Pobierz Całki nieoznaczone - wzory, działania i więcej Opracowania w PDF z Rachunek różniczkowy i całkowy tylko na Docsity!
Całki nieoznaczone
Adam Gregosiewicz
27 maja 2010
1 Własności
a ) Jeżeli F ′(x) = f (x), to (^) ∫ f (x)dx = F (x) + C,
dla dowolnej stałej C ∈ R. b ) Jeżeli a ∈ R, to (^) ∫ af (x)dx = a
f (x)dx.
c ) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi, to ∫ [f (x) ± g(x)] dx =
f (x)dx ±
g(x)dx.
2 Wzory podstawowe
a )
xa^ dx = xa+ a + 1
b )
x dx = ln |x| + C.
c )
1 + x^2 dx = arc tg x + C.
d )
1 + x^2 dx = arc ctg x + C.
e )
1 − x^2
dx = arc sin x + C.
f )
1 − x^2
dx = arc cos x + C.
g )
ax^ dx = ax ln a
h )
sin x dx = − cos x + C.
i )
cos x dx = sin x + C.
j )
cos^2 x dx = tg x + C.
k )
sin^2 x dx = − ctg x + C.
l )
sinh x dx = cosh x + C.
m )
cosh x dx = sinh x + C.
n )
cosh^2 x
dx = tgh x + C.
o )
sinh^2 x
dx = ctgh x + C.
3 Całkowanie przez podstawienie
Jeżeli funkcja ϕ jest różniczkowalna w sposób ciągły, to całkę
f (x) dx można przekształcić,
podstawiając x = ϕ(t). Wtedy ∫ f (x) dx =
f (ϕ(t))ϕ′(t) dt.
Czasami jednak lepiej jest wykonać podstawienie t = ϕ(x). Należy wtedy (o ile to możli- we), korzystając z formalnego równania dt = ϕ′(x) dx, zapisać f (x) dx jako g(t) dt dla pewnej funkcji g. Wtedy, jeżeli (^) ∫
g(t) dt = F (t) + C,
to (^) ∫ f (x) dx = F (ϕ(x)) + C.
4 Całkowanie przez części
Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne, to zachodzi wzór ∫ f (x)g′(x) dx = f (x)g(x) −
f ′(x)g(x) dx.
Wybór funkcji f oraz g bywa trudny. Najczęściej jednak za funkcję f należy przyjąć tę, która występuje wcześniej w poniższej liście:
a ) funkcje logarytmiczne (np. ln x),
b ) funkcje cyklometryczne (np. arc sin x), c ) funkcje algebraiczne (np. x^5 ),
d ) funkcje trygonometryczne (np. sin x), e ) funkcje wykładnicze (np. ex).
6 Całki funkcji wymiernych
Niech P oraz Q, Q 6 = 0, będą dowolnymi wielomianami. Interesuje nas znalezienie całki
z funkcji wymiernej R(x) = P (x) Q(x)
, to znaczy
∫ R(x) dx =
P (x) Q(x) dx.
Jeżeli stopień wielomianu P jest nie mniejszy od stopnia wielomianu Q, to należy najpierw wykonać dzielenie z resztą wielomianu P przez Q. Wtedy
P (x) = q(x)Q(x) + r(x),
gdzie stopień reszty r jest mniejszy od stopnia Q. Stąd ∫ R(x) dx =
q(x) dx +
r(x) Q(x) dx.
Będziemy zatem od tej pory zakładać, że licznik ma mniejszy stopień od mianownika.
6.1 Metoda współczynników nieoznaczonych
Wielomian Q można rozłożyć na iloczyn czynników nierozkładalnych, to znaczy
Q(x) = (x − a 1 )α^1 ·... · (x − an)αn^ (x^2 + b 1 x + c 1 )β^1 ·... · (x^2 + bmx + cm)βm^ , (1)
gdzie żaden z wielomianów x^2 + bix + ci nie ma pierwiastków rzeczywistych. Wtedy istnieją stałe Aji , Bkl, Ckl ∈ R, takie że
R(x) = P (x) Q(x)
A^11
x − a 1
A^12
(x − a 1 )^2
A^1 α 1 (x − a 1 )α^1
An 1 x − an
An 2 (x − an)^2
Anα 1 (x − an)αn^
B^11 x + C^11 x^2 + b 1 x + c 1
B 21 x + C 21 (x^2 + b 1 x + c 1 )^2
B β^11 x + C β^11 (x^2 + b 1 x + c 1 )β^1
B 1 m x + C 1 m x^2 + bmx + cm
Bm 2 x + C 2 m (x^2 + bmx + cm)^2
Bβm 1 x + Cβm 1 (x^2 + bmx + cm)βm^
Po wymnożeniu równania (2) obustronnie przez Q(x), nieznane stałe można wyznaczyć na przykład poprzez
- I sposób porównanie współczynników przy odpowiednich potęgach x-ów,
- II sposób wstawienie do przekształconego równania (2) dowolnych wartości rzeczywi- stych x, otrzymując układ równań do rozwiązania.
Mając dany rozkład na ułamki proste, aby znaleźć całkę
R(x) dx zauważmy najpierw, że
∫ Aji (x − aj )α^
dx =
1 − α
Aji (x − aj )α−^1
Pozostaje zatem wyznaczyć całki typu ∫ Bx + C (x^2 + bx + c)n^ dx. (3)
Na początek, przez sprowadzenie trójmianu do postaci kanonicznej oraz odpowiednie podsta- wienie, przekształcamy całkę (3) do postaci ∫ Dx + E (x^2 + 1)n^ dx,
a następnie rozdzielamy ∫ Dx + E (x^2 + 1)n^
dx = D
x (x^2 + 1)n^
dx + E
(x^2 + 1)n^
dx.
