Równania ró»niczkowe
Lista 6
Zad 1.
Scaªkowa¢ nast¦puj¡ce równania (tzw. równania niepeªne):
1
równanie równanie równanie
a)
y03+ 1 = 0
f)
x(1 + y02)3
2=a
k)
y=1
2y02+ ln y0
b)
y0−sin y= 0
g)
x=y03+ 1
l)
y=y02+ 2y03
c)
y03+ 1 = 3y0
h)
xy03= 1 + y0
m)
y2
3+y02
3=a2
3
d)
y0− |y0|= 0
i)
x=y0ln y0
n)
y3+y03−3ayy0= 0
e)
x=ay0+by02
j)
x3−y03=xy0
o)
y
√1+y02=a
Zad 2.
Scaªkowa¢ nast¦puj¡ce równania (równania Langrange'a oraz równania Clairauta):
równanie równanie równanie
a)
2yy0=x(y02+ 4)
d)
y=x(1 + y0) + y02
g)
y=xy0+p1−y02
b)
y=−xy0+y02
e)
2y(y0+ 2) = xy02
h)
y=x+y02−y0
c)
y=xy0−y02
f)
y=xy0−ap1 + y02
i)
x=y
y0+1
y02
Zad 3.
Scaªkowa¢ nast¦puj¡ce równania (niezawieraj¡ce szukanej funkcji):
2
równanie równanie równanie
a)
(1 + x2)y00 +y02+ 1 = 0
c)
xy00 =y0
e)
xy00 =y0ln y0
x
b)
y00 + 2xy0= 0
d)
y0(1 + y02) = ay00
f)
x(ln x)·y00 =y0
Zad 4.
Rozwi¡za¢ zagadnienie Cauchy'ego dla nast¦puj¡cych równa« oraz warunków pocz¡tkowych,
zbada¢ uprzednio zagadnienie istnienia i jednoznaczno±ci poszukiwanych rozwi¡za«:
równanie
x0y0y0
0
równanie
x0y0y0
0y00
0
a)
y00 = (1 + y02)3
2
0 1 0 c)
4y0+y002= 4xy00
0 0 -1 ...
b)
y002=y0
0 0 1 d)
2xy00 +y000 = 0 0 1 1 1
Zad 5.
Scaªkowa¢ nast¦puj¡ce równania (niezawieraj¡ce zmiennej niezale»nej):
równanie równanie równanie
a)
yy00 =y03
c)
1 + y02= 2yy00
e)
y00 =1
8√y
b)
yy002= 1
d)
2yy00 +y02+y04= 0
f)
y00 =−y02+ 2e−y
Zad 6.
Scaªkowa¢ nast¦puj¡ce równania liniowe jednorodne
równanie równanie równanie
a)
y00 −6y0+ 8y= 0
i)
y00 + 4y= 0
r)
y000 −7y00 + 16y0−12y= 0
b)
y00 + 3y0+ 2y= 0
j)
y000 =y
s)
y(4) + 2y00 −8y0+ 5y= 0
c)
y00 + 3y0= 0
k)
y000 −2y00 + 9y0= 18y
t)
y(4) −2y000 + 2y00 −2y0+y= 0
d)
y00 −y0−2y= 0
l)
y(4) −y= 0
u)
y(4) −4y000 + 8y00 −16y0+ 16y= 0
e)
y00 −2y0= 0
m)
y(4) + 10y00 + 9y= 0
w)
y(4) + 8y00 + 16y= 0
f)
y000 + 2y= 2y00 +y0
n)
y(4) +y= 0
x)
y(4) + 2y000 + 3y00 + 2y0+y= 0
g)
y(4) + 4y= 5y00
o)
y(6) −y= 0
y)
y(5) + 8y000 + 16y0= 0
h)
y(5) + 9y0= 10y000
p)
y000 −6y00 + 12y0= 8y
z)
y(5) +y(4) + 2y000 + 2y00 +y0+y= 0
1
j) Dokona¢ podstawienia
y0=tx
, wyrazi¢
x
, a nast¦pnie
y0
przez
t
2
a) jednym z rozwi¡za« jest
y= ln|x|
.
docsity.com