Całki funkcji elementarnych - Notatki - Analiza matematyczna - Część 3, Notatki z Analiza matematyczna

Pobierz Całki funkcji elementarnych - Notatki - Analiza matematyczna - Część 3 i więcej Notatki w PDF z Analiza matematyczna tylko na Docsity! Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 25/32 Przykład g) [jak... nawet chyba nie muszę brzydko mówić, co] ∫ e x e2 x1 dx Hmm... znowu spróbujemy pozbyć się tych śmieci z mianownika, stosując takie podstawienie: t=e2 x1 Jebiąc obustronnie pochodne: dt=2e2x dx Oj, widzimy, że z tego podstawienia nic nie wyjdzie (bo będziemy mieć problem z zastąpieniem dx ). To może spróbujmy inaczej zapisać ten przykład: ∫ e x e2 x1 dx=∫ e x dx ex 21 Hmm... pomijając e x, jesteśmy całkiem niedaleko wzorku na arcus tangens, przypomnę: ∫ dx x21 =arctg x Spróbujmy więc użyć takiego podstawienia: t=e x * Różniczkując: dt=ex dx ** No i teraz jesteśmy w domu: ∫ e x dx ex 21 =∫ dt t 21 Całkując: = arctg tC Wracając do iksów, ostateczne rozwiązanie: ∫ e x e2 x1 dx=arctg exC Przykład h) [jak np. Herby] ∫ 5sin x dx3−2cos x Tutaj pierwszy i ostatni przykład całkowania funkcji trygonometrycznych. Po rozwiązaniu Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008 docsity.com Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 26/32 podam pewną ciekawostkę, my jednak zajmijmy się rozwiązaniem właśnie tego przykładu. Możemy użyć (by pozbyć się sinusa z licznika, a i przejść z pieprzonych funkcji trygonometrycznych na jakieś inne potworki) takiego podstawienia: t=cos x * Wiadomo, co: dt=−sin x dx ** Trochę zamieszamy w przykładzie, zanim podstawimy (po prostu, stworzymy minusa przed sinusem): ∫ 5sin x dx3−2cos x=−5∫ −sin x dx 3−2cos x Czyńmy swoją powinność: =−5∫ dt3−2 t Jesteśmy blisko logarytmu naturalnego, więc zróbmy wszystko, by szybko scałkować i skończyć: = 5 2∫ −2 dt 3−2 t Całkując: = 5 2 ln |3−2 t |C Więc i nasz wynik tej groźnie wyglądającej całki: ∫ 5sin x dx3−2cos x = 5 2 ln |3−2cos x |C W przypadku całek z funkcji trygonometrycznych, których nikt nie lubi, możemy zastosować pewne podstawienie, zwane podstawieniem uniwersalnym – bo idealnie nadaje się na wszelkie całki z funkcji trygonometrycznych. Ta funkcja pod całką automagicznie zmieni się w ułamek jakiegoś wielomianu przez jakiś wielomian (czyli funkcję wymierną). W takim podstawieniu zaczyna się od takiego dziwnego założenia i podstawienia: t=tg x 2 Z funkcji odwrotnej itp. wyłazi wzorek na zastąpienie dx: dx= 2dt 1t2 * Wyliczono również, czym należy zastąpić sinusa: sin x= 2 t 1 t2 ** Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008 docsity.com Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 29/32 Dopiero w tym miejscu zastosujemy podstawienie: t= x−2 2 * Po zróżniczkowaniu: dt=1 2 dx ** Stosując powyższe podstawienia, otrzymujemy bardzo ładną całkę do przeliczenia: ∫ 1 2 dx 1− x−22 2 =∫ dt1−t 2 Wykorzystując to, co sobie na początku przykładu zapisaliśmy, wiemy, że: ∫ dt 1−t 2 =arcsin t I „odpowiadstawiając”, kończymy z przytupem rozwiązywać ten pojebany przykład: ∫ dx4 x−x2 =arcsin x−2 2 C Jak widzimy, przykład idealny na kolokwia – od razu można poznać, czy delikwent rozwiązywał zadania, bo przyznacie sami, że jest dosyć ciężkawy, wymaga sięgnięcia aż do własności funkcji kwadratowej, poza tym – nietrudno o pomyłkę. Mnie samemu pierwsza próba rozwiązania tego przykładu zajęła 5 stron A4 (!), co tylko dowiodło, że z