Pobierz Ćwiczenia z liczenia pochodnych z rozwiązaniami i więcej Ćwiczenia w PDF z Mathematical Analysis tylko na Docsity!
ĆWICZENIA Z LICZENIA POCHODNYCH Z ROZWIĄZANIAMI
WZORY NA POCHODNE
(x
n )
′ = nx
n− 1 , (e
x )
′ = e
x , (ln x)
′
x
, (sin x)
′ = cos x, (cos x)
′ = − sin x.
POCHODNA ILOCZYNU I ILORAZU
(f · g)
′ = f
′ · g + g
′ · f,
f
g
f
′ · g − g
′ · f
g^2
Zadanie 1. Policz pochodne
(a) f (x) =
x + 5x
2
- 3x + 1 (b) f (x) = √^1 x + 2x^ + 3 ln^ x^ +^
3
x (c) f (x) = e
x · (x
2
(d) f (x) = sin x · ln x (e) f (x) = ctgx (f ) f (x) =
2 x^4 +2x ln x (g) f (x) =
x^2 +2x sin x (h)^ f^ (x) =^
ln√ x x (i)^ f^ (x) =^
x(x + ex).
POCHODNA FUNKCJI ZŁOŻONEJ
(f (w(x)))
′ = f
′ (w(x)) · w
′ (x).
Zadanie 2. Policz pochodne funkcji złożonych
(a) f (x) = ln(2x + 1) (b) f (x) = e
x^2 +2x (c) f (x) = sin(
x)
(d) f (x) = cos(−x^3 + 3x + 2) (e) f (x) = esin^ x^ (f ) f (x) = ln(cos x)
(g) f (x) = (x
5
3
10 (h) f (x) = ln
3 x (i) f (x) = sin
2 x
(j) f (x) =
x^3 + 2x^2 − 3 (k) f (x) =
cos x (l) f (x) = ln(x^3 + 3)
Przykładowa droga rozwiązania Zadania 2.(a)
W przykładzie f (x) = ln(2x + 1) funkcja wewnętrzna to 2 x + 1. Oznaczmy w = 2x + 1.
Wtedy ln(2x + 1) = ln w i
(ln w)
′
w
· w
′ .
Czyli wstawmy w = 2x + 1.
(ln(2x + 1))
′
2 x + 1
· (2x + 1)
′
czyli po obliczeniu
(ln(2x + 1))
′
2 x + 1
2 x + 1
Rozwiązanie (c) W przykładzie f (x) = sin(
x) funkcja wewnętrzna to w =
x. Mamy
f = sin w, więc liczymy
(sin w)
′ = cos w · w
′ .
Wstawiamy w =
x i mamy
(sin(
x))
′ = cos(
x) · (
x)
′ .
Obliczmy
(sin(
x))
′ = cos(
x) ·
x
1 2 −^1 =
cos(
x)
2
x
Rozwiązanie (j) W przykładzie f (x) =
x^3 + 2x^2 − 3 funkcja wewnętrzna to w = x^3 +
2 x
2 − 3. Mamy f =
w, więc liczymy
w)
′
w
· w
′ .
Wstawiamy w = x
3
2 − 3 i mamy
x^3 + 2x^2 − 3)
′
x^3 + 2x^2 − 3
· (x
3
2 − 3)
′ .
Obliczmy
x^3 + 2x^2 − 3)
′
3 x^2 + 4x
2
x^3 + 2x^2 − 3
Rozwiązania Zadania 1. Pochodne wynoszą
(a)
1 2
√ x + 10x^ + 3,^ (b)^ −^
1 2
√ x^3
1 x +^
1 3
√ 3 x^2
, (c) e
x (x
2
1 x + cos^ x^ ·^ ln^ x,
(e)
− 1 sin^2 x ,^ (f^ )^
(8x^3 +2) ln x− 2 x^3 − 2 ln^2 x ,^ (g)^
(2x+2) sin x−(x^2 +2x) cos x sin^2 x ,^ (h)^
2 −ln x 2 x
3 2
, (i)
1 2
√ x (x+e
x )+
x(1+e
x ).
Rozwiązania Zadania 2. Pochodne wynoszą
(a) jw, (b) (2x + 2)ex
(^2) +2x , (c) jw, (d) (3x^2 − 3) sin(−x^3 + 3x + 2), (e) cos x · esin^ x,
(f ) −^ sin^ x cos x
, (g) 10(x^5 + 3x^3 + 1)^9 (5x^4 + 9x^2 ), (i) 2 sin x cos x, (j) jw, (k)
cos x, (l) 3 x
2 x^3 +
