Ciało liczb nadrzeczywistych
Jest to zapis odczytu wygłoszonego na
XXXVII Szkole Matematyki Poglądowej
Algebraiczne Mocarstwo, sierpień 2006.
Michał MUZALEWSKI, Białystok
1. Ciało liczb nadrzeczywistych R∗
N⊂Z⊂Q⊂R⊂R∗
jest rozszerzeniem ciała liczb rzeczywistych R. O ile pierwsze dwa rozszerzenia:
N⊂Z⊂Q, realizują się metodą utożsamiania par, o tyle ostatnie dwa
rozszerzenia: Q⊂R⊂R∗, powstają metodą utożsamiania cią gów.
2. Cantor skonstruował liczby rzeczywiste utożsamiając wybrane ciągi
(w0, w1,...) liczb wymiernych w0, w1,...∈Q. Konstruując liczby nadrzeczywiste
wykorzystujemy wszystkie ciągi (r0, r1,...) liczb rzeczywistych r0, r1,...∈R.
Trochę dokładniej: ciąg x′= (r′
0, r′
1,...) utożsamiamy z ciągiem x= (r0, r1,...),
jeżeli zbiór wyrazów identycznych ciągów x, x′:E(x, x′) := {i:ri=r′
i}jest
„duży”.
3. Przyjrzyjmy się definicji granicy ciągu: limi→∞ ri=g
(∗)∀
ε>0∃
k∀
n>k
|ri−g|< ε.
A więc nierówność „|ri−g|< ε” ma być prawdziwa na zbiorze {k+ 1, k + 2,...}.
W definicji tej pojawiły się zbiory koskończone – tak nazywają się
uzupełnienia zbiorów skończonych. Zauważmy, że warunek (∗) jest równoważny
warunkowi następującemu:
dla każdego ε > 0 istnieje zbiór koskończony A⊂Ntaki, że dla każdego i∈A
|ri−g|< ε.
4. Niech Fbędzie rodziną wszystkich koskończonych podzbiorów zbioru N.
Rodzina ta jest filtrem, gdyż spełnia następujące warunki:
(1) ∅/∈ F,N∈ F
(2) jeżeli A1, A2∈ F, to A1∩A2∈ F
(3) jeżeli A∈ F iA⊂B⊂N, to B∈ F.
Rodzina Fjest filtrem wolnym, gdyż spełnia jeszcze jeden warunek:
(4) jeżeli A∈ F, to Ajest zbiorem nieskończonym.
Niestety rodzina Fnie posiada następującej własności:
(5) jeżeli A∪B=NiA∩B=∅, to A∈ F lub B∈ F.
Własność (5) „chroni” nas przed dzielnikami zera.
Definicja. Rodzinę Upodzbiorów zbioru Nnazywamy ultrafiltrem wolnym,
jeżeli Uspełnia warunki (1)–(5), w których za Fnależy podstawić U.
5. Za pomocą dowolnie wybranego ultrafiltru wolnego Uokreślimy relację
równoważności ciągów:
(a0, a1,a2,...)∼(b0, b1,b2,...) wtw E(a, b)∈ U .
Klasę równoważności ciągu (a0, a1,a2,...) oznaczmy symbolem [a0, a1, a2,...],
a zbiór wszystkich klas równoważności oznaczamy symbolem R∗. W zbiorze R∗
wprowadzamy strukturę ciała uporządkowanego w następujący sposób:
[a0, a1, a2,...] + [b0, b1, b2,...] = [a0+b0, a1+b1, a2+b2,...]
[a0, a1, a2,...]·[b0, b1, b2,...] = [a0·b0, a1·b1, a2·b2,...]
[a0, a1, a2,...]<[b0, b1, b2,...] wtw {i:ai< bi} ∈ U .
Ciało R∗, zwane ciałem liczb nadrzeczywistych, zawiera podciało liczb
rzeczywistych Rza pomocą kanonicznego włożenia
w(x) := [x,x,x,...] dla x∈R.
Konstrukcja, którą posłużyliśmy się wyżej, nosi nazwę ultraproduktu. A więc
ciało R∗jest ultraproduktem ciała R(względem ultrafiltru U). Analogicznie
24