całości matematyki raczej dupa jestem, jeżeli chodzi o wzory... a o resztę także. Przykład j) [jak np. Jaskrów] ∫ x 3 dx  x−1100 Przykład ciekawy i podobny do przykładu f) . Można go rozwiązać na miliony sposobów, my spróbujemy trochę ten przykład rozbić na mniejsze problemy. Możemy licznik zapisać w takiej postaci (a żeby było ładnie i cacy z mianownikiem): =∫ [x−11] 3 dx x−1100 Wartość pod potęgą nie zmieniła się, więc nic złego się nie stało. Teraz, stosując wzór na sześcian sumy (przykład f): =∫ x−1 33x−123x−11 x−1100 dx Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008 docsity.com Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 30/32 Również jak już w cytowanym przykładzie, rozbijmy sobie ten wielki ułamek na mniejsze, jednocześnie już skracając w nich (x – 1): =∫ [ 1 x−197  3 x−198  3  x−199  1 x−1100 ]dx Rozbijając na cztery całki i wypieprzając stałe przed wężyki, dostaniemy dosyć osobliwe przykładziki: =∫ dx x−197 3∫ dx x−198 3∫ dx  x−199 ∫ dx x−1100 Zastosujemy dopiero teraz podstawienie: t=x−1 * Licząc to, co trzeba: dt=dx ** O, bardzo ładnie – pozbędziemy się niepotrzebnych minusów pod potęgą, a ten „wskaźnik” sam się ustawi na interesującą nas zmienną: =∫ dt t 97 3∫ dt t98 3∫ dt t 99 ∫ dt t 100 Już „przygotowując” tego zawodnika (a właściwie – zawodników) do bezpośredniego zastosowania wzora z tablic: =∫ t−97dt3∫ t−98dt3∫ t−99dt∫ t −100dt co też uczynimy: = t −96 −96 3 t −97 −97 3 t −98 −98  t −99  −99 I pomijając wszelkie kosmetyczne poprawki w wyglądzie (poza wyłączeniem minusa przed wszystko), „odpodstawiając” otrzymujemy: ∫ x 3 dx  x−1100 =−[ x−1 −96 96 3 x−1 −97 97 3  x−1 −98 98  x−1 −99 99 ]C Oj, koszmarny wygląd, ale ostatecznie wyliczyliśmy tę źle wyglądającą z początku całkę. Zazwyczaj, gdy gdzieś się trafi taka niebanalna potęga (coś do potęgi 50, 100 itp.), to zazwyczaj trzeba trochę pokombinować, pogmatwać, a potem już dojdziemy do momentu, w którym podobny przykład już rozwiązywaliśmy. Ostatni przykład będzie takim symbolicznym ukoronowaniem tego bryku, gdyż zastosujemy tutaj również całkowanie przez części. Przykład k) [jak np. Konopiska] ∫ x3 e x 2dx Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008 docsity.com Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 31/32 Zazwyczaj przy całce z e to jakiejś potęgi, podczas gdy ta potęga jest jeszcze bardziej zwyżkująca stosujemy takie triki, by uzyskać e jakaś ładna liczba albo literka . Zauważmy, że także i tutaj trudno użyć od razu podstawienia: t=x2 bo co później zrobić z dx? Hmm... nie, zaraz, czekaj, gdyby inkasenta zapisać w ten sposób: ∫ x2 e x 2∗x dx O, już coś lepszego, więc chwytamy byka za rogi: t=x2 * i go różniczkujemy... Boże, co za żałosny kujon to wszystko pisze: dt=2 x dx Tutaj już nawet oszczędzimy sobie mieszanie w całce przed podstawieniem, po prostu przekształcając powyższe równanie: dt 2 x =dx ** Podstawmy, zauważając, że już od razu ten „wolny” iks się skróci z tym z **): ∫ x2 e x 2∗x dx=∫ t e t  12 dt Pół – wypierdalać: = 1 2∫ t e t dt Powyższą całkę obliczymy – tak dla ładnego skończenia tego nudnego bryku – metodą całkowania przez części. Dlatego wygospodarujemy sobie kawałek kartki dla tej niby tabelki: f x =t g ' x =e t f ' x=1 g  x=et Co da nam takie cuda: = 1 2  t e t−∫ et dt  Ale całkę z tak prostej postaci liczby e znamy: = 1 2  t e t−et Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008 docsity.com