Pobierz Ćw. 5. Wyznaczanie współczynnika sprężystości przy pomocy ... i więcej Egzaminy w PDF z Mechanika tylko na Docsity! 5 KATEDRA FIZYKI STOSOWANEJ _________________________________________ PRACOWNIA FIZYKI Ćw. 5. Wyznaczanie współczynnika sprężystości przy pomocy wahadła sprężynowego Wprowadzenie Ruch drgający należy do najbardziej rozpowszechnionych ruchów w przyrodzie. Szczególnym przypadkiem ruchu drgającego jest ruch harmoniczny, który odbywa się pod wpływem siły F liniowo zależnej od wychylenia x wokół pewnego punktu położenia F=-kx, gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności. Siła ta ma tę własność, że zmienia swój kierunek na przeciwny przy zmianie znaku wartości wychylenia. Przykładem takiej siły jest siła sprężystości pochodząca od sprężyny, jak pokazano na rysunku 1. W przedstawionym przykładzie współczynnik k jest współczynnikiem sprężystości sprężyny. Rys. 1. Wahadło sprężynowe poziome. Ruch kulki o masie m, zgodnie z II prawem Newtona jest opisany równaniem: WS FFam (1) gdzie a jest przyspieszeniem, a SF wektorem siły działającej na masę m pochodzącym od sprężyny. WF jest sumą sił pochodzących z innych źródeł niż sprężyna. W naszym przypadku, przedstawionym na rys. 1, ruch odbywa się wzdłuż linii prostej, którą możemy oznaczyć jako oś X, z początkiem w położeniu równowagi masy (od ścianki w odległości równej długości swobodnej sprężyny xm). Gdy pominiemy tarcie, jedyną siłą działającą wzdłuż osi X jest siła pochodząca od sprężyny. Siły działające na masę m w innych kierunkach niż w kierunku osi X równoważą się w naszym układzie. Wobec tego siła może być przedstawiona jako )(tkxFS , a równanie przyjmuje postać: ).( )( 2 2 tkx dt txd m (2) Po prostych przekształceniach i podstawieniu m k 2 , (3) gdzie jest częstością własną układu, otrzymujemy następujące równanie opisujące drgania harmoniczne nie tłumione: .0)( )( 2 2 2 tx dt txd (4) Jest to równanie różniczkowe jednorodne drugiego stopnia. Rozwiązaniem tego równania jest zależność funkcyjna położenia x masy od czasu w postaci: )sin()( 0 txtx (5) o okresie 2T Ponieważ mk , możemy otrzymać wyrażenie na okres wahadła sprężynowego: k m T 2 . (6) Realizacja w praktyce poziomego wahadła sprężynowego, które wykonuje drgania nietłumione jest praktycznie nierealne ze względu na istnienie sił tarcia o podłoże. Gdy masę m zawiesimy na sprężynie wówczas otrzymamy wahadło pionowe, co pozwala na wyeliminowanie sił tarcia, ale pojawi się stała siła (ciężkości Q ) działająca na ciało podczas ruchu. Równanie ruchu dla takiego układu przyjmuje postać: QFam S . (7) Ponieważ ruch odbywa się wzdłuż linii prostej możemy napisać: .)( )( 2 2 mgtkx dt txd m (8) Po prostych przekształceniach oraz po podstawieniu: k k 2 , (9) otrzymamy równanie: .)( )( 2 2 2 gtx dt txd (10) Rozwiązaniem takiego równania jest następująca funkcja: 10 )sin()( xtxtx (11) gdzie 1x jest stałą, którą wyznaczamy z warunku równowagi sprężyny, gdy obiekt m spoczywa. W takiej sytuacji amplituda drgań 0x jest zero i 1)( xtx , gdzie x1 jest wydłużeniem sprężyny w stanie równowagi. Wówczas siła ciężkości jest zrównoważona przez siłę sprężystości sprężyny, co oznacza, że: mgkx 1 (12) Wszystkie pomiary powinny być zapisywane bez obróbki i przed zapisaniem odczytanej wartości nie należy przeprowadzać w pamięci żadnych, nawet trywialnych obliczeń. 4. Wartość stałej sprężystości k obliczamy dla każdego pomiaru ze wzoru: i i x gm k (20) a następnie obliczamy wartość średnią z tych pomiarów. Metoda 2 1. Wykonujemy czynności opisane w punktach 1 i 2 metody 1. 2. Wyznaczamy okres drgań (T) dla poszczególnych zestawów obciążników mierząc czas t dużej liczby n (min. 30) pełnych drgań układu. Okres drgań T = t/n. Wyniki pomiarów wpisujemy do tabeli Masa m [g] Czas n = ……… drgań t [s] tśr [s] Okres drgań 𝑻 = 𝒕ś𝒓 𝒏⁄ [s] Współczynnik sprężystości 𝒌 = 𝟒𝝅𝟐 𝒎 𝑻𝟐 [N/m] 3. Dla poszczególnych obciążeń przekształcając wyznaczamy współczynnik sprężystości ze wzoru: 2 24 T m k , (21) gdzie i isp mmmm 3 1 , gdzie mp jest masą pręta, ms masą sprężyny, a i im jest sumą mas obciążników uwzględniona w danym przypadku. Niepewność pomiaru współczynnika sprężystości sprężyny szacujemy wybrana metodą zastosowaną odpowiednio do wzorów (20 ) i (21). We wzorze (21) za m przyjmujemy sumę niepewności wyznaczania poszczególnych mas, czyli m =mp, + 1/3ms + i im Zagadnienia do kolokwium: 1. Wahadło sprężynowe, punktowe, fizyczne. 2. Drgania harmoniczne nietłumione, tłumione i wymuszone. 3. Energia w ruchu harmonicznym. Literatura: 1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2003. Tom 2. 2. A. K. Wróblewski, J. A. Zakrzewski, Wstęp do fizyki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1991. 3. C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman, Mechanika, PWN, Warszawa 1975. 4. J. Taylor, Wstęp do analizy błędu pomiarowego, Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999. 5. G.L.Squires, Praktyczna Fizyka, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1992. 6. H. Szydłowski, Pracownia fizyczna wspomagana komputerem, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2003.