Ciągi i szeregi funkcyjne - pierwszy wykład, Opracowania z Matematica Generale

Pobierz Ciągi i szeregi funkcyjne - pierwszy wykład i więcej Opracowania w PDF z Matematica Generale tylko na Docsity!

Wykład pierwszy.

CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE

Niech X będzie dowolnym zbiorem i niech (Y, σ) będzie przestrzenią metryczną. Ciąg (Tn)

odzorowań, Tn : X → Y , jest zbieżny punktowo do odwzorowania T , T

p. → T , jeżeli ciąg Tn(x)

jest zbieżny do T (x) dla każdego x ∈ X:

∀ x ∀ ≤ > 0 ∃ nx,≤ takie, że n > nx,≤ ⇒ σ(Tn(x), T (x)) < ≤.

Ciąg (Tn) odzorowań, Tn : X → Y , jest zbieżny jednostajnie do odwzorowania T , T

j. → T , jeżeli

∀ ≤ > 0 ∃ n≤ takie, że n > n≤ ⇒ σ(Tn(x), T (x)) < ≤∀ x.

Inaczej mówiąc, T

j. → T , jeżeli ciąg liczbowy

n 7 → sup x∈X

σ(Tn(x), T (x))

jest zbieżny do zera. Oczywistym jest, że ze zbieżności jednostajnej wynika zbieżność punktowa.

Przykład. Ciąg funkcji fn(x) = x

n , x ∈ [0, 1], jest zbieżny punktowo do funkcji f (x) = 0, x ∈

[0, 1[, f (1) = 1, ale nie jednostajnie.

Twierdzenie 1. Niech (fn) będzie ciągiem funkcji całkowalnych w sensie Riemanna na [a, b],

zbieżnym jednostajnie do funkcji f. Wowczas f jest funkcją całkowalną i

∫

[a,b]

f = lim n→∞

[a,b]

fn.

DOWÓD. Niech n≤ będzie takie, że sup |fn(x)−f (x)| < ≤ dla n > n≤. Dla dowolnego podziału

π przedziału [a, b] i dla n > n≤ mamy nierówności

sup x∈Pi

f (x) 6 sup x∈Pi

fn(x) + ≤, inf x∈Pi

f (x) > inf x∈Pi

fn(x) − ≤,

i stąd

S(π, fn) + ≤(b − a) > S(π, f ) > S(π, f ) > S(π, fn) − ≤(b − a).

Z tych nierówności i z całkowalności fn dostajemy

∫

[a,b]

fn + ≤(b − a) >

[a,b]

f >

[a,b]

f >

[a,b]

fn − ≤(b − a).

W konsekwencji ∫

[a,b]

f −

[a,b]

f 6 2 ≤(b − a)

dla dowolnego ≤, czyli f jest całkowalna. Z nierówności

∫

[a,b]

fn + ≤(b − a) >

[a,b]

f >

[a,b]

fn − ≤(b − a)

mamy równość ∫

[a,b]

f = lim n→∞

[a,b]

fn. §

Twierdzenie 2. Niech (fn) będzie ciągiem funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły na [a, b][

i niech ciąg pochodnych (f

′ n)^ będzie zbieżnym jednostajnie do funkcji^ g. Jeżeli istnieje^ x^0 ∈^ [a, b]

takie, że ciag gn(x 0 ) jest zbieżny, to ciąg (gn) jest zbieżny jednostajnie do funkcji różniczkowalnej

g i g

′ = f.

DOWÓD.

Z twierdzenia podstawowego rachunku różniczkowego i całkowego mamy

fn(x) =

∫ (^) x

x 0

f

′ n(t)dϕ^ +^ fn(x^0 )

1

i, na mocy poprzedniego twierdzenia, (fn) jest zbieżny jednostajnie do funkcji

f (x) =

∫ (^) x

x 0

g(t)dϕ + lim fn(x 0 ).

Funkcja f jest granicą jednostajną funkcji ciągłych, więc jest ciągła. Z twierdzenia podsta-

wowego wynika różniczkowalność g i równość g

′ = f. §

Ponieważ funkcje o wartościach liczbowych (i ogólniej – wektorowych) można dodawać, jest

sens mówić o szeregach funkcyjnych i o zbieżności takich szeregów: jednostajnej i punktowej,

zwykłej i bezwzględnej. Tak więc szeregiem funkcyjnym na przestrzeni X jest para ((fn), (Sn)),

gdzie (fn) jest ciągiem funkcji, zaś (Sn) jest ciągiem sum częściowych (Sn jest też funkcją na

X)

Sn(x) =

n ∑

k=

fk(x).

Szereg jest zbieżny jednostajnie (punktowo), jeżeli ciąg (funkcyjny) sum częściowych (Sn) jest

zbieżny jednostajnie (punktowo). Wiele twierdzeń dotyczących szeregów liczbowych ma swoje

odpowiedniki dla szeregów funkcyjnych.

Twierdzenie 3. (Kryterium Weierstrassa) Niech

fn będzie szeregiem funkcyjnym na przestrzeni

X. Jeżeli istnieje zbieżny szereg liczbowy

an taki, że

sup x∈X

|fn(x)| 6 an,

to szereg

fn jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie.

DOWÓD.

Mamy ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

n∑+m

1

fk(x) −

∑^ n

1

fk(x)

n∑+m

n+

|fk(x)| 6

n∑+m

n+

an.

Ze zbieżności szeregu

an wynika więc zbieżność jednostajna ciągu sum częściowych szeregu ∑

fn. §

SZEREGI POTĘGOWE

Ważną klasę szeregów funkcyjnych na R i C stanowią szeregi potęgowe, to znaczy szeregi ∑∞

0 fn, dla których^ fn(z) =^ cn(z^ −^ z^0 )

n , gdzie cn, z 0 ∈ C.

Oznaczmy

lim sup

n

|cn| =

R

(R = ∞ jeżeli lim sup

n

|cn| = 0). Z kryterium Cauchy’ego dla szeregów o wyrazach dodatnich

dostajemy, że szereg ∑ ∞ 0

|cn||z − z 0 |

n jest zbieżny dla |z − z 0 | < R i rozbieżny dla |z − z 0 | > R (dla |z − z 0 | = R

bywa różnie).

Twierdzenie 4. Jeżeli szereg

0

cn(z − z 0 )

n jest zbieżny dla z = a, to szereg ten jest zbieżny

bezwzględnie i jednostajnie w kole |z − z 0 | 6 r < |a − z 0 |.

DOWÓD.

Ze zbieżności szeregu

0 cn(a^ −^ z^0 )

n wynika, że ciąg wyrazów tego szeregu jest ograniczony,

tzn. istnieje liczba M taka, że dla każdego n zachodzi nierówność |cn||a − z 0 | < M i stąd

|cn| <

M

|a − z 0 |n^

. Jeżeli więc |z − z 0 | 6 r < |a − z 0 |, to

|cn(z − z 0 )

n | <

M

|a − z 0 |

n

|z − z 0 |

n 6 M

r

n

|a − z 0 |

n

= M

r

a − z 0

n

Mamy zatem

log(1 + x) =

∞ ∑

1

n− 1 x

n

n

, |x| < 1.

Z twierdzenia Abela szereg ten jest zbieżny jednostajnie na odcinku [0, 1] do funkcji ciągłej.

Ponieważ log też jest funkcją ciągłą mamy równość obu stron również dla x = 1, czyli

log 2 = log(1 + 1) =

∑^ ∞

1

n− 1

n

Obliczyliśmy w ten sposób, korzystając z Pierwszego Twierdzenia Abela, sumę szeregu anhar-

monicznego!