Bardzo polecam uczniom do nauki, Ćwiczenia z Matematyka

Pobierz Bardzo polecam uczniom do nauki i więcej Ćwiczenia w PDF z Matematyka tylko na Docsity! Metoda przeciwnych współczynników rozwiazywania układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi zapisanego w postaci ogólnej Wprowadzenie Przeczytaj Animacja Sprawdź się Dla nauczyciela Aby rozwiązać algebraicznie układ równań liniowych, możemy przekształcać ten układ równoważnie tak,  aby został doprowadzony do najprostszej postaci. Postępując w ten sposób, po każdym przekształceniu otrzymujemy układ prostszy, ale równoważny danemu. Istnieje kilka metod algebraicznych pozwalających rozwiązać układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. W tym materiale zajmiemy się jedną z nich – metodą przeciwnych współczynników. Twoje cele Przekształcisz układ równań tak, aby otrzymać układ równoważny. Rozwiążesz układ równań liniowych metodą przeciwnych współczynników. Źródło: Denys Rodionenko, dostępny w internecie: hps://unsplash.com/. Metoda przeciwnych współczynników rozwiazywania układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi zapisanego w postaci ogólnej Otrzymanym w ten sposób równaniem zastępujemy pierwsze z równań układu. Postawiamy otrzymaną wartość do drugiego z równań układu. Rozwiązujemy drugie równanie. Otrzymaliśmy parę liczb będącą rozwiązaniem danego układu równań. (Sprawdź!) Ważne! Rozwiazywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników polega na: 1. pomnożeniu obu stron jednego lub każdego równania przez dowolną liczbę różną od zera, tak aby przy jednej z niewiadomych otrzymać przeciwne współczynniki; 2. dodaniu do siebie równań stronami i obliczeniu jednej z niewiadomych; 3. zapisaniu układu równań, w którym jedno z równań zastępujemy otrzymanym równaniem; 4. obliczeniu jednej niewiadomej; 5. podstawieniu otrzymanej wartości niewiadomej do drugiego równania; 6. obliczeniu wartości drugiej niewiadomej. Przykład 3 Aby rozwiązać bardziej skomplikowany układ dwóch równań liniowych, musimy każde z równań układu doprowadzić do najprostszej postaci. Możemy dodawać do obu stron równania to samo wyrażenie oraz mnożyć obie strony równania przez to samo niezerowe wyrażenie. Rozwiążemy układ równań +{ −6x+ 4y = −4 6x+ 9y = 30       13y = 26  : 13 y = 2 { y = 2 2x+ 3y = 10 y { y = 2 2x+ 6 = 10 { x = 2 y = 2 Mnożymy obie strony pierwszego równania przez liczbę , a w drugim równaniu opuszczamy nawias. Redukujemy wyrazy podobne  w każdym z równań. Po doprowadzeniu układu równań do najprostszej postaci, znajdziemy jego rozwiązanie stosując metodę przeciwnych współczynników. Mnożymy więc drugie równanie przez liczbę . Otrzymane równania dodajemy stronami. Rozwiązujemy równanie z niewiadomą . Otrzymanym w ten sposób równaniem zastępujemy jedno z równań układu. Postawiamy otrzymaną wartość do drugiego z równań układu. Rozwiązujemy drugie równanie. Otrzymaliśmy parę liczb { x+y 2 + 4x−y 3 = 1 2(x− y) + 3 = x− 3y+ 1 6 { 3x+ 3y+ 8x− 2y = 6  2x− 2y+ 3 = x− 3y+ 1 { 11x+ y = 6 x+ y = −2 (−1) { 11x+ y = 6   x+ y = −2 | ⋅ (−1) y +{ 11x+ y = 6   −x− y = 2      10x = 8  : 10 x = 0, 8 { x+ y = −2 x = 0, 8 x { y+ 0, 8 = −2 x = 0, 8 { y = −2, 8 x = 0, 8 będącą rozwiązaniem danego układu równań. Przykład 4 Rozwiążemy układ równań . Mnożymy obie strony drugiego równania przez . Dodajemy równania stronami. Otrzymaliśmy tożsamość . Oznacza to, że układ równań posiada nieskończenie wiele rozwiązań postaci Jest to układ równań nieoznaczony (układ równań zależnych). Przykład 5 Znajdź rozwiązania układu równań . Przekształcając równoważnie każde z równań, doprowadzamy układ równań do najprostszej postaci. { y = −2, 8 x = 0, 8 { − √ 3x+ 2y = 3 x− 2 √ 3 3 y = − √ 3 √ 3 { − √ 3x+ 2y = 3 √ 3x− 2y = −3 +{ − √ 3x+ 2y = 3 √ 3x− 2y = −3      0 = 0 0 = 0 { x ∈ R y = √ 3 2 x+ 3 2 { 2x+y 3 − 2y+3x 5 = 1 15 (x+ 1) 2 − (y+ 1) 2 = x 2 − y 2 + 15 { 2x+y 3 − 2y+3x 5 = 1 15   ⋅ 15 x 2 + 2x+ 1 − y 2 − 2y− 1 = x 2 − y 2 + 15 ∣ Animacja Polecenie 1 Zapoznaj się z przykładami zastosowania metody przeciwnych współczynników do rozwiązywania układów równań przedstawionymi w animacji. Następnie wykonaj samodzielnie polecenie 2. Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1C2B2dg4 Film nawiązujący do treści materiału na temat metod przeciwnych współczynników rozwiązywania układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Polecenie 2 Rozwiąż układ równań .{ 1 2 x+ 2 3 y = 5 6 x− y = 0, 5 Sprawdź się Pokaż ćwiczenia: 輸醙難 Ćwiczenie 1 Połącz w pary równoważne układy równań. { 2x− 3y = 7 x− 2y = 5 { 2x− 3y = 7 −2x+ 4y = −10 { x− 2y = 5 4x+ y = 2 { −4x+ 8y = −20 4x+ y = 2 { 4x+ y = 2 3x+ y = 2 { −4x− y = −2 3x+ y = 2 { 2x− 3y = 7 3x+ y = 2 { 9x+ 3y = 6 2x− 3y = 7 Ćwiczenie 2 Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników. Wskaż zdanie prawdziwe. Układ równań jest sprzeczny. Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci . { 5x− 2y = 14 −2, 5x+ y = −2 { x ∈ R −2, 5x+ y = −2   輸 輸 Ćwiczenie 3 Rozwiąż układy równań metodą przeciwnych współczynników. Przeciągnij do tabeli poprawne rozwiązania układów równań. , , Układ równań Rozwiązanie "{" "" x− 2y = 3 x+ 4y = 5 "{" "" −2x+ 3y = 1 3x− 2y = 4 "{" "" 3x− y = 5 2x+ 2y = 12 "{" "" x− 2y = 3 x+ 4y = 5 "{" "" −2x+ 3y = 1 3x− 2y = 4 "{" "" 3x− y = 5 2x+ 2y = 12 Ćwiczenie 4 Wskaż wszystkie działania, które można wykonać, aby przy jednej ze zmiennych w równaniach w poniższym układzie równań wystąpiły przeciwne współczynniki: . Dzielimy obie strony drugiego równania przez liczbę . Mnożymy obie strony pierwszego równania przez liczbę . Dzielimy obie strony pierwszego równania przez liczbę . Mnożymy obie strony drugiego równania przez liczbę . Dzielimy obie strony drugiego równania przez liczbę . { 2x+ 4y = 12 −6x+ 2y = 5 3 (−2) (−2) (−2) (−3)      輸 醙 Dla nauczyciela Autor: Beata Wojciechowska Przedmiot: Matematyka Temat: Metoda przeciwnych współczynników rozwiązywania układu równań z dwiema niewiadomymi zapisanego w postaci ogólnej Grupa docelowa: III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony Podstawa programowa: IV. Układy równań. Zakres podstawowy. Uczeń: 1) rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi; podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych. Kształtowane kompetencje kluczowe: kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii kompetencje cyfrowe kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się Cele operacyjne: Uczeń: przekształca układ równań tak, aby otrzymać układ równoważny rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewidomymi metodą przeciwnych współczynników tworzy algorytmy rozwiązywania układów równań liniowych Strategie nauczania: konstruktywizm Metody i techniki nauczania: analiza przypadku dyskusja rozmowa nauczająca z wykorzystaniem animacji Formy pracy: praca całego zespołu klasowego praca w grupach praca w parach Środki dydaktyczne: komputery z głośnikami i dostępem do Internetu, słuchawki zasoby multimedialne zawarte w e–materiale tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda Przebieg lekcji Faza wstępna: 1. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć oraz wspólnie z uczniami ustala kryteria sukcesu. 2. Uczniowie przypominają sobie w grupach wiadomości i umiejętności związane z poznanymi sposobami rozwiązania układów równań. Faza realizacyjna: 1. Uczniowie pracują w parach metodą analizy przypadku. Analizują przykłady zawarte w części „Przeczytaj” . 2. Nauczyciel kontroluje pracę grup, wyjaśnia wątpliwości. 3. Uczniowie wspólnie z nauczycielem omawiają animację i konsultują wykonanie umieszczonego pod nim polecenia. 4. Uczniowie wykonują ćwiczenia interaktywne 1- 4. Faza podsumowująca: 1. Wskazany przez nauczyciela uczeń krótko podsumowuje najważniejsze informacje z lekcji. 2. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, udzielając im tym samym informacji zwrotnej. Praca domowa: Uczniowie wykonują ćwiczenia interaktywne 5‐8. Materiały pomocnicze: Metoda przeciwnych współczynników rozwiązywania układów równań Wskazówki metodyczne: Animacja może być wykorzystana przez uczniów do utrwalenia wiadomości z lekcji oraz podczas lekcji podsumowujących metody rozwiązywania układów równań.