 15 3,5 2 1,5 2, 5 4,5 25 5 5 0 0 6 5,0 30 6 6 0 0 18,00 120 4,
Współczynnik korelacji RANG SPEARMANA
2
n n
d r
n
n
i s
d (^) i - różnica rangi X (^) i i rangi Yi
RANGA – numer miejsca, na którym stoi uporządkowana w szeregu rosnąco wartość cechy.
s
s
r
r
Ujemna wartość współczynnika rang wskazuje na ujemną korelację liniową między cechami. r s - mówi nam o sile tej zależności. Im bliższy 1 tym silniejsza zależność między cechami w
przykładzie między wydatkami na reklamę a dochodami firmy zachodzi znacząca korelacja liniowa. Współczynnik korelacji rang jest symetryczny tzn. przy jego obliczaniu nie ma znaczenia, która z cech jest niezależna a która zależna. Ten wybór cechy niezależnej i zależnej dokonywany jest przy interpretacji w oparciu o logiczne przesłanki. Uznajmy, że X zależy od Y. Znacząca dodatnia korelacja liniowa oznacza, że wraz z wydatkami na reklamę rosną średnie dochody firmy. rs^2 100 %- pokazuje, w jakim % zmiany jednej cechy wpływają na zmiany średniej wartości
drugiej cechy.
2
2
s
s r
r
Wzrost dochodów firmy zależy 76% od wydatków na reklamę.
Kowariancje Kierunek związku korelacyjnego między cechami możemy określić wyznaczając kowariancję:
n
i
x y n xi x yi y 1
cov( , )
x y
x (^) i x y (^) i y ( x (^) i x )( yi y ) ( x (^) i x )^2 ( y (^) i y )^2 -1,5 -10 15 2,25 100 -1 0 0 1,1 0 -0,5 0 0 0,25 0 -0,5 -5 2,5 0,25 25 1,5 5 7,5 2,25 25 2 10 20 4 100 45 10 250
Współczynnik regresji a (^) x , ay informuje o ile jednostek zmieni się zmienna zależna, gdy
zmienna niezależna wzrośnie o 1 jednostkę. y ˆ^ 4 , 5 x 6 , 5 Znaczy to, że jeśli na reklamę przeznaczymy o 1 tyś zł. miesięcznie więcej to
dochody firmy wzrosną średnio o 4,5 tyś zł. Zależność a (^) x ay
Oba współczynniki mają zawsze taki sam znak.
Ponadto: a (^) x ay rxy^2 ; rxy ax ay
Przy czym rxy ma taki sam znak jak wspólny znak współczynników regresji:
x y xy
x y xy a a r
a a r
Metody analizowania zmian zjawiska w czasie Szereg czasowy Szeregiem czasowym nazywamy ciąg wyników obserwacji uporządkowanych w czasie (t, y (^) t )
t – kolejne jednostki czasu y (^) t - wielkość badanego zjawiska w czasie t.
Czas w szeregach czasowych może być pojmowany dwojako:
- Jako krótsze lub dłuższe okresy np.: lata, miesiące, dni; otrzymujemy wówczas szereg czasowy okresów.
- Jako ściśle ustalone momenty w pewnym przedziale czasowym np.: określony dzień roku, miesiąca, ustalona godzina dnia; otrzymujemy wówczas szereg czasowy momentu.
Przykład:
Badano liczbę słuchaczy pewnej szkoły językowej i otrzymano następujące dane:
t lata
Liczba osób, które ukończyły kurs w danym roku yt
1 1996 465
2 1997 490
3 1998 480
4 1999 525
5 2000 560
Razem 2520
Kolejność t może być od 0. W roku 1996 ukończyło kurs 465 osób. Jest to przykład szeregu czasowego okresów w kolejnych latach. Przeciętny poziom zjawiska dla szeregu czasowego okresów mierzy średnia arytmetyczna.
y 504 osoby 5
Przeciętnie kurs w danym roku kończyło 504 słuchaczy. Szereg czasowy momentu ( wybrany moment z danego okresu czasu)
t lata
Liczba słuchaczy w dniu 31.XII. yt
1 1996 490 2 1997 505 3 1998 515 4 1999 550 5 2000 570
W szeregu czasowym momentu przeciętny poziom zjawiska określa średnia chronologiczna:
1 2 2 3 1 1
n
y y y y
y
n
y y y y y y
y
n n
n n
ch
Jeżeli okresy są numerowane od 0 to będzie w mianowniku n.
y (^) ch 525 osób 4
W dniu 31.XII było przeciętnie 525 słuchaczy na przestrzeni lat 1996 – 2000.