Oczywiście, po zastosowaniu podstawienia x^2 + 1 = t, otrzymujemy ∫ x (x^2 + 1)n^ dx =
2 tn^ dt =
2(1 − n)
tn−^1
2(1 − n)
(x^2 + 1)n−^1
Całki (^) ∫ 1 (x^2 + 1)n^ dx
nie wyznaczymy explicite , natomiast podamy formułę redukcyjną, która umożliwi wyznaczania jej wartości dla konkretnego n. Oznaczmy najpierw In =
(x^2 + 1)n^ dx.
Wtedy
In =
1 + x^2 − x^2 (x^2 + 1)n^ dx =
(x^2 + 1)n−^1 dx −
x^2 (x^2 + 1)n^ dx = In− 1 −
x x (x^2 + 1)n^ dx.
Na mocy wzoru na całkowanie przez części, wykorzystując równość (4), otrzymujemy
In = In− 1 −
2(1 − n)
x (x^2 + 1)n−^1
2(1 − n)
(x^2 + 1)n−^1
dx =
= In− 1 −
2(1 − n)
x (x^2 + 1)n−^1
2(1 − n)
In− 1 =
2(n − 1)
x (x^2 + 1)n−^1
2(n − 1)
In− 1.
Wystarczy zatem znać wartość I 1 =
x^2 + 1 dx = arc tg x oraz skorzystać z formuły reduk-
cyjnej, aby obliczyć dowolną całkę typu (3).
6.2 Metoda Ostrogradskiego
W przypadku, gdy wielomian Q ma pierwiastki wielokrotne (co oznacza, że w rozkładzie (1) przynajmniej jedna z liczb αi, βj jest większa od 1 ) wiemy, że ∫ R(x) dx = X(x) Q 1 (x)
Y (x) Q 2 (x) dx, (5)
8 Całki dwumienne
∫ xm(a + bxn)p^ dx
Niech liczby m, n oraz p będą wymierne. Całkę dwumienną można przedstawić jako kom- binację funkcji elementarnych wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jeden z warunków
a ) p jest liczbą całkowitą (otrzymujemy całkę z sumy jednomianów).
b ) m + 1 n jest liczbą całkowitą. Stosujemy wtedy podstawienie ts^ = a + bxn, gdzie s jest mianownikiem liczby p.
c ) m + 1 n
- p jest liczbą całkowitą. Stosujemy wtedy podstawienie ts^ = ax−n^ + b.
9 Całki funkcji trygonometrycznych
9.1 Całki typu
sinm^ x cosn^ x dx
Oznaczmy powyższą całkę przez Im,n dla dowolnych liczb całkowitych m, n. W zależności od parzystości m oraz n stosujemy jedną z poniższych metod:
a ) m = 2k + 1 jest dodatnią liczbą nieparzystą. Wtedy
Im,n =
sin^2 k^ x sin x cosn^ x dx =
(1 − cos^2 x)k^ cosn^ x sin x dx
i stosujemy podstawienie t = cosx. b ) n = 2k + 1 jest dodatnią liczbą nieparzystą. Podobnie jak poprzednio
Im,n =
sinm^ x cos^2 k^ x cos x dx =
sinm^ x(1 − sin^2 x)k^ cos x dx
i stosujemy podstawienie t = sin x. c ) m i n są dodatnimi liczbami parzystymi. Przekształcamy całkę, wykorzystując wzory try- gonometryczne
sin^2 x = 1 − cos (2x) 2 , cos^2 x = 1 + cos (2x) 2 , 2 sin x cos x = sin (2x).
d ) m i n są ujemnymi liczbami jednakowej parzystości. Mamy
Im,n =
sin−m^ x cosn−^2 x
cos^2 x
dx =
tg^2 x
)−m/ 2 (1 + tg^2 x)
n− 22 1 cos^2 x dx =
(1 + t^2 ) m+ 2 n− 1 tm^ dt,
wykorzystując podstawienie t = tg x.
e ) n = −m. Zapisujemy całkę w postaci
tgm^ x dx lub
ctgm^ x dx, tak aby wykładnik m był dodatni. Następnie wykorzystujemy tożsamość
tg^2 x =
cos^2 x − 1 lub ctg^2 x =
sin^2 x
f ) W pozostałych przypadkach można wykorzystać metodę redukcyjną, podobną do przed- stawionej w punkcie 6.1.
9.2 Całki typu
sin (mx) cos (nx) dx
W całkach postaci
sin (mx) cos (nx) dx,
sin (mx) sin (nx) dx lub
cos (mx) cos (nx) dx
wykorzystujemy wzory
sin (mx) cos (nx) =
[sin (m + n)x + sin (m − n)x],
sin (mx) sin (nx) =
[cos (m − n)x − cos (m + n)x],
cos (mx) cos (nx) =
[cos (m − n)x + cos (m + n)x].
9.3 Całki typu
R(sin x, cos x) dx
Jeżeli R jest funkcją wymierną, to przez podstawienie
t = tg x 2
możemy sprowadzić badaną całkę do całki funkcji wymiernej. Korzystamy przy tym z tożsa- mości
sin x = 2 t 1 + t^2 , cos x = 1 − t^2 1 + t^2 , dx = 2 dt 1 + t^2
W przypadku, gdy zachodzi równość
R(sin x, cos x) = R(− sin x, − cos x),
możemy podstawiać t = tg x.
Wtedy
sin x = t √ 1 + t^2
, cos x =
1 + t^2
, x = arc tg t, dx = dt 1 + t^2
Uwaga. Analogicznych metod jak we wszystkich powyższych typach można używać do całek funkcji hiperbolicznych.
