Pobierz Całki podwójne i potrójne - definicje, twierdzenia, przykłady i więcej Opracowania w PDF z Analiza matematyczna tylko na Docsity!
Maciej Grzesiak
Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej
Całki podwójne i potrójne
1. Definicja całki podwójnej po prostokącie
Definicja 1. Podziałem prostokąta
R = { (x, y) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d }
(inaczej: R = [a, b] × [c, d] ) nazywamy zbiór P złożony z prostokątów R 1 , R 2 ,... , R n które całkowicie go wypełniają i mają parami rozłączne wnętrza.
Niech ∆x k , ∆y k będą długościami boków prostokąta R k , d k =
(∆x k )^2 + (∆y k )^2 jego prze- kątną. Średnicą podziału P nazywamy liczbę:
δ( P ) = max { d k : 1 ¬ k ¬ n }.
Niech (ξ k , η k ) będzie dowolnie wybranym punktem prostokąta R k.
Definicja 2. (suma całkowa funkcji po prostokącie) Niech funkcja f (x, y) będzie ogra- niczona na prostokącie R oraz niech P będzie podziałem tego prostokąta. Sumą całkową funkcji f nazywamy liczbę ∑ n
k =
f (ξ k , η k )∆x k ∆y k.
Pojedyncze składniki powyższej sumy są objętościami prostopadłościanów, których podsta- wami są prostokąty R k , a wysokościami f (ξ k , η k ). Rozpatrując ciąg podziałów ( Pn ) i przechodząc do granicy dochodzimy do pojęcia całki:
Definicja 3. (całka podwójna funkcji po prostokącie) Niech funkcja f (x, y) będzie ogra- niczona na prostokącie R_._ Całkę podwójną funkcji f po prostokącie R określamy wzorem
∫ ∫
R
f (x, y) dx dy = lim δ ( P ) → 0
∑^ n
k =
f (ξ k , η k )∆x k ∆y k ,
o ile ta granica jest właściwa.
Jeżeli całka istnieje, to mówimy, że funkcja jest całkowalna. Każda funkcja ciągła jest całko- walna. Interpretacja geometryczna. Składnik f (ξ k , η k )∆x k ∆y k sumy całkowej można interpre- tować jako objętość prostopadłościanu, którego podstawa jest prostokątem o wymiarach ∆x k , ∆y k a wysokością jest f (ξ k , η k ). Suma całkowa jest zatem przybliżeniem objętości bryły ograniczonej prostokątem R, po- wierzchnią z = f (x, y) i ścianami bocznymi równoległymi do osi Oz. Całka, jako granica tych sum, jest (dokładną) objętością tej bryły.
Twierdzenie 1. (własności całki) 1. f (x, y) = 0 ⇒
R
f (x, y) dx dy = 0 ;
2.
R
(f (x, y) + g(x, y)) dx dy =
R
f (x, y) dx dy +
R
g(x, y) dx dy ;
3. jeżeli R = R 1 ∪ R 2 i R 1 ∩ R 2 = ∅, to
R
f (x, y) dx dy =
R 1
f (x, y) dx dy+
R 2
f (x, y) dx dy ;
R
cf (x, y) dx dy = c
R
f (x, y) dx dy_._
Twierdzenie 2. (obliczanie całki podwójnej) Jeżeli R = { (x, y) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d } jest prostokątem, to
∫ ∫
R
f (x, y) dx dy =
∫^ b
a
∫^ d
c
f (x, y) dy
(^) dx =
∫^ d
c
∫^ b
a
f (x, y) dx
(^) dy.
Całki występujące w twierdzeniu nazywamy całkami iterowanymi. Ponieważ zapis jest nieco kłopotliwy, będziemy dalej pisali krócej:
∫^ b
a
dx
∫^ d
c
f (x, y) dy,
∫^ d
c
dy
∫^ b
a
f (x, y) dx.
