MATEMATYKA - LISTA 1
7.10.2016
ZAD.1 Wypisz kilka pierwszych wyraz´ow nast,
epuj ,
acych ci ,
ag´ow maj ,
ac dany ich wz´or og´olny:
an= 5; bn=n;cn=n2+√n;dn=1
n3−2n;en= 222n
+ 5; fn= sin πn
2;gn= cos πn
2.
ZAD.2 Na podstawie warto´sci kilku pocz ,
atkowych wyraz´ow podanych ci ,
ag´ow zna jd´z ich wyrazy og´olne:
(an) = (7,3,−1,−5, . . .); (bn) = (8,12,18,27, . . .); (cn) = (1,0,1,0, . . .); (dn) = (1,11,111,1111, . . .).
ZAD.3 Sprawd´z, czy podane ci ,
agi s ,
a ci ,
agami arytmetycznymi lub geometrycznymi. Przy odpowiedzi
twierdz ,
acej oblicz sumy S10
an= 2n+ 7; bn=2n
n!;cn= 7 −3n;dn=3
5n
;en=n!
2n;fn=(−1)n
n2.
ZAD.4* Czy istnieje ci ,
ag, kt´ory jest jednocze´snie ci ,
agiem arytmetycznym i geometrycznym?
ZAD.5 Niech an= 3 ·2n−1. Sprawd´z, czy
a) a2= 10;
b) an+1 = 6 ·2n−1;
c) ci ,
ag (an) jest rosn ,
acy.
ZAD.6 Sprawd´z, czy podane ci ,
agi s ,
a ograniczone z do lu, z g´ory, ograniczone:
an=3n
3n+ 2;bn= 1000 −√n;cn= (−n)n;dn=4
pn4+ 4; en=√n+ 8 −√n+ 3; fn= 2n−3n.
ZAD.7* Sprawd´z, czy podane ci ,
agi s ,
a ograniczone z do lu, z g´ory, ograniczone:
an=1
√41+ 1 +1
√42+ 2 +. . . +1
√4n+n;bn= 2nsin nπ
2.
ZAD.8 Sprawd´z, czy podane ci ,
agi s ,
a monotoniczne od pewnego miejsca:
an=n
n+ 1;bn=n2+ 1
n!;cn=pn2+ 4n−n;dn=n2−49n−50;
en=n2
2n;fn=2n+ 1
3n+ 1;gn=3
pn3+ 2 −n.
ZAD.9* Sprawd´z, czy podane ci ,
agi s ,
a monotoniczne od pewnego miejsca:
an= cos π
2n;bn=n!(2n!)
(3n)! ;cn= 3n+ (−2)n;dn=5·7·. . . ·(3 + 2n)
4·7·. . . ·(1 + 3n).
ZAD.10* Korzystaj ,
ac z definicji granicy ci ,
agu uzasadnij podane r´owno´sci
lim
n→∞
2n
n+ 1 = 2; lim
n→∞ logn+1 5 = 0; lim
n→∞
3
√n+ 1 = ∞; lim
n→∞ (5 −2n) = −∞; lim
n→∞
n
√5=1.
ZAD.11 Oblicz granice poni˙zszych ci ,
ag´ow:
an=3n−2n
4n−3n;bn=5n6−3n4+ 2
5−10n6;cn=
3
√n2+ 1
n;dn=log2(n+ 1)
log3(n+ 1) ;en=pn2−n−
4
pn4+ 1;
fn=(n2+ 1)(2n−1)!
(2n+ 1)! + 1 ;gn=n3+ 2n2+ 1
n−3n3;hn=pn2+ 4n+ 1 −pn2+ 2n;in=√n3+ 1
3
√n5+ 1 + 1;
jn=1 + 3 + . . . + (2n−1)
2 + 4 + . . . + 2n;kn=qn+ 6√n+ 1 −√n;ln=1 + 1
2+1
22+. . . +1
2n
1 + 1
3+1
32+. . . +1
3n
;mn=arctg (3n+ 1)
arctg (2n+ 1).
1
