Ciągłość, zbieżność - Ćwiczenia - Probabilistyka, Notatki z Prawdopodobieństwo i procesy stochastyczne

Pobierz Ciągłość, zbieżność - Ćwiczenia - Probabilistyka i więcej Notatki w PDF z Prawdopodobieństwo i procesy stochastyczne tylko na Docsity! probabilistyka matematyka, II stopień lista 6 1. Podać przykład ciągu zmiennych losowych określonych na tej samej przestrzeni Ω, zbieżnego według rozkładu, który nie jest zbieżny według prawdopodobieństwa. 2. Wykazać, że jeśli X,X1, X2, . . . są zmiennymi losowymi, t.że Xn D−→ X, gdzie P (X = c) = 1, c ∈ R, to Xn P−→ c. 3. Udowodnić, że jeśli Xn D−→ X, a, b ∈ R, to aXn + b D−→ aX + b. 4. Udowodnić, że jeśli Xn D−→ X, Yn D−→ 0, to Xn + Yn D−→ X. 5. Udowodnić, że jeśli Xn D−→ X, Yn D−→ c, to Xn + Yn D−→ X + c. 6. Podać przykład zmiennych losowych Xn, Yn, X, Y t.że Xn D−→ X oraz Yn D−→ Y, ale nieprawda, że Xn + Yn D−→ X + Y. 7. Udowodnić, że jeśli Xn D−→ X, Yn D−→ 0, to XnYn D−→ 0. 8. Udowodnić, że jeśli Xn D−→ X, Yn D−→ a, to XnYn D−→ aX. 9. (owad i mrówki) Owad składa jaja zgodnie z rozkładem Poissona z parametrem a. W nocy mrówki kradną mu jaja: szansa, że dane jajo zostanie ukradzione, wynosi q. Następnego dnia historia się powtarza (liczba złożonych jaj ma ten sam rozkład, co poprzedniego dnia i jest niezależna od przeszłości), itd. Jaki jest rozkład graniczny liczby jaj ocalonych przed mrówkami? 10. Niech Xn D−→ X, lim n→∞ an = a, a - punkt ciągłości dystrybuanty FX . Udowodnić, że limn FXn(an) = F (a). 11. Dane są dwa ciągi zmiennych losowych (Xn), (Yn), gdzie Xn ∼ Exp( 1n ) natomiast Yn ∼ U [0, 1 n ]. Zbadać zbieżność tych ciągów według rozkładu. 12. Dane są dwa ciągi zmiennych losowych (Xn), (Yn), gdzie Xn ∼ Exp( √ n) natomiast P (Yn = 0) = 12 + 1 n , P (Yn = 1) = 12 − 1 n . Zbadać zbieżność tych ciągów według rozkładu. 13. Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie U [0, 1] oraz Yn = n ·min(X1, . . . , Xn). Czy istnieje taka zmienna losowa Y , że Yn D−→ Y ? 14. Niech Xn będzie ciągiem zmiennych losowych takich, że Xn ∼ N(0, σn). Zakładając, że limn→∞ σn = 0 zbadać zbieżność tego ciągu zmiennych losowych według rozkładu. 15. Dane są dwa ciągi zmiennych losowych (Xn), (Yn), gdzie Xn ∼ Cauchy(0, 1n ) natomiast Yn ∼ Cauchy(0, n). Zbadać zbieżność tych ciągów według rozkładu. docsity.com