Przykłady. Obliczyć całki
∫^2
1
dx
∫^3
0
(x + xy^2 ) dy;
∫^3
0
dy
∫^2
1
(x + xy^2 ) dx;
R
sin(x + y) dx dy, R = [ − π 4 , π 4 ] × [0, π 4 ];
R
√ xy x^2 + y^2 + dx dy, R = [0, 1] × [0, 1].
2. Całka podwójna po obszarze normalnym
Definicja 4. Obszarem normalnym względem osi Ox nazywamy obszar określony nierówno- ściami a ¬ x ¬ b, g(x) ¬ y ¬ h(x),
dla pewnych stałych a, b i funkcji g(x) , h(x). Analogicznie, obszarem normalnym względem osi Oy nazywamy obszar określony nierówno- ściami c ¬ y ¬ d, k(y) ¬ x ¬ l(y),
dla pewnych stałych c, d i funkcji k(y) , l(y).
Definicja 5. Jeżeli f (x, y) jest funkcją określoną w obszarze D normalnym względem osi Ox , to całkę podwójną po obszarze D określamy następująco:
∫ ∫
D
f (x, y) dx dy =
∫^ b
a
dx
h ∫( x )
g ( x )
f (x, y) dy.
Analogicznie, gdy D jest obszarem normalnym względem osi Oy , to:
∫ ∫
D
f (x, y) dx dy =
∫^ d
c
dy
∫^ l ( y )
k ( y )
f (x, y) dx.
Przykłady. Obliczyć całki
D
xy^2 dx dy, D ograniczony krzywymi y = x, y = 2 − x^2 ;
D
x^2 y dx dy, D ograniczony krzywymi y = − 2, y = (^1) x , y = −
− x.
Przykłady. Obliczyć całki zamieniając współrzędne na biegunowe:
D
ln(1 + x^2 + y^2 ) dx dy, gdy D jest określony warunkami x^2 + y^2 ¬ 1, x 0, y 0.
Rozwiązanie: We współrzędnych na biegunowych obszar określają nierówności 0 ¬ ϕ ¬ π/2, 0 ¬ ρ ¬ 1, więc
∫ ∫
D
ln(1 + x^2 + y^2 ) dx dy =
∆
ln(1 + ρ^2 )ρ dρ dϕ =
∫^ π/^2
0
dϕ
0
ln(1 + ρ^2 )ρ dρ =
π 4
(2 ln 2 − 1).
D
R^2 − x^2 − y^2 dx dy, gdy D jest określony warunkiem x^2 + y^2 ¬ R^2.
Odp.: 23 πR^3 (objętość półkuli).
D
R^2 − x^2 − y^2 dx dy, gdy D jest określony warunkami x^2 + y^2 − Rx ¬ 0, y 0.
Odp.: R
3 3
( (^) π 2 −^
2 3
4. Zastosowania całki podwójnej
Pole obszaru D obliczamy ze wzoru:
P =
D
dx dy =
∆
ρ dρ dϕ,
gdzie ∆ jest obszarem opisanym we współrzędnych biegunowych.
Przykłady. Obliczyć pola:
- D jest obszarem między krzywymi y = x^2 − 8 x + 20, y = x + 2;
- D jest obszarem ograniczonym lemniskatą (x^2 +y^2 )^2 = 2a^2 (x^2 − y^2 ) (zamienić współrzędne na biegunowe); Równanie biegunowe lemniskaty to ρ = a
2 cos 2ϕ, a więc
P = 4
∫ (^) π/ 4
0
dϕ
∫ (^) a√ 2 cos 2 ϕ
0
ρ dρ = 4
∫ (^) π/ 4
0
a^2 cos 2ϕ dϕ =
- D jest obszarem ograniczonym krzywymi x^2 + (y − 2)^2 = 4, y = x, (y ¬ x) (zamienić współrzędne na biegunowe). Odp.: π − 2. Objętość bryły ograniczonej obszarem D ⊂ Oxy, powierzchnią z = f (x, y) i prostymi równoległymi do osi Oz obliczamy ze wzoru:
P =
D
f (x, y) dx dy.
