Całki niewłaściwe, szeregi liczbowe i potęgowe, rachunek różniczkowy, całki podwójne i potrójne, Prezentacje z Analiza matematyczna

Pobierz Całki niewłaściwe, szeregi liczbowe i potęgowe, rachunek różniczkowy, całki podwójne i potrójne i więcej Prezentacje w PDF z Analiza matematyczna tylko na Docsity!

Analiza matematyczna 2

prowadzący: Marcin Chwała

e-mail: [email protected]

konsultacje: pok. 119, bud. D- 2

Materiały dydaktyczne luty 2019r. Niniejsze slajdy są uzupełnieniem do wykładu i obejmują wyłącznie niektóre zagadnienia

Materiały dydaktyczne luty 2019r. Zakres wykładu

1. Całki niewłaściwe

2. Szeregi liczbowe i funkcyjne

3. Rachunek różniczkowy funkcji dwóch i trzech zmiennych

4. Całki podwójne i całki potrójne

Literatura:

1. Analiza Matematyczna 2 - definicje, twierdzenia, wzory.

Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas

2. Analiza Matematyczna w Zadaniach 2. W. Krysicki, L.

Włodarski

3. Rachunek Różniczkowy i Całkowy. Franciszek Leja

4. Rachunek Różniczkowy i Całkowy. G. M. Fichtenholz

1. Całki niewłaściwe

2. Szeregi liczbowe i funkcyjne

3. Rachunek różniczkowy funkcji dwóch i trzech zmiennych

4. Całki podwójne i całki potrójne

Materiały dydaktyczne luty 2019r. Harmonogram wykładu 3 marca 10 marca 24 marca 31 marca 14 kwietnia 28 kwietnia^ 12 maja 19 maja 2 czerwca^ 16 czerwca Kolokwia na ćwiczeniach

Co w następującej sytuacji? ?

Jeżeli całki po prawej stronie są zbieżne, to całka 𝑓 na (−∞, ∞) jest zbieżna. Materiały dydaktyczne luty 2019r.

𝑎 > 0 , wtedy poniższa całka jest zbieżna dla 𝑝 > 1 oraz rozbieżna dla 𝑝 ≤ 1

Analogiczna zależność zachodzi w przypadku poniższej całki (𝑏 < 0 ):

Materiały dydaktyczne luty 2019r.

Kryterium ilorazowe zbieżności całek. Jeżeli funkcje 𝑓(𝑥) oraz 𝑔(𝑥) są określone i dodatnie na [𝑎, ∞) oraz gdzie 0 < 𝑘 < ∞ to:

jest zbieżna න jest zbieżna

Materiały dydaktyczne luty 2019r. lim 𝑥→∞

⟺ Powyższe twierdzenie jest prawdziwe dla funkcji ujemnych, a także dla poniższych całek niewłaściwych:

Materiały dydaktyczne luty 2019r. Całka niewłaściwa pierwszego rodzaju funkcji 𝑓 jest zbieżna bezwzględnie, gdy całka niewłaściwa funkcji 𝑓 jest zbieżna. Jeżeli całka niewłaściwa jest zbieżna bezwzględnie, to jest zbieżna. Ponadto prawdziwa jest następująca nierówność:

Materiały dydaktyczne luty 2019r. 𝑏 > 0 , wtedy poniższa całka jest zbieżna dla 𝑝 < 1 oraz rozbieżna dla 𝑝 ≥ 1

Analogiczna zależność zachodzi w przypadku poniższej całki (𝑎 < 0 ):

Materiały dydaktyczne luty 2019r. Kryterium porównawcze zbieżności całek niewłaściwych drugiego rodzaju. Jeżeli

0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) dla 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏]

oraz jest zbieżna to jest zbieżna

Jak przy całkach rozbieżnych?