Analiza matematyczna
Lista 6
(caªki nieoznaczone)
Zad 1.
Obliczy¢ caªki:
a)Z(3x5−6x3−5x+1)dx b)Zx3+ 8
x+ 2 dx c)Zrxqx√xdx d)Zx(√x−x23
√x)
3
√xdx
e)Z1
cos2x+sin x−1
√1−x2dx f)Zex−2
x+5
√x+3
√1−x2dx g)Zx4+ 2x2−5
x2+ 1 dx
Zad 2.
Korzystaj¡c z metody caªkowania przez podstawienie obliczy¢ caªki:
a)Ze−3xdx b)Zdx
5x+ 3 c)Z√x+ 1
xdx d)Zdx
xln3xe)Zxex2dx f)Ze2x
4
√1 + exdx
g)Zsin42xcos32xdx h)Ztg xdx i)Zcos x
1 + 4 sin2xdx j)Zx(2x2+3)ndx, n ∈N
k)Zln x
x√1 + 2 lnxdx l)Z1
x2cos 1
xdx m)Zdx
x√9x2−1
Zad 3.
Stosuj¡c odpowiednie podstawienia obliczy¢ podane caªki nieoznaczone
a)
R1
x+2009 dx
, b)
R(5 −3x)2009 dx
, c)
Rx dx
x2+1
, d)
Rx dx
(x2+3)6
,
e)
Rcos √x
√xdx
, f)
R√1+4x
xdx
, g)
R(x+ 1) sin(x2+ 2x+ 2) dx
, h)
Rln x
xdx
,
i)
Rcos x dx
√1+sin x
, j)
R(3x+2) dx
3x2+4x+7
, k)
Rx25
√5x3+ 1 dx
, l)
Rxe−x2dx
,
m)
Rx3ex2dx
, n)
R61−xdx
, o)
R5 sin x dx
3−2 cos x
, p)
Rsin3x dx
, r)
Rexdx
e2x+1
,
s)
Rdx
√1−4x2
, t)
Rdx
2+√xdx
, u)
Rdx
√4x−x2
, w)
Rx2dx
(x−1)100
, x)
Re−
1
xdx
x2
,
Zad 4.
Stosuj¡c wzór na caªkowanie przez cz¦±ci obliczy¢ caªki:
a)Zxe−3xdx b)Zexsin xdx c)Z(ln x)2dx d)Zx10 ln xdx e)Z(x3+2x−1)2xdx
f)Zcos (ln x)dx g)Zx
sin2xdx h)Zxcos xdx i)Z(arcsin x)2dx j)Zarccos rx
x+ 1dx
Zad 5.
Wyprowadzi¢ wzory rekurencyjne dla nast¦puj¡cych caªek:
a)Zxnaxdx, a > 0, a 6= 1, n ∈Nb)Zlnnxdx, n ∈Nc)Zsinnxdx, n ∈N
Zad 6.
Obliczy¢ caªki z funkcji wymiernych:
a)Zx−3
x2−6x+ 5dx b)Zdx
2x2−20x+ 51 c)Z11x−1
3x2−5x−2dx d)Z9x−5
9x2−6x+ 1dx
e)Zx−1
x3−3x−2dx f)Zx4−3x2−3x−2
x3−x2−2xdx g)Zx4−x3+x2+ 1
x3+xdx h)Zx3−6
x4+ 6x2+ 8dx
Zad 7.
Obliczy¢ podane caªki z funkcji wymiernych
a)
Rdx
x2+4x+29
, b)
R(6x+3)dx
x2+x+4
, c)
R(4x+2)dx
x2−10x+29
, d)
R(x−1)dx
9x2+6x+2
,
e)
R(x+2)dx
x(x−2)
, f)
Rx2dx
x+1
, g)
Rdx
(x−1)x2
, h)
Rdx
(x2+1)(x2+4)
,
i)
R(4x+1)dx
2x2+x+1
, j)
R(3x−1)dx
x2−x+1
, k)
Rdx
x2+2x+8
, l)
R2dx
x2+6x+18
,
m)
R(4x+1)dx
2x2+x+1
, n)
Rx2dx
x2+2x+5
, o)
R(2x4+5x2
−2)dx
2x3−x−1
, p)
Rdx
(x−2)2(x+3)3
.
Zad 8.
Obliczy¢ podane caªki z funkcji trygonometrycznych
a)
Rsin3x dx
, b)
Rsin4xcos3x dx
, c)
Rcos4x dx
, d)
Rsin3xcos6x dx
,
e)
Rsin2xcos 2x dx
, f)
Rsin2xsin 2x dx
, g)
Rtg x dx
, h)
Rsin xtg2x dx
,
docsity.com