Przykłady. Obliczyć objętości brył:
- ograniczonej płaszczyznami z = 5 − 2 x − y, x = 0, y = 0, z = 0. (odp.: 125/12)
- ograniczonej powierzchniami z = 4 − x^2 − y^2 , z = 0. (odp.: 8π)
- wyznaczonej przez powierzchnie x^2 + z^2 = 1, x + y = 1, z = 0, y = 0, przy czym y, z 0; Uwaga : w rachunkach skorzystać ze wzoru
∫ (^) √ a^2 − x^2 dx = a^2 2
arc sin x a
x a
a^2 − x^2 + C.
- wyciętej walcem x^2 + y^2 = Rx z kuli x^2 + y^2 + z^2 = R^2 ; Odp.: 43 R^3
( (^) π 2 −^
2 3
- ograniczonej stożkiem x^2 + y^2 = z^2 i paraboloidą x^2 + y^2 = 6 − z, (z 0).
V =
D
(6 − x^2 − y^2 −
x^2 + y^2 dx dy =
∫ (^2) π
0
dϕ
0
ρ(6 − ρ^2 − ρ) dρ =
π.
Przy pomocy całki podwójnej można obliczać również pole płata powierzchni. Jeżeli z =
f (x, y) jest powierzchnią w przestrzeni, to pole jej płata leżącego nad obszarem D ⊂ Oxy wyraża się wzorem
S =
D
1 + (f (^) x′ )^2 + (f (^) y′ )^2 dx dy.
Przykłady. Obliczyć pole powierzchni:
- wyciętej walcem x^2 + y^2 = Rx ze sfery x^2 + y^2 + z^2 = R^2 Odp.: S = 2R^2 (π − 2);
- wyciętej walcem x^2 + y^2 = R^2 ze stożka y^2 + z^2 = x^2. Odp.: 2πR^2.
5. Definicja całki potrójnej
Obszarem normalnym Ω w przestrzeni nazywamy obszar ograniczony od dołu powierzchnią z = p(x, y), od góry powierzchnią z = q(x, y), a po bokach powierzchnią walcową o tworzących równoległych do osi Oz. Rzutem tego obszaru na płaszczyznę Oxy jest obszar płaski D. Wtedy całkę potrójną po Ω określamy wzorem
∫ ∫ ∫
Ω
f (x, y, z) dx dy dz =
D
q (∫ x,y )
p ( x,y )
f (x, y, z) dz
Jeśli obszar D jest normalny np.
a ¬ x ¬ b, g(x) ¬ y ¬ h(x),
to ∫ ∫ ∫
Ω
f (x, y, z) dx dy dz =
∫^ b
a
dx
h ∫( x )
g ( x )
dy
q ∫( x,y )
p ( x,y )
f (x, y, z) dz.
Przykłady. Obliczyć całki potrójne
Ω
(x + y + z) dx dy dz, Ω ograniczony płaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0, x = a, y = b,
z = c;
Ω
z dx dy dz, Ω ograniczony płaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1.
Definicja 8. Niech Ω ′^ i Ω będą obszarami w przestrzeniach Ouvw i Oxyz odpowiednio. Prze- kształceniem obszaru Ω ′^ w obszar Ω nazywamy funkcję
T : Ω ′^ −→ Ω, T (u, v, w) = (x, y, z),
gdzie x = ϕ(u, v, w), y = ψ(u, v, w), z = χ(u, v, w).
Definicja 9. Jakobianem przekształcenia T (u, v, w) = (ϕ(u, v, w), ψ(u, v, w), χ(u, v, w)) na- zywamy funkcję:
J(u, v, w) =
∂ϕ ∂u (u, v, w)^
∂ϕ ∂v (u, v, w)^
∂ϕ ∂ψ ∂w^ (u, v, w) ∂u (u, v, w)^
∂ψ ∂v (u, v, w)^
∂ψ ∂χ ∂w^ (u, v, w) ∂u (u, v, w)^
∂χ ∂v (u, v, w)^
∂χ ∂w (u, v, w)