Miary dynamiki zmian szeregu czasowego:
- Przyrosty
- Absolutne Jedno podstawowe łańcuchowe
- Względne Jedno podstawowe łańcuchowe
- Indeksy
- Indywidualne Jedno podstawowe łańcuchowe
- Zespołowe Przykład:
t lata
liczba słuchaczy yt t^1 |
(^) t | 3 (^) t | t 1 d (^) t | 1 d (^) t | t 1 it (^) | 1 it | t 1
Jak badamy średnie tempo zmian zjawiska w czasie? Średnie tempo zmian zjawiska w czasie określa się średnią geometryczną indeksów łańcuchowych.
iG n^ ^1 in | n 1 in 1 | n 2 ... i 2 | 1
Stopień √ = liczba badanych czynników.
G
G i
i
Przy czym do interpretacji wyznacza się różnicę między obliczaną średnią w % - 100% i nazywa się ją średniookresowe tempo zmian :
Tn iG % 100 % Tn 4 , 77 %tzn. w latach 1996 – 2000 liczba słuchaczy kursów jednocześnie wzrastała z roku
na rok przeciętnie o 4,77%.
1 | 1 1
2 2
3 2
1 1
| 1 1 | 2 ...^2 | 1 ... n
n n
n n
n n n n n y i
y y
y y
y y
y y
y i i i
Indeksy cen, ilości, wartości Indywidualne indeksy:
I. Indeks cen - o
n p (^) p
p i
II. Indeks ilości - o
n q (^) q
q i
III. Indeks wartości - o
n w (^) w
w i
p q o o
n n w i i p q
p q i
w p q
indeks wartości;
równość indeksowa dla indeksów indywidualnych t = 0 okres bazowy, podstawowy t = n okres badany p (^) o , qo , w o - cena, ilość, wartość w okresie bazowym p (^) n , qn , w n - cena, ilość, wartość w okresie badanym
Przykład: Przedsiębiorstwo produkuje czajniki elektryczne trzech typów dane dotyczące cen, ilości i wartości poszczególnych typów czajników z lat 1996 i 1999 przedstawia poniższa tabela. Ocenić przy pomocy indeksów dynamikę zmian cen, ilości, wartości produkcji dla każdego typu czajnika. Ocenić dynamikę zmian wartości, cen, ilości dla wszystkich typów czajników łącznie.
Typ czajnika
Produkcja (w tyś. szt.)
Cena ( w zł.)
Wartość (w tyś. zł.) Indeks indywidualny
Obliczenia pomocnicze 1996 1999 1996 1999 1996 1999
j q^ jo q^ jn p^ jo p^ jn w^ jo w^ jn i^ q i^ p i^ w pn^ ^ qo q^ o po
I 1,2 1,5 100 90 120 135 1,25 0,9 1,125 108 150
II 1,5 1,4 65 70 97,5 98 0,93 1,08 1,005 105 91
III 0,8 1,2 50 58 40 69,6 1,5 1,16 1,74 46,4 60
po q o pn qn 259,4 301 257,5 302,
Zespołowe indeksy dla wszystkich absolutnych: I. Indeks wartości:
w
o o
n n o
n jo
jn w
I
p q
p q w
w w
w I
I (^) w 117 , 5 % łączna wartość produkcji czajników w roku 1999 była o 17,5% wyższa od
łącznej produkcji tych czajników w roku 1996.
II. Indeks cen:
- Indeks Laspeyresa:
L p
o o
n o jo jo
jn jo L p
I
p q
p q p q
p q I
L I^ p ^100 ,^74 % gdyby wielkość^ produkcji była cały czas na poziomie roku 1996 to ceny wszystkich typów czajników łącznie w roku 1999 byłyby o 0,74% wyższe w porównaniu z cenami z roku 1999; gdyby wielkość produkcji była na poziomie 1996 roku to łączna wartość produkcji w roku 1999 byłaby o 0,74% wyższa od łącznej wartości produkcji w roku 1996 tylko na skutek zmiany cen.
- Indeks Paaschego:
P p
o o
n n jo jn
jn jn P p
I
p q
p q p q
p q I
P I^ p ^100 ,^53 % gdyby wielkość^ produkcji była cały czas na poziomie roku 1999 to ceny wszystkich typów czajników łącznie w roku 1999 byłyby o 0,53% wyższe niż w roku 1996; gdyby wielkość produkcji była na poziomie roku 1999 to łączna wartość produkcji w roku 1999 byłaby o 0,53% wyższa od łącznej wartości produkcji w roku 1996 tylko na skutek zmiany cen. III. Indeks ilości
- Indeks Laspeyresa
